System M/G/1/L L→∞ ρ λσ λ ρ λ

System M/G/1/L L→
→∞
System M/G/1 nie jest systemu typu markowowskiego. Posiada jedno stanowisko
obsługi i poczekalnię o nieograniczonej pojemności. Odstępy czasu między kolejnymi
zgłoszeniami mają rozkład wykładniczy o parametrze λ. Czas obsługi jest zmienną losową o
skończonej wartości, wariancji σ 2 =
1
µ
1
µ2
i dystrybuancie B(t), zaś jej średnia wartość wynosi
. Rozkład czasu obsługi nie jest zależy od rozkładu odstępów między pojawianiem się
kolejnych zgłoszeń.
Charakterystyki systemu:
Średnia liczba zgłoszeń znajdujących się w systemie (wzór Chinczyna-Pollaczka):
n=ρ+
ρ 2 + λ2σ 2
2(1 − ρ )
ρ=
λ
.
µ
Średnia liczba zgłoszeń na stanowiskach obsługi: l = ρ .
Średnia długość kolejki: v = n − l =
Średni czas pobytu zgłoszenia w kolejce:
ρ2
2 (1 − ρ )

1 +

σ

τ
 2




2



gdzie τ 2 = σ =
1
µ
.
ρ2
+ λσ 2
v
w= = λ
.
λ 2(1 − ρ )
Średni czas obsługi zgłoszenia na stanowisku obsługi: s = w +
Średni czas pobytu zgłoszenia w systemie, czyli suma czasu pobytu zgłoszenia w
kolejce i czasu jego obsługi: q = w + s =
n
λ
1
1
µ
.
.
Szczególnym przypadkiem systemu M/G/1/ L L→∞ jest system M/D/1/L L→∞, w
którym rozkład czasów obsługi jest deterministyczny tzn. czas obsługi jest stały dla każdego
zgłoszenia zatem σ = 0 . Wzór na średnią liczbę zadań w systemie przybiera więc postać
n=ρ+
1
ρ2
2(1 − ρ )
, natomiast na średnią liczbę zadań oczekujących w kolejce – v =
ρ2
2 (1 − ρ )
Por. Walenty Oniszczuk: Metody modelowania, Politechnika Białostocka, Białystok 1995, s. 89 – 96
Por Bogusław Filipowicz: Modele stochastyczne w badaniach operacyjnych, Wydawnictwa NaukowoTechniczne, Warszawa 1996, s. 145 - 161
.
Jeśli rozkład czasów obsługi jest wykładniczy wtedy system M/G/1/L L→∞ staje się
systemem markowowskim M/M/1/L L→∞.
Przykład
Budka z lodami
W pewnej budce z lodami klientów obsługuje tylko jedna osoba. Średnio, co 3 minuty
przybywa klient, który chce kupić loda. W ciągu godziny lodziarka obsługuje średnio 100
klientów. Zakładamy, że liczba podróżnych jest wystarczająco duża, by kolejne zgłoszenia
można było traktować jako niezależne oraz że odstępy między przybywaniem podróżnych
można przybliżyć rozkładem wykładniczym, zaś rozkład czasów obsługi jest rozkładem
dowolnym. Oblicz średnią liczbę klientów oczekujących w kolejce oraz średni czas
oczekiwania w kolejce. Obliczeń dokonaj dla rozkładu deterministycznego oraz dla czasu
obsługi równego σ = 0.2τ 2 .
Średnio, co 2 minuty przybywa klient, zatem w ciągu godziny przybędzie 20 klientów.
Średnia intensywność napływu nowych zgłoszeń λ wynosi więc 20 zgłoszeń w ciągu
godziny.
λ 20
=
= 0.2 .
µ 100
Obciążenie kasjerki: ρ =
Średnia liczba klientów oczekujących w kolejce: v =
ρ2
2(1 − ρ )
=
0.04
= 0.025 dla
1 .6
rozkładu deterministycznego zaś dla czasu obsługi równego σ = 0.2τ 2 wynosi
v=

σ
1 + 
2(1 − ρ )   τ 2

ρ2




2




= 0.025(1 + 0.04) = 0.026 .
Średni czas oczekiwania w kolejce: dla rozkładu deterministycznego
w=
v
λ
=
0.025
= 0.00125 godziny, czyli 4.5 sekundy, natomiast dla czasu obsługi
20
równego σ = 0.2τ 2 w =
v
λ
=
0.026
= 0.0013 godziny co daje 4.68 sekundy.
20
Obliczone charakterystyki pokazują, że klienci praktycznie nie muszą czekać aby
zakupić lody, zarówno w przypadku czasów obsługi zadanego deterministycznym rozkładem
jak i σ = 0.2τ 2 .
Zadania
1. Budka z lodami
Dla opisanej wyżej budki z lodami zbadaj wpływ rozkładu czasu obsługi na
charakterystyki systemu (liczbę klientów na w kolejce i w systemie, średni czas oczekiwania
klientów w kolejce i średni czas jaki klienci muszą czekać zanim zostaną obsłużeni). Obliczeń
dokonaj dla:
a) λ = 4.5; µ = 5; σ = 0 τ 2 ,0.2 τ 2 , 0.4 τ 2 , 0.6 τ 2 , 0.8 τ 2 , 1 τ 2 ;
b) λ = 1; µ = 6; σ = 0 τ 2 ,0.3 τ 2 , 0.5 τ 2 , 0.7 τ 2 , 0.9 τ 2 , 1 τ 2 ;
c) λ = 1.5, 2.5, 3.5, 4.5; µ = 6; σ = 0 τ 2 , 0.5 τ 2 , 1 τ 2 ;
d) λ = 4, 6, 8, 9.5; µ = 10; σ = 0 τ 2 , 0.3 τ 2 , 1 τ 2 ;
e) λ = 5; µ = 4, 6, 8, 10; σ = 0 τ 2 ,0.3 τ 2 , 0.7 τ 2 , 1 τ 2 ;
f) λ = 7; µ = 5, 7, 9, 15; σ = 0 τ 2 ,0.6 τ 2 , 0.9 τ 2 , 1 τ 2 ;
Przedstaw wyniki w postaci wykresów.
2. Barman
Przygotowanie jednego trunku zajmuje barmanowi średnio m minut. Co n minut jakoś
klient zamawia trunek. Załóżmy, że rozkłady czasu obsługi i napływu klientów spełniają
założenia modelu M/G/1/L L→∞. Oblicz średni czas jaki klient musi czekać zanim barman
zacznie go obsługiwać oraz zanim otrzyma zamówiony trunek (średni czas pobytu zgłoszenia
w kolejce i w systemie) oraz średnią liczbę klientów oczekujących na obsługę. Obliczeń
dokonaj dla deterministycznego i wykładniczego rozkładu obsługi zgłoszeń oraz dla zadanego
σ. Wyniki przedstaw również graficznie.
a) σ =0.2 τ 2 , 0.6 τ 2 , 0.8 τ 2 ; n = 2; m = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5;
b) σ = 0.4 τ 2 , 0.5 τ 2 , 0.7 τ 2 ; n = 1; m = 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1;
c) σ =0.1 τ 2 , 0.2 τ 2 , 0.7 τ 2 , 0.8 τ 2 ; n = 0.5, 0,6, 0.7, 0.8, 1; m = 0.5;
d) σ =0.2 τ 2 , 0.3 τ 2 , 0.4 τ 2 , 0.5 τ 2 ; n = 1, 2, 3, 4, 5; m = 0.3;
e) σ = 0.1 τ 2 ,0.2 τ 2 , 0.3 τ 2 , 0.4 τ 2 , 0.4 τ 2 , 0.5 τ 2 , 0.6 τ 2 ; n = 4; m = 1.1;
f) σ = 0.65 τ 2 ,0.7 τ 2 , 0.75 τ 2 , 0.8 τ 2 , 0.85 τ 2 , 0.9 τ 2 , 0.95 τ 2 ; n = 7; m = 0.95;
3. Myjnia samochodowa
Do myjni samochodowej średnio co n minut przyjeżdża jakieś auto, które myte jest
przez średnio m minut. Zakładamy, że badana myjnia spełnia założenia modelu M/G/1/L
L→∞. Oblicz średni czas oczekiwania auta w kolejce oraz średni czas, jaki musi czekać,
zanim odjedzie z myjni czystym autem. Oblicz średnią liczbę klientów znajdujących się w
myjni (auta w kolejce + auto myte). Obliczeń dokonaj dla deterministycznego i
wykładniczego rozkładu obsługi zgłoszeń oraz dla zadanego σ. Wyniki przedstaw w postaci
wykresów.
a) σ =0.2 τ 2 , 0.4 τ 2 , 0.6 τ 2 ; n = 20; m = 10, 15, 20, 25, 30;
b) σ = 0.5 τ 2 , 0.6 τ 2 , 0.7 τ 2 ; n = 10; m = 10, 12, 14, 16, 20;
c) σ =0.1 τ 2 , 0.2 τ 2 , 0.3 τ 2 , 0.4 τ 2 ; n = 5, 6, 7, 8, 9; m = 17
d) σ =0.2 τ 2 , 0.25 τ 2 , 0.3 τ 2 , 0.35 τ 2 ; n = 3, 6, 9, 12, 15; m = 14;
e) σ = 0.1 τ 2 ,0.2 τ 2 , 0.3 τ 2 , 0.4 τ 2 , 0.4 τ 2 , 0.5 τ 2 , 0.6 τ 2 ; n = 15; m = 20;
f) σ = 0.65 τ 2 ,0.7 τ 2 , 0.75 τ 2 , 0.8 τ 2 , 0.85 τ 2 , 0.9 τ 2 , 0.95 τ 2 ; n = 5; m = 12;