Programowanie w warunkach ryzyka

Programowanie w warunkach ryzyka
I. Prosty model stochastyczny
Przykład
Stopa dochodu z akcji
Stan gospodarki
Recesja
Stagnacja
Wzrost
Prawdopodobieństwo
wystąpienia
A
B
0,3
0,4
0,3
5%
13%
6%
4%
10%
16%
Ustalić oczekiwaną stopę zwrotu
Oszacować ryzyko akcji
Dokonać wyboru korzystniejszej inwestycji
pi - prawdopodobieństwo wystąpienia stanu i-tego
ri – stopa dochodu z akcji dla i-tego stanu
E(r)=µ - oczekiwana stopa zwrotu (przewidywany zysk)
D2(r)=σ2 – wariancja stopy zwrotu z akcji
m
E (r ) = µ = ∑ pi ⋅ ri
i =1
m
D 2 (r ) = σ 2 = ∑ (ri − r ) 2 ⋅ pi
i =1
II. Zagadnienie gazeciarza
Model
c1 - cena zakupu gazety
c2 - cena sprzedaży gazety
c3 < c1 <c2
c3 - cena zwrotu gazety
b = c2 - c 1
zysk ze sprzedanej gazety
s = c1 - c3
strata na zwracanej gazecie
z liczba gazet zakupionych przez gazeciarza (podaż)
Xpopyt na gazety (zmienna losowa)
p(x)- prawdopodobieństwo tego, że popyt wyniesie x
F(x)- dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa
Dochód osiągany przy sprzedaży z gazet
i popycie na x gazet
Wartość oczekiwana dochodu
gazeciarza przy posiadaniu z gazet
dla z ≤ x
b ⋅ z
g ( z , x) = 
 b ⋅ x − s ⋅ ( z − x) dla z > x
z −1
N
x=n
x=z
d ( z ) = ∑ [b ⋅ x − s ⋅ ( z − x)] ⋅ p( x) + ∑ b ⋅ z ⋅ p( x)
d ( z ) = max{d ( z ) | z ∈ D}
*
1
Przykład
c1 = 1,00 zł
c2 = 1,50 zł
Rozwiązanie
z
x
f(x)
6
7
8
9
6
c3 = 0,70 zł
f(x)
0,1
0,4
0,3
0,2
1. Macierz dochodów
7
8
9
0,1
0,4
0,3
0,2
3
2,7
2,4
2,1
3
3,5
3,2
2,9
3
3,5
4
3,7
3
3,5
4
4,5
Rozwiązanie
x
6
7
8
9
2. Wzór rekurencyjny
d ( z ) = d ( z − 1) + b − (b + s) ⋅ F ( z − 1)
x
6
7
8
9
f(x)
0,1
0,4
0,3
0,2
F(x)
0,1
0,5
0,8
1
2
Rozwiązanie
F ( z − 1) ≤
x
6
7
8
9
3. Wzór analityczny
b
≤ F ( z)
b+s
f(x)
0,1
0,4
0,3
0,2
F(x)
0,1
0,5
0,8
1
III. Zagadnienie kolejek
Ustalenie liczby kanałów obsługi, aby łączne koszty oczekiwania i obsługi były minimalne
Model
Dwa strumienie : zgłoszeń, obsługi
Liczba klientów przybywających - zmienna losowa o rozkładzie Poissona
Czas obsługi klientów - zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym
zliczba kanałów obsługi
aśrednia ilość klientów obsługiwana w jednostce czasu w jednym kanale
µ = a⋅z
stopa obsługi
µstopa przybycia
λ−
parametr intensywności ruchu
π−
λ
π
=
π >1 − kolejka stale wzrasta
µ
Ls =
Średnia liczba osób w systemie
λ
µ −λ
Długość kolejki (średnia liczba osób oczekujących w kolejce)
Ts =
Średni czas przebywania zgłoszenia w systemie
1
µ −λ
Tk = π ⋅ Ts
Średni czas przebywania w kolejce
Łączny koszt systemu obsługi
π2
Lk =
1−π
K ( z ) = b ⋅ Ls + p ⋅ z → min
b - strata związana z oczekiwaniem klienta na obsługę
p - koszt utrzymywania jednego kanału obsługi w jednostce czasu
K
o
s
z
t
y
Strata z oczekiwania w
kolejce
Koszt systemu
obsługi
Koszty utrzymania
kanałów obsługi
Min
z
3
Przykład
W hipermarkecie przeciętnie co godzinę przybywa 300 klientów. Jeden kasjer w tym czasie
obsługuje średnio 120 klientów. Sklep posiada 8 kas.
- Ustalić i zinterpretować stopę obsługi przy maksymalnym obciążeniu kas. Jaka jest intensywność
przepływu klientów?
λ=
a=
z=
µ=
π=
- Co najmniej ile kas powinno być czynnych w hipermarkecie?
a⋅z
λ
λ
λ
<1⇔
>1⇔ z >
π <1⇔ <1⇔
µ
λ
a⋅z
a
- Przy minimalnej ilości kas ustalić średnią liczbę osób w systemie, długość kolejki, średni czas
przebywania w systemie i w kolejce.
300
λ
µ = a ⋅ z = 120 ⋅ 3 = 360
=
=5
Ls =
µ − λ 360 − 300
λ 300
0,8332
π2
π= =
= 0,833
=
= 4,17
Lk =
µ 360
1 − π 1 − 0,833
1
1
=
= 0,017
Ts =
µ − λ 360 − 300
Tk = π ⋅ Ts = 0,833 ⋅ 0,017 ≈ 0,014
- Metodą przeglądu zupełnego ustalić optymalną liczbę kas, przy założeniu, że płaca kasjera
wynosi 10 zł/h, a stratę jaką sklep ponosi w związku z oczekiwaniem klienta w kolejce oszacowano
na 20 zł/h. Ile wynosi minimalny łączny koszt obsługi?
K ( z ) = b ⋅ Ls + p ⋅ z → min
K (3) = 20 ⋅ 5 + 10 ⋅ 3 = 130
300
+ 10 ⋅ 4 = 20 ⋅1,67 + 10 ⋅ 4 = 73,33
K (4) = 20 ⋅
120 ⋅ 4 − 300
300
+ 10 ⋅ 5 = 20 ⋅1 + 10 ⋅ 5 = 70
K (5) = 20 ⋅
120 ⋅ 5 − 300
300
+ 10 ⋅ 6 = 20 ⋅ 0,71 + 10 ⋅ 6 = 74,29
K (6) = 20 ⋅
120 ⋅ 6 − 300
- Ustalić płacę kasjera przy której uruchomienie 5 kas będzie strategią optymalną.
K (4) ≥ K (5)
K (5) ≤ K (6)
K (4) ≥ K (5)
33,33 + p ⋅ 4 ≥ 20 + p ⋅ 5
K (5) ≤ K (6)
20 + p ⋅ 5 ≤ 14,29 + p ⋅ 6
K (4) ≥ K (5) ⇒ p ≤ 13,33
K (5) ≤ K (6) ⇒ p ≥ 5,71
K (4) = 20 ⋅1,67 + p ⋅ 4 = 33,33 + p ⋅ 4
K (5) = 20 ⋅1 + p ⋅ 5 = 20 + p ⋅ 5
K (6) = 20 ⋅ 0,71 + p ⋅ 6 = 14,29 + p ⋅ 6
33,33 − 20 ≥ p ⋅ 5 − p ⋅ 4
p ≤ 13,33
10 − 14,29 ≤ p ⋅ 6 − p ⋅ 5
p ≥ 5,71
p ∈ 5,71;13,33
4
Zalecana literatura
M.Anholcer, H.Gaspars, A.Owczrkowski Przykłady i zadania z badań operacyjnych i ekonometrii
AE Poznań’2003 (skrypt nr 140)
E.Ignasiak (red.) Badania operacyjne PWE’2000
B.Guzik (red.) Ekonometria i badania operacyjne. Zagadnienia podstawowe (skrypt AE Poznań)
G.Fishman, Symulacja komputerowa. Pojęcia i metody. PWE’81
K.Kukuła (red.) Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN
5