STEREOMETRIA – NOWA MATURA

ZADANIA MATURALNE - STEREOMETRIA
PP – poziom podstawowy
PR – poziom rozszerzony
• Zad.1. ( PP – 5 pkt)
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, o długości krawędzi podstawy 6 cm, jest
równa 9 3 cm 3 . Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny
jego podstawy. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz na nim szukany kąt. Zapisz obliczenia.
graniastosłup czworokątny
• Zad.2. ( PP – 4 pkt)
Podstawą prostopadłościanu ABCDA1 B1C1 D1 jest prostokąt o bokach długości: AD = 3
i AB = 6. Wysokość prostopadłościanu ma długość równą 6. Uzasadnij, za pomocą
rachunków, że trójkąt BAD1 jest prostokątny.
D1
C1
B1
A1
D
C
B
A
• Zad.3. ( PP - 5 pkt)
Czy 0,8 m 2 papieru samoprzylepnego wystarczy na oklejenie pudełka bez przykrywki w
kształcie prostopadłościanu o wymiarach 3 dm, 4 dm , 5 dm ?
• Zad.4. ( PP – 5 pkt)
Dany jest zbiór wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma
długości wszystkich krawędzi jest równa 108. Oblicz długość krawędzi podstawy i długość
wysokości tego z danych graniastosłupów, który ma największe pole powierzchni bocznej.
• Zad. 5. ( PP – 6 pkt )
Dach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego,
którego krawędź podstawy ma długość 4 m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod kątem 60 0 .
a) Sporządź pomocniczy rysunek i zaznacz na nim podane w zadaniu wielkości.
b) Oblicz, ile sztuk dachówek należy kupić, aby pokryć ten dach, wiedząc, że do pokrycia 1
m 2 potrzebne są 24 dachówki. Przy zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas.
1
• Zad.6. ( PP – 7 pkt )
W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych
poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworzą kąt o mierze 2a. Oblicz
objętość tego ostrosłupa.
• Zad.7. ( PP – 6 pkt)
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego krawędzie mają długość a.
a) Sporządź rysunek tego ostrosłupa i zaznacz na nim kąt nachylenia ściany bocznej do
płaszczyzny podstawy. Oznacz ten kąt jako α .Oblicz kosinus kąta α , a następnie,
korzystając z odpowiednich własności funkcji kosinus, uzasadnij, że α 〈 60 0 .
b) Wyznacz długość wysokości tego ostrosłupa oraz jego objętość.
•Zad. 8. ( PP – 7 pkt )
Pole powierzchni całkowitej prawidłowego ostrosłupa trójkątnego równa się 144 3 , a pole
powierzchni bocznej 96 3 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
• Zad.9. ( PP – 5 pkt)
Grupa sześciu przyjaciół kupiła tort w kształcie graniastosłupa prostego, którego jedną z
podstaw jest trójkąt równoramienny ABC ( patrz rysunek ). W trakcie dyskusji – jak podzielić
tort na 6 „równych” części, Krysia przypomniała sobie własności środkowych dowolnego
trójkąta i przecięła tort prostopadle do podstawy wzdłuż linii AK, BM i NC, gdzie punkty K,
M, N są środkami odpowiednich boków trójkąta ABC. Czy Krysia miała rację? Odpowiedź
uzasadnij.
C
M
K
O
A
N
B
• Zad.10. ( PP -5 pkt)
Do pewnego przepisu z książki kucharskiej należy przygotować 0,25 litra płynu. Mamy do
wyboru trzy szklanki w kształcie walca, o wewnętrznych wymiarach: pierwsza – o średnicy 6
cm i wysokości 10 cm, druga – o średnicy 5,8 cm i wysokości 9,5 oraz trzecia – o średnicy
6cm i wysokości 9 cm. Której szklanki objętość jest najbliższa 0,25 litra? Odpowiedź
uzasadnij.
• Zad.11. ( PP – 3 pkt)
Poniższy rysunek przedstawia stożek ścięty. Objętość takiej bryły obliczamy wg wzoru:
1
V = π ⋅ h ⋅ R 2 + R ⋅ r + r 2 , gdzie R - długość promienia podstawy dolnej, r - długość
3
promienia podstawy górnej, h - długość wysokości stożka ściętego.
(
)
2
r
R
Rada miasta postanowiła postawić w parku popiersie osoby zasłużonej. Popiersie ma stanąć
na betonowym postumencie w kształcie stożka ściętego. Promienie podstaw tego postumentu
są odpowiednio równe 30 cm i 50 cm, a jego wysokość jest równa 1,5 m. Jaki będzie koszt
materiału zużytego na budowę postumentu, jeżeli wiadomo, że cena 1 m 3 betonu wynosi 200
zł? ( nie uwzględniamy zbrojenia ). Wynik podaj z dokładnością do 1 zł.
• Zad.12. ( PP- 7 pkt)
Piętrowy tort przygotowany na bal maturalny składał się z pięciu warstw, z których każda
miała kształt walca. Długości promieni walców, wyrażone w cm były kolejnymi wyrazami
ciągu arytmetycznego o różnicy a = -5. Długość promienia podstawy środkowej warstwy
tego tortu była równa 20 cm, a jej objętość 3200 π cm 3 . Wszystkie warstwy wykonane były z
tego samego rodzaju ciasta i miały jednakową wysokość.
Oblicz, ile mąki należało przygotować do wypieku całego tortu, jeżeli receptura przewiduje
wykorzystanie 0,24 kg mąki do wypieku warstwy środkowej.
• Zad.13. ( PP – 5 pkt)
Dane są dwie bryły: stożek, w którym długość promienia podstawy jest równa 4 dm i
18
wysokość ma długość
dm oraz ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź
π
podstawy ma długość 4 3 dm. Wiedząc, że objętości tych brył są równe, wyznacz kąt
nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do jego podstawy.
• Zad.14. ( PP – 4 pkt)
Metalową kulę o promieniu 10 cm oraz stożek, w którym średnica i wysokość mają długości
odpowiednio 16 cm i 12 cm, przetopiono. Następnie z otrzymanego metalu wykonano walec o
8 3
średnicy
cm . Oblicz długość wysokości tego walca.
3
• Zad. 15. ( PP – 6 pkt )
Wysokość walca jest o 6 większa od średnicy jego podstawy, a pole jego powierzchni
całkowitej jest równe 378π . Oblicz objętość walca.
• Zad.16. ( PP – 5 pkt)
Sześcienny blok ołowiany ma wewnątrz pustą przestrzeń też w kształcie sześcianu położoną
centralnie, służącą do przechowywania ciała promieniotwórczego. Krawędź sześcianu
3
wewnętrznego jest równa 7 cm. Pole powierzchni sześcianu wewnętrznego jest 49 razy
mniejsze od pola powierzchni sześcianu zewnętrznego.
a) Oblicz grubość ścianek tego bloku.
b) Oblicz ciężar bloku, jeżeli ciężar właściwy ołowiu jest równy 1,14 g / cm 3 . Wynik podaj z
dokładnością do 0,1 kg .
• Zad. 17. ( PP – 5 pkt )
Waflowy rożek ma kształt stożka, w którym kąt rozwarcia jest równy 30 0 , a tworząca ma
długość 15 cm. Oblicz, ile cm 3 lodów można włożyć do rożka, przyjmując, że zostanie
napełniony w 95%.
• Zad.18.( PP – 5 pkt)
Stożek i walec mają równe długości tworzących, równe pola powierzchni bocznych i równe
objętości. Oblicz kosinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny jego podstawy.
• Zad.19. ( PR – 4 pkt)
Wybierz dwie dowolne przekątne sześcianu i oblicz cosinus kąta między nimi. Sporządź
odpowiedni rysunek i zaznacz na nim kąt, którego cosinus obliczasz.
• Zad.20. ( PR –3 pkt)
Pole powierzchni całkowitej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Oblicz
miarę kąta rozwarcia tego stożka.
• Zad.21. ( PR –3 pkt)
Graniastosłup prawidłowy trójkątny jest opisany na kuli o promieniu 2. Oblicz objętość tego
graniastosłupa.
• Zad.22. ( PR – 5 pkt )
Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną
π
podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem
. Sporządź odpowiedni
3
rysunek. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
• Zad. 23. ( PR – 6 pkt )
Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym α = 60 0 . Krawędź boczna
graniastosłupa ma długość 8. Krótsza przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną
podstawy kąt β = 60 0 . Przez krótszą przekątną graniastosłupa poprowadzono płaszczyznę
sieczną, która jest równoległa do dłuższej przekątnej podstawy. Oblicz pole otrzymanego
przekroju. Sporządź rysunek graniastosłupa i zaznacz na nim ten przekrój.
• Zad. 24. ( PR – 6 pkt )
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa a.
Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę 45 0 . Ostrosłup przecięto
płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi
bocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego
przekroju.
4
• Zad. 25.( PR – 7 pkt )
Punkt S jest wierzchołkiem ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS. Krawędź
podstawy tego ostrosłupa ma długość 8, a krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt
60 0 . Przez wierzchołek A podstawy, równolegle do przekątnej BD, poprowadzono
płaszczyznę sieczną tworzącą z płaszczyzną podstawy ostrosłupa kąt 45 0 . Sporządź rysunek
ostrosłupa, zaznacz otrzymany przekrój i oblicz pole tego przekroju.
• Zad.26. ( PR – 7 pkt)
Producent zamierza rozlewać sok do pudełek, w kształcie prostopadłościanu, o pojemności
1,8 litra. Dobierz wymiary pudełka, tak aby na jego wyprodukowanie zużyć jak najmniej
materiału przyjmując, że stosunek długości sąsiednich krawędzi podstawy pudełka jest równy
2:3 ( wykonując obliczenia zaniedbaj ilość materiału potrzebnego na sklejenia, złożenia itp. ).
• Zad.27. ( PR – 6 pkt)
Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu 9 dm 2 . Dwie ściany boczne ostrosłupa są
prostopadłe do płaszczyzny podstawy, a dwie pozostałe ściany boczne są nachylone do
π
π
płaszczyzny podstawy pod kątami
i
.
3
6
a) Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz na nim dane kąty.
b) Oblicz objętość ostrosłupa.
•.28. ( PR- 5 pkt)
Prosta p jest nachylona do płaszczyzny π pod kątem o mierze 45 0 i przecina tę płaszczyznę
w punkcie A. Prosta q jest zawarta w płaszczyźnie π . Punkt A należy do prostej q. Kąt
między prostą q i rzutem prostokątnym prostej p na płaszczyznę π ma miarę 45 0 . Wykaż, że
kąt ostry między prostymi p i q ma miarę 60 0 .
• Zad.29. ( PR – 7 pkt)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy, a długość 40. Ściany boczne
tego ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 0 . Oblicz długość
promienia kuli opisanej na tym ostrosłupie.
• Zad.30. ( PR – 8 pkt)
W trójkącie ABC dane są: AC = 8 , BC = 3,
∠ ACB = 60 0 . Oblicz objętość i pole
powierzchni całkowitej bryły powstałej po obrocie trójkąta ABC dookoła boku BC .
• Zad.31. ( PR – 9 pkt)
Pole powierzchni całkowitej stożka jest dwa razy większe od pola powierzchni kuli wpisanej
w ten stożek. Wyznacz cosinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny jego
podstawy.
• Zad.32. ( PR- 4 pkt)
W stożku tworząca o długości 5 cm jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem
o mierze 40 0 . Oblicz objętość kuli opisanej na tym stożku. Wynik podaj z dokładnością do
0,001 cm 3 .
5
• Zad.33. ( PR – 9 pkt)
W stożek, w którym kąt między tworzącą a podstawą ma miarę 2α wpisano kulę.
a) Oblicz stosunek objętości stożka do objętości kuli.
b) Wyznacz cos α , jeżeli stosunek objętości stożka do objętości kuli jest równy 9:4.
Zad.34. ( PR – 6 pkt)
Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe sześciokątne, w których suma długości
wszystkich krawędzi jest równa 36. Oblicz wymiary graniastosłupa o największej objętości.
Zad.35. ( PR – 7 pkt )
Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych o objętości równej 2 m 3
Istnieje taki, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Wyznacz długości
krawędzi tego graniastosłupa.
Zad.36. ( PR – 6 pkt)
Objętość walca jest równa 250 π cm 3 . Przedstaw pole powierzchni całkowitej tego walca jako
funkcję długości promienia jego podstawy i określ dziedzinę tej funkcji. Wyznacz długość
promienia takiego walca, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.
Zad.37. ( PR – 10 pkt)
Na kuli o promieniu długości R = 4 cm opisujemy stożki o promieniu długości r i wysokości
długości H. Spośród wszystkich takich stożków wyznacz ten, który ma najmniejszą objętość.
Oblicz tę objętość. Oblicz długość promienia i wysokości znalezionego stożka.
Zad.38. ( PR – 12 pkt)
Przekątna przekroju osiowego walca ma długość równą 2 3 . Jaką największą objętość może
mieć ten walec? Odpowiedź odpowiednio uzasadnij.
• Zad. 39. ( PR -5 pkt )
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dane są: H – długość wysokości ostrosłupa oraz α
– miara kąta utworzonego przez krawędź boczną i krawędź podstawy 45 0 < α < 90 0 .
(
a) Wykaż, że objętość V tego ostrosłupa jest równa
)
4
H3
⋅ 2
.
3 tg α − 1
b) Oblicz miarę kąta α, dla której objętość V danego ostrosłupa jest równa
2 3
H . Wynik
9
podaj w zaokrągleniu do całkowitej liczby stopni.
• Zad. 40. ( PR -5 pkt )
W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym płaszczyzna ABC zawierająca przekątne
sąsiednich ścian bocznych, wychodzących z tego samego wierzchołka, jest nachylona do
podstawy graniastosłupa pod kątem α = 60 0 . Pole przekroju graniastosłupa tą płaszczyzną
równa się 8 3 . Oblicz objętość tego graniastosłupa.
• Zad. 41. ( PR -5 pkt )
Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 2 . Wszystkie
ściany boczne są równoramiennymi trójkątami prostokątnymi. Punkt P został wybrany
wewnątrz ostrosłupa w ten sposób, że wysokości ostrosłupów ABDP, BCDP, ACDP, ABCP
opuszczone z wierzchołka P mają tę samą długość H. Sporządź rysunek ostrosłupa i oblicz H.
6
• Zad. 42. ( PR -5 pkt )
Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym
promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1 m większa niż promień
2
półkuli. Objętość stożka stanowi
objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły
3
lądownika.
• Zad. 43. ( PR -6 pkt )
Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną
podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem miary α .
a) Oblicz tangens największego z kątów α , dla którego przekrój jest trójkątem. Zaznacz ten
kąt wraz z odpowiednim przekrojem na rysunku.
b) Otrzymany przekrój sześcianu jest trójkątem. Oblicz pole tego trójkąta, wiedząc, że
płaszczyzna, w której jest on zawarty podzieliła sześcian na dwie bryły, których stosunek
objętości wynosi 1:11.
• Zad. 44. ( PR -6 pkt )
Krawędź podstawy i wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa
prawidłowego czworokątnego mają długości 2a. Oblicz cosinus kąta dwuściennego między
sąsiednimi ścianami bocznymi. Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymieniony
kąt dwuścienny.
• Zad. 45. ( PP -5 pkt )
a 2 15
, gdzie a
4
oznacza długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa. Zaznacz na poniższym rysunku kąt
nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Miarę tego kąta oznacz
symbolem β . Oblicz cos β i korzystając z tablic funkcji trygonometrycznych odczytaj
przybliżoną wartość β z dokładnością do 10 .
Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego równa się
• Zad. 46. ( PP -4 pkt )
7
Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o promieniu
3 i kącie środkowym miary 120 0 ( zobacz rysunek ). Oblicz objętość tego stożka.
120.0 °
3
• Zad. 47. ( PP - 5 pkt )
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o podstawach ABC i A ' B ' C ' oraz krawędziach
bocznych AA ' , BB ' , CC ' . Kąt między przekątną ściany bocznej AC ' a krawędzią podstawy
AC ma miarę α . Promień okręgu wpisanego w podstawę graniastosłupa ma długość r. Oblicz
objętość tego graniastosłupa.
• Zad. 48. ( PP - 5 pkt )
Dany jest graniastosłup czworokątny prosty ABCDEFGH o podstawach ABCD i EFGH
oraz krawędziach bocznych AE, BF, CG, DH. Podstawa ABCD graniastosłupa jest rombem o
boku długości 8 cm i kątach ostrych A i C o mierze 60 0 . Przekątna graniastosłupa CE jest
nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze 60 0 . Sporządź rysunek pomocniczy
i zaznacz na nim wymienione w zadaniu kąty. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
• Zad. 49. ( PP - 6 pkt )
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość 8 cm i
tworzy z przekątną ściany bocznej, z którą ma wspólny wierzchołek kąt, którego cosinus jest
2
równy . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
3
• Zad. 50. ( PR- 6 pkt )
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość a
i krawędź boczna jest od niej dwa razy dłuższa. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną
i krawędzią podstawy ostrosłupa. Narysuj przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą
przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej i oblicz pole tego przekroju.
8
• Zad. 51. ( PR- 4 pkt )
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym wszystkie krawędzie mają równą
długość. Narysuj rysunek tego ostrosłupa. Zaznacz na tym rysunku kąt utworzony przez dwie
sąsiednie ściany boczne tego ostrosłupa i oblicz kosinus tego kąta.
• Zad. 52. ( PR- 7 pkt )
Podstawa ostrosłupa jest kwadratem. Jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do
podstawy ostrosłupa. Najdłuższa krawędź boczna ma długość
i jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod kątem, którego sinus jest równy . Narysuj rysunek pomocniczy i
oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
9