LOGIKA I TEORIA MNOGOŚCI Z9−10 1. Rozwiązać równanie x2 +

LOGIKA I TEORIA MNOGOŚCI
Z9−10
1. Rozwiązać równanie x2 + 4x + 3 = 0 w ciele Z5 , Z13 i w pierścieniu Z12 i Z5 × Z13 .
2. Rozwiązać równanie x2 + 2x = 1 w ciele Z7 , Z11 i w pierścieniu Z12 .
3. (*) Wskazać pierścień Zn , w którym równanie x2 + 2x = 3 ma co najmniej 3 rozwiązania.
4. Rozwiązać równanie x3 + 9x2 + 1 = 0 w ciele Z11 .
5. (*)Rozwiązać równanie x3 + 9x + 1 = 0 w ciele Z11 .
6. Rozwiązać równanie x3 + 2x2 + x = 0 w pierścieniu Z15 .
7. Wyznaczyć warstwy danego pierścienia P względem ideału J. Czy ideał J jest pierwszy?
(a) P = Z15 , J = 3P =< 3 >= {0, 3, 6, 9, 12},
(b) P = Z6 × Z4 , J =< (3, 3) >,
(c) (*) P = Z6 × Z4 , J =< (2, 2) >,
(d) (*) P = Z3 [x], J = (x2 + 2x)Z3 [x].
Wypisać kwadraty wszystkich elementów P/J .
8. (*) Skonstruować ciało 9-elementowe (GF [9] = Z3 [x]/(x2 +1) ).
√
Dla każdego elementu a ∈ GF [9] obliczyć 3 a.
9. Skonstruować ciało 8-elementowe (GF [8] = Z2 [x]/(x3 +x+1) ).
√
√
x2
W ciele GF [8] obliczyć x1 , 1+1
, 1 + x, x.
10. (*) W ciele GF [8] rozwiązać równanie kwadratowe o niewiadomej t:
(a) t2 + (x2 + 1)t + 1 = 0,
(b) t2 + t + (x2 + x) = 0.
11. Który z poniższych pierścieni ilorazowych jest ciałem?
a) Q[x]/(x2 −2) ,
b) Q[x]/(x2 −4) ,
c) Q[x]/(x3 −2) ,
f ) R[x]/(x2 −1) ,
g) R[x]/(x−7) ,
h) R[x]/(x2 +5) ,
d) Q[x]/(x2 +32) ,
e) Q[x]/(x+2) ,
i) R[x]/(x3 +5) .
12. Który z poniższych pierścieni ilorazowych nie ma dzielników zera, a który jest ciałem?
a) Z[x]/(x2 −2) ,
f ) Z5 [x]/(x2 +1) ,
b) Z[x]/(x2 −4) ,
g) Z5 [x]/(x2 +2) ,
c) Z[x]/(x3 −2) ,
h) Z4 [x]/(x+1) ,
d) Z[x]/(x2 +3) ,
e) Z[x]/(x+2) ,
i) Z4 [x]/(x2 +3) .