1 Praca domowa nr 2. Kinematyka. Dynamika. Nieinercjalne układy

Praca domowa nr 2. Kinematyka. Dynamika. Nieinercjalne układy odniesienia.
Grupa 1. Kinematyka
1. Kula pistoletowa wystrzelona poziomo przebiła dwie pionowo ustawione kartki papieru, umieszczone w odległościach
l1 = 20 m i l2 = 30 m od pistoletu. Różnica wysokości na jakich znajdują się otwory w kartkach wynosi h = 5 cm. Oblicz
prędkość początkową kuli. Przyspieszenie ziemskie przyjąć jako 10 m/s2.
2. Układający się do drzemki kot spostrzega doniczkę przelatującą za oknem, najpierw w górę potem w dół. Łączny czas, w
jakim kot ma doniczkę w polu widzenia wynosi 0,5 s, a wysokość okna, przez które ją obserwuje jest równa 2 m. Jak
wysoko nad górną framugę okna wzniosła się doniczka?
3. Kamień rzucono ukośnie z powierzchni ziemi. Na wysokości 9,1 m jego prędkość jest równa v = 7,6i + 6,1j. Jaka jest
maksymalna wysokość i zasięg rzutu? Jaka była prędkość początkowa i końcowa (tuż przed upadkiem) kamienia?
4. Lotkę rzucono poziomo, z prędkością początkową o wartości 10 m/s w kierunku punktu P na tarczy i po 0,19 s lotu trafia
ona w punkt Q na obrzeżu tarczy, leżący poniżej punktu P. (a) Jaka jest odległość punktów P i Q? (b) Z jakiej odległości
od tarczy została rzucona ta lotka?
5. Elektron poruszający się poziomo z prędkością o wartości 1×109 cm/s, wchodzi w obszar między dwiema poziomymi,
naładowanymi elektrycznie płytami metalowymi. Ich obecność powoduje, że elektron doznaje stałego przyspieszenia,
skierowanego w dół, o wartości 1×1017 cm/s2. Wyznacz: (a) czas, potrzebny elektronowi na przebycie w tym obszarze 2
cm w poziomie, (b) odległość przebytą przez niego w tym czasie w pionie. Oblicz ponadto wartości składowych
prędkości elektronu: (c) poziomej, (d) pionowej, po przebyciu tej drogi.
6. Piłkę wybito w powietrze z powierzchni ziemi. Na wysokości 9,1 m jej prędkość (w metrach na sekundę) jest równa:
v = 7,6iˆ + 6,1jˆ , przy czym î jest wektorem jednostkowym w poziomie, a ĵ jest wektorem jednostkowym,
skierowanym do góry. (a) Na jaką maksymalną wysokość wzniesie się piłka? (b) Jaką całkowitą odległość przebędzie ona
w poziomie? Wyznacz: (c) długość, (d) kierunek wektora prędkości piłki tuż przed jej spadkiem na ziemię.
7. W ciągu dwóch sekund od wystrzelenia z powierzchni ziemi pocisk przemieścił się o 40 m w poziomie i o 53 m w pionie.
Wyznacz składowe prędkości początkowej pocisku: (a) poziomą, (b) pionową. (c) W jakiej odległości w poziomie od
punktu jego wystrzelenia znajdzie się pocisk w chwili, gdy osiągnie maksymalną wysokość nad ziemią?
8. Od chwili t = 0 do chwili t = 5 min człowiek stoi nieruchomo, a następnie od chwili t = 5 min do chwili t = 10 min idzie
szybko po linii prostej ze stałą prędkością równą 2,2 m/s. Ile wynosi: (a) jego średnia prędkość vśr, (b) jego średnie
przyspieszenie aśr, w przedziale czasu od 2 min do 8 min? Ile wynosi: (c) vśr, (d) aśr w przedziale czasu od 3 min do 9
min? (e) Naszkicuj wykresy zależności x(t) i v(t) oraz pokaż jak, korzystając z tych wykresów, otrzymać odpowiedzi na
pytania od (a) do (d).
Grupa 2. Dynamika punktu materialnego
1. Na powierzchni Marsa (ciśnienie na tej planecie wynosi 800 Pa = 0,008 ziemskiego ciśnienia atmosferycznego; planeta
prawie nie ma atmosfery) rzucono pod kątem 30o stopni do poziomu kulę o masie 0,2 kg z prędkością początkową
o wartości 21 m/s. W trakcie ruchu na kulę działa stała siła F = (Fx; Fy; Fz) = (0,0; –0,74; 0,0) [N]. Składowe wektora siły
F podano w prostokątnym układzie współrzędnych, którego osie OX i OZ leżą w płaszczyźnie powierzchni Marsa, a oś
OY jest skierowana do góry. Wyznacz tor ruchu, tj. zależność y(x), gdzie y – wysokość nad powierzchną planety, x –
odległość wyrzuconej kuli mierzona po powierzchni Marsa od punktu wyrzutu będącego początkiem prostokątnego
układu współrzędnych.
2. Na ciało spadające pionowo w dół działa siła F oporu zależna od prędkości v, a jej wartość wynosi F = Cρv2S/2, gdzie
ρ = 1,3 kg/m2 – gęstość powietrza, S – pole przekroju prostopadłego ciała w stosunku do wektora prędkości, C –
współczynnik zależny od kształtu ciała. Piłeczka pingpongowa ma masę 2,5 g i promień 1,7 cm. Opisz rodzaje ruchu
piłeczki po jej upuszczeniu. Dlaczego prędkość piłeczki nie rośnie w nieskończoność? Przyjmując, że C = 0,5 oblicz
prędkość z jaką upuszczona swobodnie piłeczka będzie spadała ruchem jednostajnym prostoliniowym (przyjmujemy, że
powietrze jest nieruchome).
3. Ciało o masie m rzucono poziomo z wysokości y0 przy powierzchni ziemi nadając mu prędkość początkową v0 = (vx0 ≠ 0,
vy0 = 0) = vx0i. Wyznacz zależności od czasu: wektora prędkości ciała, tj. Vx (t) i Vy (t); przyspieszenia,tj. ax (t) i ay (t);
Wektora wodzącego, tj. X(t) i Y (t). Znajdź równanie toru oraz czas ruchu.
4. Ciało o masie m spoczywające (v0 = 0) początkowo na równi o wysokości H zaczyna zsuwać się wzdłuż równi.
Współczynnik tarcia wynosi µ. W prostokątnym układzie współrzędnych, którego jedna z osi OX, jest równoległa do
równi, a oś OY jest do niej prostopadła, wyznacz zależności od czasu: wektora prędkości ciała, tj. Vx (t) i Vy (t);
przyspieszenia, tj. ax (t) i ay (t); wektora wodzącego, tj. X(t) i Y (t). Znajdź równanie toru oraz wyznacz czas zsuwania
się tego ciała z równi.
5. Ciało o masie 0,3 kg spoczywające początkowo u spodu równi o wysokości 1,5 m i długości 3 m pchnięto w górę równi
nadając mu prędkość początkową 2 m/s. Współczynnik tarcia wynosi 0,1. W prostokątnym układzie współrzędnych,
którego jedna z osi OX, jest równoległa do równi, a oś OY jest do niej prostopadła (początek układu należy umieścić
w położeniu początkowym ciała), wskaż wszystkie siły działające na ciało i wyznacz zależności od czasu: wektora
prędkości ciała, tj. Vx (t) i Vy (t); przyspieszenia, tj. ax (t) i ay (t); wektora wodzącego, tj. X(t) i Y (t) w trakcie
wznoszenia się ciała w górę równi. Po jakim czasie ciało osiągnie największą wysokość? Scharakteryzuj, opisz nie
wypisując wzorów, ruch tego ciała po osiągnieciu największej wysokości.
6. Ciało o masie 0,2 kg spoczywające początkowo u spodu równi o wysokości 1,5 m i długości 3 m pchnięto w górę równi
nadając mu prędkość początkową 3 m/s. Współczynnik tarcia wynosi 0,76. W prostokątnym układzie współrzędnych,
1
którego jedna z osi OX, jest równoległa do równi, a oś OY jest do niej prostopadła (początek układu należy umieścić
w położeniu początkowym ciała), wskaż wszystkie siły działające na ciało i wyznacz zależności od czasu: wektora
prędkości ciała, tj. Vx (t) i Vy (t); przyspieszenia, tj. ax (t) i ay (t); wektora wodzącego, tj. X(t) i Y (t) w trakcie
wznoszenia się ciała w górę równi. Po jakim czasie ciało osiągnie największą wysokość? Scharakteryzuj, opisz nie
wypisując wzorów, ruch tego ciała po osiągnieciu największej wysokości.
7. Ciało o masie 0,2 kg spoczywające początkowo na wierzchołku równi o wysokości 1,5 m i długości 3 m pchnięto w dół
równi nadając mu prędkość początkową 3 m/s. Współczynnik tarcia wynosi 0,76. W prostokątnym układzie
współrzędnych, którego jedna z osi OX, jest równoległa do równi, a oś OY jest do niej prostopadła (początek układu
należy umieścić w położeniu początkowym ciała), wskaż wszystkie siły działające na ciało i wyznacz zależności od
czasu: wektora prędkości ciała, tj. Vx (t) i Vy (t); przyspieszenia, tj. ax (t) i ay (t); wektora wodzącego, tj. X(t) i Y (t) w
trakcie zsuwania się ciała po równi. Po jakim czasie ciało osiągnie najmniejszą wysokość? Scharakteryzuj, opisz nie
wypisując wzorów, ruch tego ciała po osiągnieciu najmniejszej wysokości.
8. Ciało o masie 0,3 kg spoczywające początkowo na wierzchołku równi o wysokości 1,5 m i długości 3 m pchnięto w górę
równi nadając mu prędkość początkową 2 m/s. Współczynnik tarcia wynosi 0,1. W prostokątnym układzie
współrzędnych, którego jedna z osi OX, jest równoległa do równi, a oś OY jest do niej prostopadła (początek układu
należy umieścić w położeniu początkowym ciała), wskaż wszystkie siły działające na ciało i wyznacz zależności od
czasu: wektora prędkości ciała, tj. Vx (t) i Vy (t); przyspieszenia, tj. ax (t) i ay (t); wektora wodzącego, tj. X(t) i Y (t) w
trakcie wznoszenia się ciała w górę równi. Po jakim czasie ciało zsunie się z równi?
Grupa 3. Nieinercjalne układy odniesienia
1. Pendolino porusza się w kierunku płn-wsch z prędkością 150 km/h po torze kolejowym ułożonym w kierunku północnowschodnim na szerokości geograficznej północnej 52O . Oblicz zwrot, kierunek i wartość siły Coriolisa z jaką szyny
oddziaływują na Pendolino. Proszę sporządzić odpowiedni rysunek.
2. Pendolino porusza się z prędkością 120 km/h po torze kolejowym ułożonym w kierunku południkowym na szerokości
geograficznej 51O . Wyznacz zwrot, kierunek i wartość siły Coriolisa z jaką szyny oddziaływują na Pendolino. Proszę
sporządzić odpowiedni rysunek.
3. Wyobraźmy sobie, że człowiek idzie z prędkością v wzdłuż promienia poziomej platformy o promieniu r
obracającej się z prędkością kątową Ω wokół pionowej ustalonej osi obrotu przechodzącej przez środek
platformy. Wyznacz zwrot, kierunek i wartość wypadkowej siły działającej na tego człowieka w układzie
odniesienia związanym z platformą, gdy znajdzie się w odległości r/2 od jej środka. Należy uwzględnić
siłę Coriolisa. Proszę sporządzić odpowiedni rysunek.
4. Pendolino porusza się z prędkością 140 km/h po torze kolejowym ułożonym w kierunku zachodnim na szerokości
geograficznej 61O . Wyznacz zwrot, kierunek i wartość siły Coriolisa działającej na Pendolin. Proszę sporządzić odpowiedni
rysunek.
5. Przy bocznej ścianie pomieszczenia w kształcie cylindra o pionowej osi i promieniu R stoi człowiek. Współczynnik
tarcia między człowiekiem a ścianą wynosi µ. Pokazać, że maksymalna wartość okresu T obrotu pomieszczenia wokół osi,
przy której człowiek nie będzie zsuwał się po ścianie (podłogę zabieramy), wynosi T = [ 4π2Rµ/g]1/2. Obliczenia
przeprowadzić dla R = 4 m i µ = 0,40. Ile obrotów wykona wtedy pomieszczenie w ciągu jednej minuty? Proszę porządzić
odpowiedni rysunek.
6. Pendolino porusza się w kierunku płd-zach z prędkością 100 km/h po torze kolejowym ułożonym w kierunku południowozachodnim na szerokości geograficznej południowej 52O . Oblicz zwrot, kierunek i wartość siły Coriolisa z jaką szyny
oddziaływują na Pendolino. Proszę sporządzić odpowiedni rysunek.
7. Rakieta V-2 o masie m = 120 kg porusza się przy powierzchni Ziemi na stałej wysokości 500 m. Obliczyć wektor
przyspieszenie Coriolisa aC oraz wektor siły Coriolisa FC działającej na rakietę w chwili, gdy: (a) jej prędkość v
jest wektorem leżącym dokładnie w płaszczyźnie południka zerowego, (b) długość wektora prędkości wynosi 250 m/s, (c)
rakieta znajduje się na północnej szerokości geograficznej 45◦. Czy wynik zależy od zwrotu wektora v? Wskazówka:
Wybrać kartezjański nieinercjalny układ odniesienia w ten sposób, aby płaszczyzna OYZ pokrywała się z płaszczyzną
południka, a oś OZ wyznaczała kierunek północ–południe. Proszę sporządzić odpowiedni rysunek.
8. Pionowa rurka o wys. 25 m jest wprawiona w ruch wokół pionowej osi obrotu. Rurka porusza się po okręgu
o promieniu R się ze stałą prędkością kątową ω. W rurce, której ścianki są idealnie gładkie zaczyna spadać kulka o
masie 0,5 kg. Z jaką wypadkową siłą, w układzie związanym z obracającą się rurką, rurka działa na to ciało, gdy
ciało znajdzie się na wysokości 10 m? Ws-ka: Należy uwzględnić siłę Coriolisa. Proszę sporządzić odpowiedni
rysunek.
Wrocław, 22 lutego 2016
W. Salejda
2