Czy umiemy mnożyć wektory?

Czy umiemy mnożyć wektory?
wprowadzenie do algebry geometrycznej
Jacek Grela
1
UJ 2010
Plan działania
●
Motywacja
●
Wprowadzenie do algebry geometrycznej
●
Algebra 2D, 3D
●
Przykład fizyczny
●
Algebra czasoprzestrzeni
●
Podsumowanie
●
Bibliografia
2
Motywacja
●
Wektor – skierowana prosta + wartość
●
Iloczyny skalarne i wektorowe
3
Motywacja
…Co jest nie tak z tym mnożeniem?
●
Iloczyn wektorowy:
1. Nie jest łączny
2. Istnieje tylko w 3 i 7 wymiarach (!)
3. Zależny od skrętności układu
4. Wprowadza pseudowektory
4
Motywacja
Przekształcenia dla wektorów: O(3)
Det = +1
(gr. SO(3))
V x V = PV
PV x PV = PV
V x PV = V
Det = -1
(odbicia)
Pseudowektor != wektor
Bo inna transformacja
5
Motywacja
●
Transformacja
wektora:
●
6
“Dziwna”
transformacja
pseudowektora:
Motywacja
●
Może pseudowektory przedstawić inaczej?
Cała informacja zakodowana
Ale co nam to da?
7
Motywacja
●
“Dziwna” transformacja wyjaśniona:
wektory
●
Brak “śrub”!
pseudowektory
8
Motywacja
●
Po co to wszystko?
Szukamy “lepszego” iloczynu wektorowego
9
Wprowadzenie
●
Iloczyn zewnętrzny a^b
Grassmann
●
Definiuje nową wielkość geometryczną dwuwektor
10
Wprowadzenie
●
Dwuwektor – skierowana powierzchnia
●
Własności:
|a^b| = |a||b|sin(a,b)
a^b = - b^a
a^a = 0
●
I więcej...
11
Wprowadzenie
●
Poszerzenie na dowolną liczbę wymiarów
tworzymy n-wektory
●
Łączność
(a^b)^c = a^(b^c)
12
Wprowadzenie
Mamy więc “lepszy” iloczyn bo:
●
Łączny
●
Uogólniony na dowolny wymiar
●
●
Z wyjaśnionym pochodzeniem
pseudotransformacji
Niezależny od skrętności
Ale to nie koniec...
13
Wprowadzenie
●
Kombinując nowy iloczyn zewnętrzny ze
znanym iloczynem wewnętrznym :
ab = a^b + a.b
Otrzymujemy tzw.
Iloczyn geometryczny
(iloczyn Clifforda)
14
Clifford
Wprowadzenie
●
Ale to niegłupie:
Prostopadle ↔ iloczyn antykomutuje
Równolegle ↔ iloczyn komutuje
●
A pomiędzy rozwija skrzydła!
●
Można dalej wyprowadzać :
a(b+c) = ab + ac
a(bc) = (ab)c
15
Wprowadzenie
●
Pozostaje kwestia biwektor + skalar
●
Suma n-wektorów = wielowektor
0-wektor
1-wektor
16
Wprowadzenie
●
●
Algebra geometryczna należy do algebr
Clifforda.
Opiszemy euklidesową przestrzeń Nwymiarową i czasoprzestrzeń.
17
Algebra 2D
●
Przestrzeń 2D z wektorami (orto) σ1, σ2
●
Iloczyny wektorów bazy:
Baza dla 4-wymiarowego wielowektora A:
ai to liczby
18
Algebra 2D
●
Mnożąc dwa ogólne wielowektory:
1. Dostajemy znowu wielowektor
2. Obroty wersorów
3. Zauważamy:
●
Dostaliśmy “jednostkę urojoną”!
19
Algebra 2D
Algebra płaszczyzny zespolonej
●
Notacja: taka algebra to Cl(2,0)
20
Algebra 3D
●
A co w 3 wymiarach? (Cl(3,0))
●
8-wymiarowy wielowektor
●
Ogólnie wymiar = 2N
21
Algebra 3D
●
Przy mnożeniu:
●
I znowu coś urojonego:
●
Biwektory^2 = -1... Ale:
22
Algebra 3D
●
Zauważmy, że:
●
Macierze Pauliego?
●
Ale całkiem inna interpretacja
geometryczna!
23
Algebra 3D
●
Wielowektor w 3D:
a = ai σ i
●
b = b i σi
Algebra Pauliego
24
Algebra 3D
●
Parzyste wektory:
●
Tworzą algebrę kwaternionów
Iσ1 ↔ i, -iσ2 ↔ j, iσ3 ↔ k
i2 = j2 = k2 = ijk = -1
25
Algebra 3D
●
Ostatni ważny wynik:
a x b = -i a ^ b
●
Operator dualny * (Hodge'a)
a x b = -(a ^ b)*
●
* : k-wektor → (N-k)-wektor
26
Algebra 2D, 3D
Bogactwo struktury algebraicznej:
●
Struktura zespolona
●
Struktura macierzy Pauliego
●
Struktura kwaternionowa
A znamy jeszcze coś...
27
Przykład fizyczny
●
●
Przykład zastosowania algebry przestrzeni
3D są równania Maxwella
Rozważmy pola wielowektorowe:
a, b, α, β są funkcjami (x,y,z,t)
28
Przykład fizyczny
●
Operator:
●
Pole f postaci:
●
Źródła:
29
Przykład fizyczny
●
Tworzymy najprostsze równanie dla tego
pola:
Df = J
●
...
30
Przykład fizyczny
●
Wyzerujemy u,v i magnetyczne źródła...
●
Voila, równania Maxwella
31
Algebra czasoprzestrzeni
●
Przestrzeń niezwykła – czasoprzestrzeń
●
Sygnatura (+,-,-,-)
●
Cl(1,3)
Algebra Diraca
32
Algebra czasoprzestrzeni
●
1+4+6+4+1 = 24 = 16 wielkości niezależnych
Izomorfizm z algebrą Pauliego (przestrzeń 3D)
k=1..3
33
Algebra czasoprzestrzeni
●
Podobieństwa z teorią Diraca:
ΨΨ
Ψ γμ Ψ
Ψ σμν Ψ
Ψ γ5γμ Ψ
●
Tym razem więcej geometrii
●
Cdn.
34
Ψ γ5 Ψ
Podsumowanie
●
Bogactwo struktury
●
Prostota
●
Unifikacja
●
Niezależność od współrzędnych
●
Zastosowania w fizyce
●
I poza nią: robotyka, przetwarzanie obrazu
oraz sygnałów
35
Bibliografia
●
●
“Geometric Algebra and its Applications to Mathematical
Physics” C. Doran 1994
“Imaginary numbers are not Real – the Geometric Algebra of
Spacetime” S. Gull, A. Lasenby, C. Doran 1993
●
“Skalary, wektory i co dalej?” - B. Jancewicz FOTON 103
●
“Pseudowektory” B. Jancewicz – wykład Uwr 2010 (Ilustracje!)
●
“New Foundations of classical mechanics” D. Hestenes 1999
●
“Spacetime calculus – with applications” D. Hestenes
●
http://arkadiusz.jadczyk.salon24.pl/
36
Koniec
Dziękuję za uwagę!
37