plik - pdf - Politechnika Białostocka

System M/M/1/N
System ten posiada jedno stanowisko obsługi i ma sko czon liczb
ródeł. Dane
ródło mo e „wytworzy ” nowe zgłoszenie, dopiero wtedy, gdy wcze niejsze, wysłane przez
to ródło, zgłoszenie zostało ju obsłu one. Zatem ogólna intensywno
napływu nowych
zgłosze zale y od stanu systemu, czyli liczby zgłosze w kolejce i na stanowisku obsługi.
Pojedyncze
ródło wytwarza zgłoszenia z intensywno ci
λ. Je li przybyłe zgłoszenie
zastanie zaj ty kanał obsługi, to ustawia si w kolejce. Kolejka nigdy nie b dzie dłu sza ni
N – 1.
Stany systemu:
H0 – brak zgłosze w systemie, przestój systemu,
H1 – jedno zgłoszenie w systemie (zgłoszenie jest obsługiwane),
H2 – dwa zgłoszenia w systemie (jedno zgłoszenia jest obsługiwane i jedno czeka w
kolejce),
…
HN – N zgłosze w systemie (jedno zgłoszenie jest obsługowe i N – 1 czeka w
kolejce).
Graf stanów:
H0 µ1 λ0 H1 µ2
λ1
…
µN-1 λN-2 HN-1 µN
λN-1 HN
ródła
zgłosze
1
Stanowisko
obsługi
2
kolejka
N
Rysunek 1 Przykład jednostanowiskowego systemu ze sko czonym ródłem
Zakładamy, e λ0 = Nλ , λi = ( N − i )λ (i = 1, 2, …N – 1) oraz µ1 = µ 2 = L = µ N = µ , zatem
Qi =
N!
ρ i dla i = 0, 1, …, N.
( N − i )!
Charakterystyki systemu:
Prawdopodobie stwa stanów systemu: pi = p0 ⋅ Qi (i = 1, 2, …,N), gdzie p0 =
1
N
k =0
.
Qk
rednia liczba zgłosze na stanowisku obsługi: l = 1 − p0 .
redni liczba zgłosze w kolejce: v = 1⋅ p2 + 2 ⋅ p3 + L + ( N − 1) ⋅ p N =
rednia liczba zada w systemie: n = 1 ⋅ p1 + 2 ⋅ p2 + L + N ⋅ p N =
rednia intensywno
N
i =1
N −1
i =1
ipi +1 .
ipi =v + l .
napływu zgłosze : λ ' = λ ( N − n ) .
redni czas pobytu zgłoszenia w kolejce: w =
v
λ'
.
redni czas obsługi zgłoszenia na stanowisku obsługi: s ==
1
µ
redni czas pobytu zgłoszenia w systemie, czyli suma czasu pobytu zgłoszenia w
kolejce i czasu jego obsługi: q = w + s = w +
1
µ
1
.
Przykład
Konserwator obrabiarek
Pracownik pewnej firmy naprawia i konserwuje 25 obrabiarek. Jedna maszyna rednio
raz w tygodniu ulega awarii. Konserwator w ci gu tygodnia jest w stanie naprawi
maszyn. Obrabiarki psuj
si
rednio 5
niezale nie od siebie. Odst py czasu mi dzy kolejnymi
awariami mo na przybli y rozkładowi wykładniczemu, podobnie jak czasy napraw. Jakie
jest prawdopodobie stwo, e konserwator b dzie zaj ty? Ile rednio upływa czasu zanim
zepsuta obrabiarka zostanie naprawiona? Jaka jest rednia liczba oczekuj cych na napraw
maszyn?
1
Por. Walenty Oniszczuk: Metody modelowania, Politechnika Białostocka, Białystok 1995, s. 60 - 63
Por. Bogusław Filipowicz: Modele stochastyczne w badaniach operacyjnych, Wydawnictwa NaukowoTechniczne, Warszawa 1996, s. 100 - 105
rednia intensywno
awarii jednej maszyny wynosi λ = 1 , za
rednia intensywno
obsługi µ = 5.
Prawdopodobie stwo zaj to ci konserwatora: p = 1 − p0 = 0.999999
rednia liczba zgłosze czekaj cych na napraw : v =
N −1
i =1
ipi +1 =
24
i =1
ipi +1 = 19
redni czas jaki upływa zanim obrabiarka zostanie naprawiona, czyli redni czas
pobytu zgłoszenia w systemie: q = 4
Otrzymane wyniki wskazuj , e taki system nie działa zbyt dobrze. Obrabiarki nie
pracuj po 4 dni zanim zostanie usuni ta awaria. Konserwator ci gle jest zaj ty. rednio 76%
obrabiarek czeka w kolejce na napraw . Firma powinna rozwa y zatrudnienie dodatkowego
konserwatora lub kupno mniej awaryjnych obrabiarek.
Zadania
1. Sala komputerowa z jedn drukark
W sali komputerowej stoi jedna drukarka, do której jest podł czonych N komputerów.
rednio co n minut, który z komputerów zgłasza potrzeb skorzystania z drukarki. Jedna
sesja drukowania trwa
rednio m minut. Oblicz prawdopodobie stwa stanów systemu,
prawdopodobie stwo, e przybyłe zgłoszenie nie zastanie wi cej ni 2 zgłoszenia w kolejce,
redni czasu pobytu zgłoszenia w kolejce i w systemie oraz rednie liczby zada
na
stanowisku obsługi i w kolejce. Wyniki zilustruj na wykresach.
a) n = 10, 11, 12, 13, 14; m = 0.5; N = 10;
b) n = 5, 6, 7, 8, 9; m = 3; N = 20;
c) n = 5.5; m = 1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4; N = 12;
d) n = 10 m = 1, 2, 3, 4, 5; N = 15;
e) n = 8; m = 1.2; N = 7, 9, 11, 13, 15;
f) n = 10; m = 2.1; N = 5, 6, 7, 8, 10;
g) n = 15; m = 1.5; N = 10, 12, 14, 16, 25;
2. Biblioteka
Szkolna biblioteka zatrudnia tylko jedna osob , która zajmuje si wypo yczaniem
uczniom ksi ek. W ci gu o miogodzinnego dnia pracy obsłu y ona rednio m uczniów. Do
biblioteki przychodzi rednio n osób w ci gu godziny. Obliczy prawdopodobie stwo, e
bibliotekarka nie b dzie zaj ta oraz prawdopodobie stwo, e w kolejce nie b dzie wi cej ni l
osób, je eli w szkole jest N uczniów. Jaka jest rednia liczba uczniów czekaj cych w kolejce,
i znajduj cych si w bibliotece? Ile czasu trzeba czeka w kolejce, aby móc co wypo yczy ?
Jaka jest rednia intensywno
napływu uczniów do biblioteki?
a) n = 10; m = 80; N = 300; l = 1, 2, 3, 4, 5;
b) n = 12; m = 60; N = 450; l = 5, 6, 7, 8, 9;
c) n = 18; m = 60, 70, 80, 90, 100; N = 500; l = 4;
d) n = 10 m = 55, 56, 57, 58, 60; N = 485; l = 2;
e) n = 20, 22, 24, 26, 30; m = 120; N = 1200; l = 5;
f) n = 10, 13, 15, 17, 25; m = 100; N = 895; l = 10;
g) n = 16; m = 95; N = 400, 500, 600, 700, 800; l = 8;
h) n = 15; m = 110; N = 550, 600, 650, 700, 1000; l = 1;
Wyniki przedstaw na wykresach.
3. Konserwator
Dla
przykładu
7.1.1
obliczy
prawdopodobie stwa
stanów
systemu,
prawdopodobie stwo zaj to ci konserwatora, redni liczb zepsutych obrabiarek, redni czas
oczekiwania na napraw ,
intensywno
redni czas jaki obrabiarka jest niesprawna oraz
awarii maszyn.
tygodniowo, za
rednia intensywno
rednia intensywno
b) n = 2; m = 0.5, 1, 2, 3, 4; N = 8;
c) n = 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0,6; m = 1.5; N = 30;
d) n = 0.3, 0.6, 0.9, 1, 1.3 m = 2; N = 12;
e) n = 0.5; m = 1.5; N = 8, 10, 12, 14, 16;
f) n = 1; m = 1; N = 15, 17, 19, 21, 23;
Wyniki przedstaw na wykresach.
awarii jednaj obrabiarki wynosi n
jej naprawy – m dni. W firmie jest N obrabiarek.
a) n = 1; m = 1, 1.5, 2, 2.5, 3; N = 10;
redni