(0, 0) i promieniu 1 w

TOPOLOGIA, MAT
Lista zadań nr 1
2012/13
1. Jakim zbiorem jest kula B((0, 0), 1) o środku w punkcie (0, 0) i promieniu 1
w: a) metryce rzeka; b) metryce warszawskiej; c) metryce l1 ; d) metryce l∞ .
2. Jak wygla̧da kula B((0, 2), 3) o środku w punkcie (0, 2) i promieniu 3 w: a)
metryce rzeka; b) metryce warszawskiej? Wsk: zauważyć, jaka jest odleglość
punktu (0, 2) od rzeki (czyli także od punktu (0, 0)), a nastȩpnie skorzystać z
zad. 1 a), b).
3. Pokazać, że metryki l1 , l2 , l∞ sa̧ topologicznie równoważne (l2 - metryka
euklidesowa).
4. Pokazać, że zbiór {(x, y) : y > 0} (górna pólplaszczyzna otwarta) jest otwarty
w l1 .
5. Pokazać, że metryka warszawska nie jest topologicznie równoważna z metryka̧
l2 (na R2 ).
6. Który z podanych zbiorów jest domkniȩty, otwarty lub ani taki ani taki na
R2 w metryce euklidesowej: {1} × [1, 2], {1} × [1, 2), {(x, y) : x > 0, y > 0},
{(x, y) : x > 0, y > 0} \ {(2, 2}, {(x, y) : x > 0, y ≥ 0}, {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0},
{(x, y) : |x − y| > 1}. Zaznaczyć te zbiory na rysunku,
7. Pokazać, że jeśli (xn , yn ) → (x, y) w l1 wtedy i tylko wtedy, gdy xn → x oraz
yn → y na R. Zauważyć, że z zadania 3 wynika, że to samo jest prawda̧ dla l2 i
l∞ .
8. Pokazać, że w dowolnej przestrzeni metrycznej (X, ρ) prawdziwa jest równość:
Int(A) = (Ac )c .
9. Pokazać, że F r(A) = A \ Int(A).
10. Czy rodzina funkcji spelniaja̧cych warunek Lipschitza ze stala̧ a > 0 jest
zbiorem domkniȩtym w C[0, 1] (z metryka̧ ρ(f, g) = sup{|g(x) − f (x)| : x ∈
[0.1]}).
11. Rozważyć kulȩ B((2, 2), 1) w metryce euklidesowej na R2 . Jaki jest jej brzeg
w metryce rzeka?
1