Wzory na kolokwia i egzamin

Wzory na kolokwia i egzamin
Rozkłady jednowymiarowe:
1. Rozkład jednopunktowy skupiony w punkcie a: P (X = a) = 1; EX = a; V X = 0
2. Rozkład Bernoulliego (dwumianowy) z parametrami n i p:
n k
P (X = k) =
p (1 − p)n−k , SX = {0, 1, . . . , n}, EX = n · p, V X = n · p · (1 − p)
k
3. Rozkład geometryczny z parametrem p: P (X = k) = (1 − p)k−1 p, SX = {1, 2, . . . }
EX = p1 , V X =
1−p
p2
Własność braku pami˛eci: P (X > n + m| X > n) = (1 − p)m = P (X > m)
4. Rozkład Poissona z parametrem λ > 0: P (X = k) = e−λ
n k
λk
Dla dużych n:
p (1 − p)n−k ' e−λ ·
k!
k
(
5. Rozkład jednostajny na przedziale [a; b]: f (x) =
EX =
a+b
2 ,
VX =
1
b−a
0
SX = {0, 1, . . . }, EX = V X = λ
,
x ∈ [a; b]
,
x∈
/ [a; b]
,

0

 x−
a
F (x) =

b
−
a

1
,
x<a
,
a6x<b ,
,
x>b
2
(b−a)
12
6. Rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0: f (x) =
EX =
λk
k! ,
λe−λx
0
,
,
x>0
,
x<0
F (x) =
0
1 − e−λx
,
,
1
1
, VX = 2
λ
λ
2
7. Rozkład normalny (Gaussa) z parametrami m i σ : f (x) = √
(x − m)2
1
exp −
2σ 2
2π · σ
EX = m, V X = σ 2
X ∼ N (m, σ 2 ) ⇒ FX (b) = Φ
b−m
σ
, Φ - dystrybuanta rozkładu N (0, 1), Φ(−x) = 1 − Φ(x)
Rozkłady dwuwymiarowe:
1. Rozkład jednostajny w obszarze D: f (x, y) =
0
1
|D|
, (x, y) ∈
/D
, (x, y) ∈ D
2
c12
m1
σX
=N
,
c22
m2
ρσX σY
m1
c11
ρσX σY
2. Rozkład normalny N (m, C) = N
,
:
m2
c12
σY2
1
c22 (x − m1 )2 − 2c12 (x − m1 )(y − m2 ) + c11 (y − m2 )2
f (x, y) = 2π√1detC exp − 2 detC
Twierdzenia Graniczne:
Centralne Twierdzenie Graniczne Lindeberga-Levy’ego
(Xk )nk=1 - ciag
˛ niezależnych zmiennychP
losowych o takim samym rozkładzie takich, że EXk = m, V Xk = σ 2
n
dla każdego k = 1, . . . , n. Niech Sn = k=1 Xk . Wtedy dla dowolnych a, b ∈ R takich, że a < b
Sn − n · m
√
P a<
< b ≈ Φ(b) − Φ(a) dla dużych n
σ· n
Twierdzenie Moivre’a-Laplace’a (Xk )nk=1 - ciag
˛ niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie takim, że
P (Xk = 1) = p dla każdego k = 1, . . . n, to
!
Sn − n · p
P a< p
< b ≈ Φ(b) − Φ(a) dla dużych n
n · p · (1 − p)
1
x<0
,
x>0
Regresja liniowa Y wzgl˛edem X: y = ax + b
-na podstawie
wylosowanej próby:
Pn
Pn
Pn
(xk − x̄)yk
(yk − ȳ)xk
(x
− x̄)(yk − ȳ)
k
k=1
k=1
Pn
= Pn
= Pk=1
, b = ȳ − ax̄
a=
n
2
2
2
(x
−
x̄)
(x
−
x̄)
k=1 k
k=1 k
k=1 (xk − x̄)
P
n
2
n
( k=1 (xk − x̄)(yk − ȳ))
1 X
Pn
bład
˛ oszacowania:
;
(yk − ȳ)2 −
n−1
(n − 1) k=1 (xk − x̄)2
k=1
-gdy znany jest rozkład wektora (X, Y ):
cov(X, Y )
a=
, b = EY − aEX
VX
cov 2 (X, Y )
bład
˛ oszacowania: V Y −
.
VX
2