Analiza - ćwiczenia do matury rozszerzonej (od 2015)

Analiza - ćwiczenia do matury rozszerzonej (od 2015)
(1) Oblicz granice funkcji:
√
(2x+4) 9x2 +3x+7
(6x−7)2
|3x+4|
b) lim x−2
x→−∞
x2 −25
c) lim 2x−10
x→5
3 +x2 +x+1
d) lim x 3x
2 +x−2
x→−1
√
e) lim 5x+1−4
x2 −9
x→3
1
2x
f) lim x−10
− x2 −100
x→10
x3 −1
g) lim |x−1|
+
x→1
a) lim
x→+∞
h) lim
x→0−
i) lim
x→5−
x2 +2x
|x|
x2 +3
x−5
mx+1
x−m
x→3
( 2
x −4
,
= 2x−4
(2) Dla jakich wartości m granica lim
(3) Zbadaj ciągłość funkcji g(x)
jest równa 7?
dla x < 2
3x − 4, dla x ­ 2
(
3x3 −x2 −x−1
,
x−1
dla x 6= 1
jest ciągła?
m,
dla x = 1
√
(5) Wyznacz pochodne funkcyj: f (x) = (x−3)2 , g(x) = 3 3 x+ √1x , h(x) = (x5 +1)(3x2 − x + x1 ),
(4) Dla jakiej wartości m funkcja f (x) =
p(x) =
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
x2 −1
3x+7 .
4
2
+1
0
Dana jest funkcja f (x) = x x+x
3 +x . Oblicz f (−1).
Dana jest funkcja f (x) = x − x1 . Rozwiąż nierówność f (x) ­ f 0 (x) − x22 .
Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = 19 x3 + x w punkcie x0 = 3.
Wyznacz równania stycznych do wykresu funkcji f (x) = x2 + 3 przechodzących przez
punkt A(−2, −2).
√
Wyznacz równania stycznych do wykresu funkcji f (x) = 3x3 nachylonych do osi OX
pod kątem 30◦ .
Wyznacz ekstrema funkcji f (x) = 13 x3 + 3x2 + 8x − 17.
Wyznacz ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji f (x) = x4 − 14x2 − 24x.
Wyznacz ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji f (x) = x2 + x2 . Pamiętaj o
uwzględnieniu dziedziny.
Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x + x4 w przedziale h 21 , 4i.
Dla jakich wartości m równanie (x + 2)2 (x − 4) = m ma dokładnie dwa rozwiązania?
Dla jakich wartości m równanie x3 −12x+16 = m ma dokładnie dwa rozwiązania ujemne?
Odpowiedzi:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
5
1
, f) − 20
, g) 3, h) -2, i) −∞
a) 16 , b) -3, c) 5, d) − 25 , e) 48
m=2
ciągła
m=6
2
3
f 0 (x) = 2x − 6, g 0 (x) = x− 3 − 12 x− 2 , h0 (x) = 5x4 (3x2 − x + x1 ) + (x5 + 1)(6x − 1 −
2
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
1
x2 ),
−1)·3
p0 (x) = 2x(3x+7)−(x
(3x+7)2
0
x ∈ h−1, +∞) \ {0}
y = 4x − 6
y = 2x
+ 2 i √y = −10x −
22
√
√
√
3
3
2 3
y = 3 x − 27 i y = − 3 x + 2273
maksimum lokalne w x = −4, minimum lokalne w x = −2
maksimum lokalne w x = −1, minima lokalne w x = −2 i x = 3; funkcja rosnąca w
(−2, −1) oraz w (3, +∞), funkcja malejąca w (−∞, −2) oraz w (−1, 3)
minimum lokalne w x = 1, funkcja rosnąca w (1, +∞), funkcja malejąca w (−∞, 0) oraz
w (0, 1)
fM AX = f ( 21 ) = 8, 5, fM IN = f (2) = 4
m ∈ {−32, 0}
m ∈ (16, 32)
Edukacja Karol Suchoń
www.karolsuchon.pl
[email protected]