Granice - wzory i techniki, które warto zna

Granice – wzory i techniki, które warto znać
Przemysław Pawełczyk
1. Ważne granice
1
lim (1 + x) x = e
(1)
x→0
loga (1 + x)
= loga e
x→0
x
ax − 1
lim
= ln a
x→0
x
(1 + x)a − 1
lim
=a
x→0
x
lim
(2)
(3)
(4)
Dowody
α
1
1. Oznaczmy przez α = x1 . Wówczas gdy x → 0 to α → ±∞. limx→0 (1+x) x = limα→∞ 1 + α1 = e.
1
2. Z loga (1+x)
= loga (1 + x) x , ciągłości funkcji logarytmicznej oraz (1) znajdujemy pożądaną granicę.
x
x
3. Niech a −1 = α. Wówczas przy x → 0 (na podstawie ciągłości funkcji wykładniczej) mamy także
x
α
α → 0. Tak więc x = loga (1 + α) i na mocy (2): limx→0 a x−1 = limα→0 log (1+α)
= log1 e = ln a.
a
a
4. Przyjmijmy (1 + x)a − 1 = α. Przy x → 0 (ze względu na ciągłość funkcji potęgowej) mamy
α → 0. Logarytmując równość (1 + x)a = 1 + α otrzymujemy, że: a ln(1 + x) = ln(1 + α), dzięki
a
α
· a · ln(1+x)
co po uwzględnieniu (2) dla ilorazów
czemu możemy napisać: (1+x)x −1 = αx = ln(1+α)
x
oraz ln(1+x)
(dążą do jedności) pozwala nam znaleźć granicę.
x
Uwaga: Granice 1-4 pozostają prawdziwe, jeżeli za x weźmiemy dowolną funkcję α(x) zbieżną do 0
gdy x → x0 .
α
ln(1+α)
2. Chwyty
1. x→a
lim [f (x)]ϕ(x) . W przypadku granic skończonych x→a
lim f (x) = A > 0, x→a
lim ϕ(x) = B zachodzi związek
lim [f (x)]ϕ(x) = x→a
lim eϕ(x) ln f (x) = eB ln A = AB
x→a
Jeżeli lim f (x) = 1 oraz lim ϕ(x) = ∞, to korzystając z (1) i ciągłości funkcji wykładniczej,
x→a
x→a
można zastosować następujące przekształcenie:
ϕ(x)
lim [f (x)]
x→a
ϕ(x)
= lim [1 + (f (x) − 1)]
= lim [1 + (f (x) − 1)]
x→a
1
f (x)−1
ϕ(x)(f (x)−1)
lim ϕ(x)(f (x)−1)
= e x→a
x→a
Przykład:
ax + b x
lim
x→0
2
!1
x
lim 1
x→0 x
=e
x +bx
(a
2
−1)
=e
x
x
1
lim a x−1 + b x−1
2 x→0
(
)
1
= e 2 (ln a+ln b) =
√
ab
2. lim f (x) · g(x). Jeżeli znamy jakieś granice ilorazów funkcji również przy x → a, w których
x→a
występuje f (x) lub g(x), pomocne może się okazać pomnożenie i podzielenie przez tą drugą część
pod granicą. Przykład:
lim √
4
x→0
−2 sin2
ln cos x
ln(1 + (cos x − 1))
x2
cos x − 1
√
= lim
· 4
·
= 4 lim
x→0
cos x − 1
x2
( x2 )2
1 + x2 − 1 x→0
1 + x2 − 1
–1–
x
2
( x2 )2
· 2 = −2
x
Granice – wzory i techniki, które warto znać
Przemysław Pawełczyk
3. Nieskończenie małe
Funkcja α(x) nazywa się nieskończenie małą gdy lim α(x) = 0. Analogicznie określa się nieskońx→a
czenie małą funkcję gdy x → ∞. Funkcje nieskończenie małe mają następujące własności:
1. Suma i iloczyn dowolnej, skończonej ilości funkcji nieskończenie małych jest także nieskończenie
małą.
2. Iloczyn funkcji nieskończenie małej i funkcji ograniczonej jest funkcją nieskończenie małą.
Niech funkcje α(x) i β(x) będą nieskończenie małe gdy x → a i niech
lim
x→a
α(x)
=c
β(x)
Jeżeli c = 0, to funkcja α(x) nazywa się nieskończenie małą wyższego rzędu w porównaniu z β(x),
zaś β(x) - nieskończenie małą niższego rzędu w porównaniu z α(x), co zapisujemy
α(x) = o(β(x))
Jeżeli c ∈ R+ to funkcje α(x) i β(x) nazywają się nieskończenie małymi tego samego rzędu.
Jeżeli c = 1, to funkcje α(x) i β(x) nazywają się równoważnymi, co zapisujemy α(x) ∼ β(x).
Jeżeli c = ±∞ zachodzi sytuacja odwrotna do c = 0.
Gdy nie istnieje powyższa granica, mówimy że nieskończenie małe funkcje są nieporównywalne.
α(x)
Jeżeli lim β(x)
n = c, gdzie 0 < |c| < ∞, to funkcja α(x) nazywa się nieskończenie małą n-tego
x→a
rzędu w porównaniu z funkcją β(x).
Jeżeli funkcje α(x) i β(x) są nieskończenie małe dla x → a, i jeżeli α(x) ∼ γ(x), β(x) ∼ δ(x), to
lim
x→a
γ(x)
α(x)
= lim
x→a
β(x)
δ(x)
(zasada zamiany równoważnych)
Jeżeli lim f (x) = k, 0 < |k| < ∞, to
x→a
f (x)α(x) ∼ kα(x)
Jeżeli α(x) ∼ γ(x) i β(x) ∼ γ(x), to α(x) ∼ β(x).
Na to, aby dwie nieskończenie małe funkcje były równoważne, potrzeba i wystarcza, by ich różnica
była nieskończenie małą wyższego rzędu w porównaniu z każdą z nich.
Nieskończenie małe równoważne przy x → 0:
sin α(x) ∼ arcsin α(x) ∼ tg α(x) ∼ arctg α(x) ∼ ln(1 + α(x)) ∼ p1 [(1 + α(x))p − 1] ∼ eα(x) − 1 ∼ α(x)
Przykłady:
2

esin2 x
− 1 ∼ sin2 x ∼ x2
ln(1 + tg(2x2 )) ∼ tg(2x2 ) ∼ 2x2

√
√
3
3

x
∼
x
sin



√
√

3
ln(1 + 3x) ∼ 3x
x · 3x
sin 3 x ln(1 + 3x)
3
√
√ 2 5√
lim
= lim
=
,
bo
√
√
3x

x→0 (arc tg
5
x) (e
− 1) x→0 x · 5 3 x

arc tg x ∼ x


√

3
 5√
e x−1∼53x
esin x − 1
1
lim
= ,
2
x→0 ln(1 + tg(2x ))
2
bo
Przykład (de l’Hospital):
1
1
1
(1 + x) x − e
e x ln(1+x)−1 − 1
e x ln(1+x)−1 − 1
lim
= e lim
= e lim 1
·
x→0
x→0
x→0
x
x
ln(1 + x) − 1
x
ln(1 + x) − x H
= e lim
x→0
x2
[ 00 ] x→0
= e lim
–2–
1
1+x
−1
1
=− e
2x
2
1
x
ln(1 + x) − 1
=
x
Granice – wzory i techniki, które warto znać
Przemysław Pawełczyk
4. Lokalny wzór Taylora
Lokalnym wzorem Taylora (lub wzorem Taylora z resztą w postaci Peano) nazywamy wzór:
f 0 (a)
f 00 (a)
f (n) (a)
2
f (x) = f (a) +
(x − a) +
(x − a) + . . . +
(x − a)n + o((x − a)n )
1!
2!
n!
Dla a = 0 otrzymujemy wzór Maclaurina z resztą w postaci Peano.
f (x) = f (0) +
f 0 (0)
f 00 (0) 2
f (n) (0) n
x+
x + ... +
x + o(xn )
1!
2!
n!
Z lokalnego wzoru Taylora wynika, że zastępując dla x → a funkcję f (x) w otoczeniu punktu a
wielomianem Taylora n-tego stopnia, popełniamy błąd będący nieskończenie małą wyższego rzędu
niż (x − a)n .
W obliczeniach najczęściej jest stosowanych pięć podstawowych rozkładów
x2
xn
+ ... +
+ o(xn )
2!
n!
x2n−1
x3
sin x = x −
+ . . . + (−1)n−1
+ o(x2n )
3!
(2n − 1)!
4
2
x
x
x2n
+
− . . . + (−1)n
+ o(x2n+1 )
cos x = 1 −
2!
4!
(2n)!
2
a
an
(1 + x)a = 1 + ax + x2 + . . . + xn + o(xn )
2!
n!
x2 x3
xn
+
− . . . + (−1)n−1 + o(xn )
ln(1 + x) = x −
2
3
n
ex = 1 + x +
gdzie an = a(a − 1) . . . (a − n + 1) i czytamy to: a dolna silnia n.
|
{z
}
n
Przykład:
sin 3x
lim
x→0
3x
1
x2

= lim
x→0
3x −

(3x)3
3!
3x

1
2
+ o(x4 )  x
3
= lim 1 − x2 + o(x3 )
x→0
2
1
x2
=
3 2 +o(x3 )
=


lim
1−
x→0
3 2
x + o(x3 )
2
1
2
3
−3
2 x +o(x )
−2x

x2
lim
= ex→0
3 x2 +o(x3 )
−2
x2
lim − 23 +o(x)
= ex→0
3
= e− 2
Przykład (nieskończenie małe):
1
x
2
1
x
ln(1+2x)−2
2x−
(2x)2
2
2 +o(x ) −2
x
(1 + 2x) − e
e
−1
e
= e2 lim
= e2 lim
x→0
x→0
x→0
x
x
x
−2x+o(x)
e
− 1 −2x + o(x)
= e2 lim
·
= −2e2
x→0 −2x + o(x)
x
lim
−1
=
Literatura
[1] G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom I, PWN, Warszawa 1976
[2] I. A. Maron, Zadania z rachunku różniczkowego i całkowego: Funkcje jednej zmiennej, WNT, Warszawa
1974
–3–