Najważniejsze granice ciągów i funkcji

GiS
Najważniejsze granice ciągów i funkcji
• lim
n→∞
1
= 0, dla p > 0,
np
• lim xn =
n→∞
• lim
n→∞
√
n

















0,
1,
∞,
nie istnieje,
a = 1 dla a > 0,
1
• lim 1 +
n→∞
n
!n
lim nq = ∞ dla q > 0.
n→∞
gdy
gdy
gdy
gdy
lim
n→∞
|x| < 1,
x = 1,
x > 1,
x ¬ −1.
√
n
n = 1.
1
= e, n→∞
lim 1 −
n
• Symbole nieoznaczone:
0
,
0
!n
1
a
= , ogólnie n→∞
lim 1 +
e
n
tg x
= 1,
x→0 x
lim
ex − 1
• lim
=1
x→0
x
ln(1 + x)
=1
x→0
x
• lim
= ea dla a ∈ R.
∞
, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1∞ , ∞0 , 00 .
∞
arc sin x
= 1,
x→0
x
sin x
= 1,
x→0 x
• lim
!n
lim
arc tg x
= 1.
x→0
x
lim
• ogólnie
ax − 1
lim
= ln a dla a > 0.
x→0
x
• ogólnie
loga (1 + x)
1
=
dla 0 < a 6= 1.
x→0
x
ln a
lim
(1 + x)p − 1
• lim
= p dla p ∈ R.
x→0
x
1
• lim 1 +
x→∞
x
!x
=e
• ogólnie
a
lim
1
+
x→∞
x
!x
= ea dla a ∈ R.
Metody rozwiązywania typowych zadań z Algebry z geometrią
analityczną oraz Analizy matematycznej 1 są omówione w skryptach
z serii „Matematyka dla studentów politechnik”.