Wykład 6. Podstawowe techniki projektowania regulatorów typu PI i

1
2
Wykład 6. Podstawowe techniki projektowania
regulatorów typu PI i PD
6.1. Zmniejszanie uchybu ustalonego regulacji
6.1.1 Regulator typu PI
Ćwiczenie do wykładu 4 posłużyło za przykład wyznaczania uchyb ustalonego regulacji. Analizowany zamknięty układ regulacji zawierał regulator proporcjonalny opisany
stałą . Zwiększenie wartości stałej tego regulatora prowadzi na podstawie otrzymanej zależności na uchyb ustalony wymuszeniowy do polepszenia sterowania.
Mianowicie, przy braku zakłócenia i po okresie przejściowym odpowiedzi skokowej
rozpatrywanego układu sterowania, na wyjściu układu pojawi się wartość = −
= (1 −
). Jeśli iloczyn zależy od parametrów konstrukcyjnych
Uchyb ustalony regulacji można zmniejszyć dodając biegun zerowy do transmitancji
układu otwartego. Można to osiągnąć poprzez szeregowe włączenie regulatora typu
przed transmitancją układu otwartego:
Paweł Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
Paweł Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
całego układu sterowania, to pożądany cel ( ≈ ) uzyskamy zwiększając (w dozwolonych granicach) wartość stałej regulatora proporcjonalnego sprowadzając
uchyb ustalony do wartości bliskiej zeru.
Nie zawsze jednak regulator o działaniu proporcjonalnym polepsza jakość sterowania, dlatego stosuje się regulatory opisane transmitancją wyższego rzędu, tj. np.
wspomniane na wykładzie 5 regulatory typu , lub ich złożenie w postaci regulatora typu .
() = ()() =
Zero w punkcie #
=– "
!"
!
().
powinno znajdować się możliwie blisko bieguna % = 0,
wówczas wpływ pary {%, #} na rozkład linii pierwiastkowych układu zamkniętego jest
pomijalny. W efekcie odpowiedź przejściowa układu nie ulega zmianie, natomiast poprzez zwiększenie rzędu transmitancji układu zamkniętego następuje zmniejszenie
uchybu ustalonego regulacji.
Przykład 1. Zadanie polega na wyznaczeniu odpowiedzi skokowej układu zamkniętego z jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym, w którym na linii toru
głównego włączono transmitancję Laplace’a postaci () = !* opisującą pewien
3
obiekt inercyjny pierwszego rzędu oraz dla porównania, transmitancję () =
!.
() () = !* ⋅ ! z dodatkowym kompensatorem o transmitancji (). Rozwiązanie numeryczne przedstawiono na rysunku 1.
(2)
licz1=3;
0.5
mian1=[1 4];
0.43
[zlicz1,zmian1]=cloop(licz1,mian1,-1);
0.4
licz2=[3 0.3];
(1)
mian2=[1 4 0];
y(t)
0.3
[zlicz2,zmian2]=cloop(licz2,mian2,-1);
t=0:0.04:2;
0.2
step(zlicz1,zmian1,t);
hold
0.1
step(zlicz2,zmian2,t);
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (sec)
Rysunek 1. Odpowiedzi na skok jednostkowy układu zamkniętego: 1) bez korektora -. (/),
2) z korektorem (w ramce obok sekwencja poleceń Matlaba).
(6.1)
4
nią się. Można dodać, że zastosowano kompensator stabilny (gdy wzmocnienie statyczne zmienia się w przedziale (0, ∞) linia pierwiastkowa zbiegająca od zera # do
bieguna % pozostaje w lewej półpłaszczyźnie zespolonej) co powoduje, że układ zamknięty nie traci stabilności i jego odpowiedź zbiega do wartości ustalonej.
Jeden ze sposobów projektowania regulatora typu 12
Stosujemy transmitancję regulatora w postaci:
() = 34
!" /67
!
,
38 ≪ 34 ,
gdzie 34 jest współczynnikiem wzmocnienia statycznego, # = −38 /34 jest zerem
umiejscowionym na lewo od bieguna % = 0. Często przyjmuje się, że 34 = 1, stąd:
() =
!:
,
!
(6.3)
następnie dla transmitancji danej wzorem (6.3) wybieramy # = 0.1 lub # = 0.01.
W odniesieniu do wzoru (6.1) biegun % = 0, zatem przyjęto (dla przykładu)
# = −0.1 możliwie blisko bieguna %. Na rysunku 1 widać, że odpowiedź przejściowa
układu zmienia się nieznacznie a wartości ustalone w obu przypadkach wyraźnie różPaweł Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
(6.2)
Paweł Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
5
6
6.1.2 Korektor opóźniający fazę
Rozszerzeniem regulatora typu jest korektor opóźniający fazę (patrz wykład
5.2.1) i wprowadzający ujemne przesunięcie fazowe do pętli sprzężenia zwrotnego:
!:
4
; () = 3; !4, 3; = : , # > %.
(6.4)
W tym zastosowaniu (po szeregowym włączeniu ; () na linii toru głównego
przed transmitancją obiektu sterowania w układzie zamkniętym), w celu zmniejszenia
uchybu ustalonego, #/% musi przyjmować możliwie dużą wartość. Należy przy tym
zapewnić, że zero w punkcie # leży blisko bieguna %.
Omawiany korektor można zastosować do układu z przykładu 1.
Przykład 2. Uchyb ustalony odpowiedzi układu z przykładu 1 na skok jednostkowy obliczamy ze wzoru (4.4) z wykładu 4.1 (=() = 1 jest transmitancją wzmocnienia statycznego:
=
=
>8?@→BCD(!)E(!)F
=
>8?@→BG
J
@HI
=
*
,
K
dlatego pokazana na rysunku 1
*
odpowiedź czasowa układu ustala się na wartości = 1 − K = K ≈ 0.429. Wniosek
jest następujący, uchyb regulacji jest bardzo duży. Regulator typu powoduje polepszenie regulacji, ale w tym przypadku lepszy efekt osiągniemy zamieniając go na korektor wyprzedzający.
Idea stosowania tej korekcji jest następująca: 1) wybiera się punkt na linii pierwiastkowej odpowiadający pożądanej postaci odpowiedzi przejściowej układu (dla
transmitancji z tego przykładu mamy przypadek trywialny w postaci jednej linii pierwiastkowej biegnącej od bieguna w punkcie −4 do zera w nieskończoności) i odczytuje wartość współczynnika wzmocnienia statycznego 3; 2) przyjmuje się zgodnie z wyżej wprowadzoną zasadą % i # korektora opóźniającego fazę; 3) przyjmuje się nową
wartość współczynnika wzmocnienia statycznego 3O = 3 ⋅ #/%. Załóżmy, że odczytaną z linii pierwiastkowej układu zamkniętego wartością jest 3 = 1 odpowiadające pożądanej postaci odpowiedzi przejściowej układu. Jeśli zastosujemy korektor w postaci
!.
; () = 10
, to 3O = 3 ⋅ 10 = 10. Uchyb ustalony obliczamy ze wzoru:
=
!.
>8?@→B G
@HB.
⋅
J
@HI @HB.B
Korektor zdecydowanie zmniejszył uchyb ustalony.
Paweł Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
Paweł Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
7
8
6.2. Optymalizacja odpowiedzi przejściowej
Odpowiedź przejściową można polepszyć stosując regulator typu i analogicznie do
punktu 6.1. korektor wyprzedzający fazę.
Wspólną właściwością tych kompensatorów jest wprowadzanie dodatniego przesunięcia fazowego.
6.2.1 Regulator typu PD
Transmitancja Laplace’a regulatora typu przedstawia się wzorem:
R () = + #R , #R > 0,
gunów stosuje się reguły 8 i 9 wyznaczania linii pierwiastkowych podane na wykładzie
2.2. Uogólnieniem tych reguł jest wzór postaci dla obliczania kątów dojścia lub odejścia linii pierwiastkowych od osi rzeczywistej:
O
∑?
(6.6)
8Y arg( − #) − ∑8Y arg( − %) = (2 + 1)X, = 0, ±1, ±2 … ,
dla dowolnego punktu należącego do linii pierwiastkowej.
Jeśli transmitancja jest postaci R ()() = ( + #R )
!:"
!4"
, to obliczając kąt fazowy
arg\R ()()] zamieniamy iloczyny na sumy kątów, a ilorazy na różnice kątów,
dlatego wykorzystując wzór (6.6) gdy = 0 otrzymujemy:
(6.5)
zgodnie z którym, regulator dodaje do układu otwartego jedno zero w punkcie – #R .
Dodatkowe zero wprowadza dodatnie przesunięcie fazowe, którego wielkość
określa się na podstawie metody geometrycznej.
Odpowiedź przejściowa jest szczególnie istotna w przypadku obiektów opisanych
transmitancją wyższych rzędu. Optymalizacji może podlegać zatem odpowiedź przejściowa o charakterze oscylacyjnym, która reprezentowana jest na płaszczyźnie zespolonej przez parę dominujących biegunów zespolonych sprzężonych. Dla tej pary biePaweł Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
= KP ≈ 0.013.
arg\R ()()] =
O
#R ) + ∑?
arg(
^___`_
+__a
8Y arg\( + #8 )] − ∑8Y arg\( + %8 )] = X.
(6.7)
Ybc
Wzór (6.7) pozwala na wyznaczenie kąta dR nachylenia wektora + #R do osi
rzeczywistej płaszczyzny zespolonej, które określa dodatnie przesunięcie fazowe.
dR = X + ∑O8Y arg\( + %8 )] − ∑?
8Y arg\( + #8 )].
(6.8)
Należy zaakcentować, że symbole sumy we wzorach (6.7) i (6.8) oznaczają sumę
wszystkich kątów, jakie tworzą wektory poprowadzone od punktu (jednego z wyPaweł Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
9
10
branych biegunów zespolonych sprzężonych) odpowiadającego wybranej postaci odpowiedzi przejściowej do e biegunów %8 i odpowiednio do f zer #8 transmitancji ()
otwartego układu regulacji. W następnym kroku kreślimy linię z punktu pod kątem
dR do przecięcia z osią rzeczywistą. Punkt przecięcia wyznacza zero #R , które podstawiamy do transmitancji regulatora typu . Graficzna interpretacja tej metodyki została przedstawiona na rysunku 2.
2n{/}
Rysunek 2. Ilustracja wyznaczania
zera gh transmitancji regulatora 1h
metodą graficzną.
dR i metodą graficzną z rysunku 2 znajduje zero #R transmitancji regulatora . Odpowiedź układu zamkniętego z szeregowym połączeniem regulatora typu i transmitancji przyjętego obiektu regulacji w układzie zamkniętym z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym powinna charakteryzować się parametrami i4 i j przyjętymi na
początku jako wymagania projektowe.
Projektowanie korektora wyprzedzającego fazę wykonuje się podobnie, dlatego
zostanie to pominięte w dalszej części wykładu.
Zadanie polegające na dobraniu odpowiedniego regulatora typu do utworzenia odpowiedzi układu
wyższego rzędu o zadanym przebiegu zostanie rozwiązane na zajęciach ćwiczeniowych.
W praktyce dla poszukiwanej
postaci
odpowiedzi przejściowej zalO m1 − k kłada się wymagane przeregulowanie i4 i czas ustalenia j (parame%
dR
op{/}
try wprowadzono na wykładzie 3).
#
−#R
klO
0
Następnie oblicza się współczynnik
tłumienia k i znajduje częstotliwość
drgań własnych lO . Te wartości wykorzystuje się do znalezienia współrzędnych punktu . Z kolei dla zadanej transmitancji układu otwartego oblicza się ze wzoru (6.8) kąt
Paweł Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
Paweł Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej