Zastosowania całek: podwójnych, potrójnych, krzywoliniowych

Zastosowania całek:
podwójnych, potrójnych, krzywoliniowych nieskierowanych i
powierzchniowych niezorientowanych
Zad. 1. Obliczyć masę pierścienia kołowego o promieniach r < R, jeżeli w każdym jego punkcie
gęstość powierzchniowa jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości od jego środka.
Odp: M = 2kπ ln Rr .
Zad. 2. Obliczyć masę płytki kołowej o promieniu R, jeśli gęstość powierzchniowa jest wprost proporcjonalna do kwadratu odległości od środka płytki.
Odp: M = 12 kπR4 .
Zad. 3. Obliczyć masę obszaru D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x}, o gęstości %(x, y) = x.
Odp: M = π.
Zad. 4. Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych:
(a) D– trójkąt równoramienny o podstawie a i wysokości h;
n
o
(b) D = (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin2 x .
Odp: (a) środek masy leży na osi symetrii trójkąta w odległości 13 h od podstawy; (b) xC = π2 ,
yC = 83 .
Zad. 5. Obliczyć momenty bezwładności podanych obszarów względem wskazanych osi lub punktów:
(a) koła jednorodnego o promieniu R względem punktu na obwodzie;
(b) koła jednorodnego promieniu R względem średnicy;
(c) kwadratu jednorodnego o boku a względem przekątnej;
(d) kwadratu jednorodnego o boku a względem punktu przecięcia się przekątnych;
√
(e) półkola: D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ¬ R2 , y ­ 0}, ρ(x, y) = x2 + y 2 , względem osi Ox.
Odp: (a) I = 23 π%0 R4 ; (b) I = 14 π%0 R4 ; (c) I =
1
% a4 ;
12 0
(d) 16 %0 a4 ; (e) Ix =
π
R5 .
10
Zad. 6. Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych:
(a) V : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1 − x, 0 ¬ z ¬ 1 − x;
(b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H;
√
(c) V : x2 + y 2 ¬ z ¬ 2 − x2 − y 2 .
Odp: (a) xC = 14 , yC = 38 , zC = 38 ; (c) xC = yC = 0 (z symetrii), zC = 16√72−14 ;
(b) środek masy leży na osi symetrii w odległości 43 H od wierzchołka. .
Zad. 7. Obliczyć momenty bezwładności względem wskazanych osi podanych obszarów jednorodnych o masie M:
(a) walec o promieniu podstawy R i wysokości H względem osi walca;
(b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H względem osi stożka;
(c) walec o promieniu podstawy R i wysokości H względem średnicy podstawy.
Odp: (a) Iz = 12 M R2 ; (b) Iz =
3
M R2 ;
10
(c) Ix = M
R2
4
+
H2
3
.
Zad. 8. Wyznaczyć środki masy podanych łuków jednorodnych:
(a) L –
1
4
łuku okręgu o promieniu R;
(b) L – łuk linii śrubowej: x = a cos t, y = a sin t, z = kt, 0 ¬ t ¬ 2π;
(c) L – linia łańcuchowa y =
Odp: (a) xC =
2R
,
π
a
2
a
a
· e 2 + e− 2 , gdzie −a ¬ x ¬ a.
yC =
2R
;
π
(b) xC = yC = 0 (z symetrii), zC = kπ; (c) xC = a,
4
2 −1
.
yC = a4 e +4e
e3 −e
Zad. 9. Obliczyć momenty bezwładnosci podanych łuków jednorodnych względem wskazanych osi,
przyjąć stała gęstość ρ = 1:
(a) łuk linii śrubowej: x = a cos t, y = a sin t, z = kt, 0 ¬ t ¬ 2π względem osi Oz;
(b) odcinek AB, gdzie A = (1, 2, 3), B = (3, 5, 4), względem osi Oz;
(c) brzeg kwadratu o boku a względem przekatnej.
√
√
Odp: (a) Iz = 2πa2 a2 + k 2 ; (b) Iz = 15 52
; (c) I = 23 a3 .
3
Zad. 10. Wyznaczyć położenia środków masy podanych jednorodnych płatów materialnych:
(a) x + y + z = 4, x2 + y 2 ¬ 1;
√
(b) z = 2 x2 + y 2 , 2 ¬ z ¬ 6.
Odp: (a) (0, 0, 4); (b) 0, 0, 13
.
3
Zad. 11. Obliczyć momenty bezwładnosci podanych jednorodnych płatów materialnych względem
wskazanych osi:
(a) sfera o promieniu R i masie M , względem średnicy;
(b) powierzchnia boczna walca o promieniu R i wysokości H, względem średnicy podstawy;
(c) powierzchnia sześcianu o krawędzi a względem jednej z krawędzi.
Odp: (a) I = 32 M R2 ; (b) I = HRπ R2 −
H2
3
; (c) I =
14 4
a.
3