Część VI

–
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki
dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego
Biotechnologia
w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”
Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany
przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Funkcja potęgowa i pierwiastkowa
6. Funkcja potęgowa i pierwiastkowa
Funkcję postaci
y = xa ,
gdzie a ∈ R \ {0} nazywamy funkcją potęgową.
6.1. Przykłady
(1) a = 2k − 1, k ∈ N \ {0}
Rysunek 1. Wykresy funkcji f (x) = x, g(x) = x3 , h(x) = x5 .
y
f
g
h
• Df = R,
1
• zbiór wartości R,
-2
-1
0
1
2
• funkcja rosnąca,
x
• funkcja nieparzysta.
-1
(2) a = 2k, k ∈ N \ {0}
Rysunek 2. Wykresy funkcji f (x) = x2 , g(x) = x4 , h(x) = x6 .
y
f
g
h
• Df = R,
• zbiór wartości R+ ∪ {0},
1
• funkcja parzysta.
-1
0
1
x
(3) a = 2k − 1, k ∈ Z− ∪ {0}
Rysunek 3. Wykresy funkcji f (x) = x−1 , g(x) = x−3 , h(x) = x−5 .
y
f
g
h
• Df = R \ {0},
1
• zbiór wartości R \ {0},
• funkcja nieparzysta,
-2
-1
0
-1
1
2
x
• funkcja
wa.
różnowartościo-
29
Funkcja potęgowa i pierwiastkowa
(4) a = 2k, k ∈ Z−
Rysunek 4. Wykresy funkcji f (x) = x−2 , g(x) = x−4 , h(x) = x−6 .
y
f
g
h
• Df = R \ {0},
• zbiór wartości R \ {0},
1
• funkcja parzysta.
-2
-1
0
1
2
x
(5) a = k1 , k = {2, 4, . . . }
1
1
1
Rysunek 5. Wykresy funkcji f (x) = x 2 , g(x) = x 3 , h(x) = x 4 .
y
f
g
h
1
0
1
x
2
(6) a = k1 , k = {3, 5, . . . }
1
1
1
Rysunek 6. Wykresy funkcji f (x) = x 3 , g(x) = x 5 , h(x) = x 7 .
y
f
g
h
1
-3
-2
-1
0
6.2. Działania na potęgach
Zakładamy, że a ̸= 0.
a0 = 1
a1 = a
an+1 = an · a
30
1
2
3
x
Funkcja potęgowa i pierwiastkowa
Jeśli m, n ∈ R, a, b ∈ R+ , to
am · an = am+n
(a · b)n = an · bn
am
an
( ab )n =
= am−n
a−n =
a
1
an
√
= n am
m
n
(am )n = am·n
an
bn
n ∈ N, a ∈ R \ {0}
n ∈ N \ {0}, m ∈ N, a > 0
6.3. Działania na pierwiastkach
Jeśli m, n ∈ N, m, n > 1, a, b > 0, to
√
√ √
n
a·b= na· nb
√
n
a
b
=
√
na
√
n
b
√√
√
a
√
√
( n a)p = n ap
m
n
a=
m·n
a·
√
√
n
b = n an · b
6.4. Funkcje pierwiastkowe
• Funkcją odwrotną do funkcji f : [0, +∞) → [0, +∞), f (x) = x2 jest funkcja pierwiastek kwadratowy
√
√
: [0, +∞) → [0, +∞), x 7→ x.
• n = 2k, k ∈ Z+
√
Funkcją odwrotną do funkcji potęgowej f : [0, +∞) → [0, +∞), f (x) = xn jest funkcja n
√
[0, +∞), x 7→ n x.
: [0, +∞) →
• n = 2k + 1, k ∈ Z+
√
√
Funkcją odwrotną do funkcji f : R → R, f (x) = xn jest funkcja pierwiastek n : R → R, x 7→ n x.
6.5. Równania i nierówności pierwiastkowe
∀a,b>0
a = b ⇐⇒ a2 = b2
∀a,b<0
a = b ⇐⇒ a2 = b2
∀a,b>0
a 6 b ⇐⇒ a2 6 b2
∀a,b<0
a 6 b ⇐⇒ a2 > b2
6.6. Przykładowe zadania
√
1. Rozwiązać równanie x + 3 = x + 1.
Rozwiązanie:
Pierwiastek kwadratowy jest określony dla liczb nieujemnych, więc x + 3 > 0, czyli x > −3.
Podnosimy obie strony do kwadratu.
√
( x + 3)2 = (x + 1)2
x + 3 = x2 + 2x + 1
x2 + x − 2 = 0
∆ = 9, x1 = −2, x2 = 1
31
Funkcja potęgowa i pierwiastkowa
Ponieważ operacja podnoszenia stron równania do kwadratu nie jest przekształceniem równoważnym i może spowodować wprowadzenie tzw. pierwiastków obcych, sprawdzamy, czy otrzymane
wyniki są faktycznie rozwiązaniami wyjściowego równania.
Odpowiedź: x ∈ {−2, 1}.
2. Rozwiązać równanie 3 −
√
√
x − 1 = 3x − 2.
Rozwiązanie:
Pierwiastek kwadratowy jest określony dla liczb nieujemnych, więc x − 1 > 0, czyli x > 1 oraz
3x − 2 > 0, czyli x > 32 . Zatem D = [1, +∞).
Wyrażenie to podnosimy do kwadratu.
√
√
(3 − x − 1)2 = ( 3x − 2)2
√
9 − 6 x − 1 + x − 1 = 3x − 2
√
−6 x − 1 = 2x − 10
√
3 x−1=5−x
Równanie podnosimy po raz kolejny do kwadratu.
√
(3 x − 1)2 = (5 − x)2
9(x − 1) = 25 − 10x + x2
x2 − 19x + 34 = 0, ∆ = 225, x1 = 2, x2 = 17
Ponieważ operacja podnoszenia stron równania do kwadratu nie jest przekształceniem równoważnym i może spowodować wprowadzenie tzw. pierwiastków obcych, sprawdzamy, czy otrzymane
wyniki są faktycznie rozwiązaniami wyjściowego równania.
Odpowiedź: x = 2.
3. Rozwiązać nierówność
√
4x − x2 ­ x − 2.
Rozwiązanie:
Pierwiastek kwadratowy jest określony dla liczb nieujemnych, więc 4x − x2 > 0, czyli x ∈ [0, 4].
• Dla x ∈ [0, 2) prawa strona nierówności jest ujemna, lewa natomiast jest dodatnia. Czyli nierówność zachodzi w sposób oczywisty dla każdego x ∈ [0, 2).
• Dla x ∈ [2, 4] obie strony nierówności są nieujemne, więc można je podnieść do kwadratu (zachowując kierunek nierówności).
√
( 4x − x2 )2 ­ (x − 2)2
4x − x2 ­ x2 − 4x + 4
x2 − 4x + 2 ¬ 0
√
√
√
√
∆ = 8, x1 = 2 − 2, x2 = 2 + 2, czyli x ∈ [2 − 2, 2 + 2]
√
Uwzględniając warunek wstępny x ∈ [2, 4] otrzymujemy x ∈ [2, 2, + 2].
√
Bierzemy sumę odpowiedzi z obu przypadków, czyli x ∈ [0, 2) lub x ∈ [2, 2, + 2].
√
Odpowiedź: x ∈ [0, 2 + 2].
4. Rozwiązać nierówność
√
√
x + 1 ¬ 1 + x − 2.
Rozwiązanie:
Pierwiastek kwadratowy jest określony dla liczb nieujemnych, więc x + 1 > 0, czyli x ­ −1 oraz
x − 2 ­ 0, czyli x ­ 2. Stąd D = [2, +∞).
Obie strony nierówności są dodatnie, więc możemy podnieść obie strony nierówności do kwadratu.
32
Funkcja potęgowa i pierwiastkowa
√
√
( x + 1)2 ¬ (1 + x − 2)2
√
x+1¬1+2 x−2+x−2
√
1­ x−2
Podnosimy równanie do kwadratu po raz kolejny.
1 ¬ x − 2, więc x ­ 3
Odpowiedź: x ∈ [3, +∞).
6.7. Zadania
Znaleźć dziedzinę funkcji:
√
√
1. f (x) = 2 5 − x + x2 + 1.
√
√
2. f (x) = x2 + 2x − 3 − 8 − x.
√
3. f (x) = −x3 − 4x + 2x2 + 8.
√
4. f (x) = −x2 + 17x − 30.
5. f (x) =
√
4x+x2
.
x
√
6. f (x) =
√
7. f (x) =
3
16−x2
4−x
+
1
2x−5 .
x+1
x2 −9 .
x −8
8. f (x) = √
.
3
2
2− x
9. f (x) = √3x−1
2− 3x+1
x−2
.
Rozwiązać równanie:
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
√
x2 − 4x + 2 = x2 − 4x − 28.
√
x2 − 5 x2 − 2 = −4.
√
x + 3 = x + 1.
√
√
3 − x − 1 = 3x − 2.
√
√
x2 − 25 + x2 − 1 = 4.
√
√
x2 + 10x + 25 − x2 − 8x + 16 = 5.
√
√
3
x + 45 − 3 x − 16 = 1.
√
2 x2 + x − 20 + x(x + 1) = 68.
√
√
√
x + 5 − x = x − 3.
√
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
√
1 − 1 + x = x.
√
x 2 − x = 2x − 1.
√
x2 + 7 − x = 2.
√
√
x + 4 + x + 11 = 7.
√
2x − 3 x − 8 = 25.
√
√
x − x2 − x + 1 + x2 + x + 6 = 1.
√
√
3
2 x2 − 5 3 x = 3.
√
1 − 4 5x − 7 = 2.
√
√
√
√
x + 3 − 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 1.
Rozwiązać nierówność:
28.
29.
30.
31.
32.
33.
√
2x − 1 > 2.
34.
(x + 2)2 − 8x + |3 − x| < 3x − 1.
√
(x − 4) x + 1 < 4 − 2x.
√
3 6 + x − x2 + 2 ¬ 4x.
√
√
x2 + 10x + 25 + x2 − 12x + 36 ¬ 9 − x.
√
x2 − 25 < 5 − x.
37.
√
√
√
2x − 1 − x + 2 ­ 0.
√
√
35. x + 3 + 2x >.
√
36. x2 − 16 < 2 − x.
√
(x + 4)(x − 3) < 6 − x.
√
38. −5 8x − 2x2 ¬ x − 4.
√
39.
3x−4
3−x
> 1.
33
Funkcja potęgowa i pierwiastkowa
Sporządzić wykres funkcji:
√
x + 2.
√
41. f (x) = − −x − 1.
√
42. f (x) = 4 − x2 .
√
3
x + 1.
√
44. f (x) = 3 x − 2.
√
45. f (x) = x2 − 2x + 1 − |x|.
40. f (x) =
46. Rozwiązać równanie
43. f (x) =
√
√
2 − 4x2 − kx + 2 = 0 z parametrem k.
x2 −1
(x−1)(x+1)
47. Dla jakich wartości parametru m równanie √
48.
49.
34
Rozwiązać układ równań (nierówności):
{√
√
x + y = 14
x + y = 130
√
√
√
 x + y + 2xy = 8 2

√
√
x+ y =4
= x + m ma rozwiązanie?
{
√
50.
x + y + 1 + x + y = 41
{
51.
√
√
3
x+ 3y =5
|x4 − 1| > 3(x2 + 1)
√
x+1+x¬1