Analiza ruchu zmiennego

z naszych lekcji
Analiza ruchu
zmiennego
– podejście matematyczne
Andrzej Sokołowski
akkolwiek ruch zmienny w kierunku dodatnim jest stosunkowo
łatwy do analizowania; ruch w kierunku ujemnym i jego podział na
ruch ze zwiększającą się szybkością i ruch ze zmniejszającą się
szybkością wymaga głębszej analizy. Podział na ruch przyspieszony
i opóźniony (wektorowy charakter)
podawany w podręcznikach do nauki fizyki nie odzwierciedla wystarczająco rzeczywistego stanu ruchu.
Artykuł ten podejmuje próbę matematycznej analizy, która prowadzi
do wyprowadzenia ogólnej zależności pozwalającej określić typ ruchu.
Treść tematu, przedstawiona
w formie dialogu nauczyciela
z uczniami, może posłużyć jako
szkic lekcji rozszerzającej interpretację szybkości i prędkości. Pomocą
dydaktyczną będą symulacje fizyczne, które zostały opisane w „Fotonie” [2] i których pliki, również
w języku polskim, można pobrać
bezpłatnie ze strony: http://phet.
colorado.edu/en/simulation/moving-man. Ponieważ precyzja użycia terminów takich jak: prędkość,
zmniejszanie lub zwiększanie się
szybkości będzie tu istotna, zakłada
się, że (1) szybkość jest wielkością
skalarną, (2) konsekwentnie przyjmuje się, że ciało zwalnia, jeśli
jego szybkość się zmniejsza, i ciało
porusza się coraz szybciej, jeśli jego
szybkość się zwiększa bez względu
na kierunek ruchu, (3) wektorowa
interpretacja pojęcia ruchu jednostajnie przyspieszonego lub opóź-
J
28
Fizyka w Szkole 3/2013
nionego nie będzie podkreślana
w początkowej fazie lekcji, co ma
prowadzić do uogólnienia wniosków,
(4) ruch jednostajnie przyspieszony
lub opóźniony będzie omawiany
podczas końcowej fazy lekcji. Lekcja
ma czysto kinematyczny wymiar,
zasady Newtona nie będą więc
uwzględniane podczas tej analizy.
Treść lekcji
Nauczyciel otwiera stronę: http://
phet.colorado.edu/en/simulation/
moving-man i demonstruje jej własności: możliwość ustalenia początkowych parametrów ruchu mężczyzny,
jego położenie, prędkość i przyspieszenie, jak również fizyczne obserwowanie tego ruchu i jego matematycznych wykresów. Uczniowie
zauważają, że początkowe położenie
mężczyzny nie ma wpływu na jego
prędkość ani przyspieszenie. Różne
warianty ruchu mogą być rozpatrywane poprzez kontrastowanie prędkości i przyspieszenia.
Na podstawie obserwacji można
wyróżnić cztery warianty ruchu
w zależności od znaków początkowej prędkości i przyspieszenia:
1) v > 0, a < 0;
2) v < 0, a < 0;
3) v < 0, a > 0;
4) v > 0, a > 0.
Część 1. Analiza ruchu z ujemną
wartością przyspieszenia
Powiedzmy, że chcemy przeanalizować typ ruchów:
1) v > 0, a < 0 i
2) v < 0, a < 0
oraz dowiedzieć się, kiedy mężczyzna porusza się ze zwiększającą
się szybkością, a kiedy porusza się
ze zmniejszającą się szybkością.
Uczniowie będą przekonani, że a < 0
implikuje ruch, w którym mężczyzna
zwalnia. Czy tak jest w istocie?
Zakładamy, że mężczyzna będzie
poruszał się w kierunku dodatnim
(w prawo), co jest zagwarantowane przez dodatnią wartość prędkości początkowej v > 0. Nauczyciel
pyta uczniów o początkowe położenia i znak przyspieszenia. Po krótkiej dyskusji ustalamy: x = –8 m,
2
v = 4 m/s i a = –0,5 m/s . Pytanie do
uczniów: „Czy mężczyzna będzie
poruszał się coraz wolniej, czy coraz szybciej, powiedzmy w czasie
0 < t < 15 s?”. Uczniowie sklasyfikują ten ruch jako jednostajnie
opóźniony. Nauczyciel pyta dalej,
co to określenie oznacza w praktyce. Czy oznacza, że mężczyzna
będzie zwalniał swój ruch w czasie
0 < t < 15 s? Po krótkiej dyskusji
nauczyciel demonstruje symulowany ruch mężczyzny (rys. 1).
Obserwując ten ruch, uczniowie
zauważą, że owszem, mężczyzna
porusza się ruchem opóźnionym
(używając wektorowej interpretacji)
w całym interwale podanego czasu,
ale to nie oznacza, że w całym interwale czasu mężczyzna zwalnia. Zwalniając, mężczyzna zatrzymuje się
(dla t = 8 s) i potem porusza się coraz
szybciej. Ujemna wartość przyspieszenia niekoniecznie więc oznacza,
że ciało będzie zwalniać. Zauważmy
też, że pomimo tego, że prędkość
ruchu maleje na całym odcinku, to
szybkość nie zachowuje się tak samo.
Szybkość maleje dla 0 < t < 8 s, ale
zwiększa się, kiedy t > 8 s.
Obserwacja tego ruchu jest stosunkowo łatwym sposobem otrzymania poprawnej odpowiedzi. Pytanie
dotyczy jednak znalezienia matematycznych zależności, które będą
odzwierciedlały ściśle charakter
tego ruchu. Jaki symbolizm matematyczny poparty wnioskowaniem
fizycznym pozwala stwierdzić, kiedy
ciało zwalnia, a kiedy przyspiesza,
poruszając się w kierunku dodatnim?
W celu znalezienia tych związków
przeanalizujmy zależności pomiędzy
z naszych lekcji
Rys. 1. Ruch z dodatnią wartością początkowej prędkości i ujemnym przyspieszeniem
Rys. 2. Ruch z ujemną wartością początkowej prędkości i dodatnim przyspieszeniem
Źródło: http://phet.colorado.edu
Źródło: http://phet.colorado.edu
wykresami funkcji prędkości i przyspieszenia, zilustrowane na rys. 1.
Zauważmy, że mężczyzna zwalnia dla
0 < t < 8 s. Na tym odcinku funkcja prędkości przybiera dodatnie
wartości, a funkcja przyspieszenia
przybiera wartości ujemne. Dla
t > 8 s, kiedy mężczyzna porusza się
coraz szybciej, przyspieszenie jest
nadal ujemne, jednak wartości funkcji prędkości są dodatnie. Zsumujmy
te wnioski w tabeli 1.
Zwracamy uwagę uczniów na
korelacje znaków prędkości i przyspieszenia (obydwa ujemne) dla ruchu ze zwiększającą się szybkością
– ruch (2). oraz różnice tych znaków w przypadku ruchu ze zmniejszającą się szybkością – ruch (1).
Część 2. Analiza ruchu z dodatnią
wartością przyspieszenia
Aby wyciągnąć ogólniejsze wnioski odnośnie klasyfikacji ruchów,
przeanalizujmy teraz ruch z początkową ujemną prędkością, a więc
ruch w lewo (rys. 2):
1) ruch 3) v < 0, a > 0 i
2) ruch 4) v > 0, a > 0.
Załóżmy, że początkowe położenie
mężczyzny jest x = 8 m, prędkość
v = –4 m/s (uczniowie zwykle są
nieco zaskoczeni, że prędkość musi
mieć ujemną wartość, żeby ciało
poruszało się w ujemnym kierun2
ku) i przyspieszenie a = 0,5 m/s .
Przeanalizujmy dokładnie ten ruch.
Pytanie do uczniów może być sformułowane podobnie jak w części 1:
„Mając pozytywne przyspieszenie,
czy mężczyzna będzie poruszał się
coraz szybciej, powiedzmy w czasie
0 < t < 15 s?”.
Podobnie jak w pierwszym przypadku, ruch jest zmienny, jednak
obserwując ten ruch, mężczyzna
porusza się coraz wolniej, zatrzymuje się i później porusza się coraz
szybciej. Jego ruch jest jednostajnie
przyspieszony i prędkość jest jednostajnie rosnąca, ale obserwując
jego ruch, jego szybkość: maleje dla
0 < t < 8 s, przybiera wartość zerową dla t = 8 s i wzrasta dla t >8 s.
Kierujemy uwagę uczniów na
ruch (4), kiedy ciało zwiększa swoją
szybkość; znaki prędkości i przyspieszenie są takie same. Sumując
wnioski z tabeli 1 i 2, stwierdzimy,
że ciało porusza się coraz szybciej,
jeśli znaki prędkości tego ciała są
takie same jak znaki jego przyspieszenia: obydwa są dodatnie – ruch
(2), albo obydwa są ujemne – ruch
(4) i konsekwentnie ciało porusza
się coraz wolniej (jego szybkość maleje), jeśli znaki prędkości i przyspieszenia są różne, jak w ruchu
(1) i (3). Wnioski te korespondują
z powszechnie przyjętą nomenklaturą dotyczącą klasyfikacji ruchu,
używaną w podręcznikach do nauki
matematyki [5] i fizyki [6] w USA.
Powyższa analiza dostarczyła
również wyczerpujących danych,
dzięki którym można postawić tezę,
że klasyfikacja ruchu (ruch jedno-
stajnie przyspieszony lub opóźniony) nie odzwierciedla adekwatnie
rzeczywistego charakteru ruchu.
Ujemna wartość przyspieszenia nie
oznacza, że ciało będzie zwalniać na
całym interwale ruchu, podobnie
jak dodatnia wartość przyspieszenia
nie oznacza, że ciało będzie poruszać
się coraz szybciej. Żeby dokładniej
określić stan ruchu, potrzebne jest
użycie skalarnej natury prędkości,
czyli szybkości. Chociaż może się
wydawać, że znaczenie szybkości
w fizyce jest minimalne, jej użycie
w tej analizie było niezbędne.
Część 3. Analiza
matematyczna
funkcji ruchu w praktyce
Pytania o charakter ruchu, pomimo że z natury są domeną fizyki, są bardzo często spotykane na
międzystanowych egzaminach AP
Calculus (zaawansowany rachunek
różniczkowy i całkowy) w szkołach
średnich w USA. Mają one ocenić,
czy uczniowie potrafią zastosować
pojęcia pochodnych funkcji w praktyce. Pytanie nr 3, podane dalej, jest
zaczerpnięte z takiego egzaminu
[4]: http://apcentral.collegeboard.
com/apc/members/exam/exam_information/8031.html#name12.
Tabela 1. Analiza ruchu z ujemnym przyspieszeniem i różnymi prędkościami
Ruch
Typ ruchu
Prędkość
Przyspieszenie
(1)
Ruch ze zmniejszającą się szybkością
Dodatnia
Ujemne
(2)
Ruch ze zwiększającą się szybkością
Ujemna
Ujemne
Tabela 2. Analiza ruchu z dodatnie przyspieszeniem i różnymi prędkościami
Ruch
Typ ruchu
Prędkość
Przyspieszenie
(3)
Ruch ze zmniejszającą się szybkością
Ujemna
Dodatnie
(4)
Ruch ze zwiększającą się szybkością
Dodatnia
Dodatnie
Fizyka w Szkole 3/2013
29
z naszych lekcji
A
B
C
D
Rys. 3. Position – położenie, velocity – prędkość, acceleration – przyspieszenie
Źródło: http://phet.colorado.edu
Pytania nr 1 i nr 2 są typowymi
pytaniami, które zadaje się uczniom
podczas omawiania rodzajów ruchu.
PRZYKŁAD 1.
Powiedzmy, że położenie ciała
opisane jest przez:
więc wnioskujemy, że ciało zwalnia w drugiej sekundzie ruchu.
W 18 sekundzie v = –5 m/s i przy2
spieszenie jest a = –0,5 m/s . Znaki
prędkości i przyspieszenia są takie
same, więc ciało porusza się coraz
szybciej dla t = 18 s.
2
x (t) = –8 + 4t – 0,25t
(typ ruchu omawiany w części 1).
Zbadaj, czy szybkość ciała wzrasta, kiedy t = 2 s i kiedy t = 18 s.
Odpowiedź. Nie mając wykresu,
musimy zbadać znaki prędkości
i przyspieszenia tego ciała dla t = 2 s
i dla t = 18 s. Znajdując pochodną
funkcji położenia, funkcja prędkości
ciała ma postać v(t) = 4 – 0,5t i jego
przyspieszenie jest a(t) = –0,5.
Podstawiając dane, w drugiej
sekundzie ruchu v = 3 m/s i jego
2
przyspieszenie jest a = –0,5 m/s .
Znaki tych wielkości są różne,
PRZYKŁAD 2.
Podane są wykresy prędkości
i przyspieszenia dla ciała poruszającego się ruchem zmiennym po linii prostej. Który zestaw wykresów:
A, B lub C, D (rys. 3) reprezentuje
ciało, które porusza się w lewo ze
zwiększającą się prędkością?
Odpowiedź. Najpierw wskażmy
wykresy, które pokazują prędkość
i przyspieszenie ciała. Są to wykresy A i B. Ruch w lewo jest obrazowany przez ujemną wartość prędkości, co odzwierciedla wykres D.
Weryfikacja znaku przyspieszenia,
LITERATURA
[1] Sokołowski A., Symulacje fizyczne jako efektywna pomoc dydaktyczna,
„Foton” 2006, nr 107, s. 43–48.
[2] Symulacje fizyczne: http://phet.colorado.edu.
[3] College Board: http://apcentral.collegeboard.com/apc/members/exam/exam_
information/8031.html.
[4] AP Calculus Exam: http://apcentral.collegeboard.com/apc/members/exam/
exam_information/8031.html#name12.
[5] Stewart J., Single variable calculus: Concepts and contexts, Brookes/Cole, Belmont
2007.
[6] Tipler P.A., Physics for scientists and engineers, Freeman and Company, New
York 1999.
30
Fizyka w Szkole 3/2013
który jest również ujemny w całym
przedziale czasu ruchu, sugeruje,
że poprawna jest odpowiedź przedstawiona na wykresie D.
PRZYKŁAD 3.
[…] Prędkość ruchu ciała jest
podana przez:
t/4
v(t) = 2sin(e ) + 1
[…] i jego przyspieszenie:
a(t) = 1/2 et/4cos(et/4),
gdzie prędkość jest liczona w m/s.
Czy szybkość tego ciała się zwiększa, kiedy t = 5,5 s? […] Źródło
zadania [4] (zadanie to zawiera
również inne pytania, które nie są
związane z tym tematem).
Odpowiedź. Uczniowie mogą korzystać z kalkulatora podczas rozwiązywania zadania. Obliczając
wartości tych dwóch funkcji dla
t = 5,5 s, otrzymują, że v < 0 i a < 0.
Ta kombinacja znaków sugeruje,
że szybkość tego ciała zwiększa się,
kiedy t = 5,5 s. Niestety, większość
studentów, widząc ujemną wartość
przyspieszenia, przyjmuje automatycznie, że ciało zwalnia, co nie jest
poprawne.
Andrzej Sokołowski
Texas A&M University, Teksas, USA
[email protected]