Wykład 7. Metody projektowania regulatora typu PID na podstawie

1
2
Wykład 7. Metody projektowania regulatora typu
PID na podstawie znajomości modelu
dynamicznego obiektu
W rzeczywistości spełnienie wszystkich kryteriów jest bardzo trudne, dlatego w zależności od wymagań stawianych układom regulacji należy, drogą kompromisu, wybrać
realizację optymalną gwarantującą odpowiednią a) wydajność i b) odporność układu.
Powiemy zatem, że układ regulacji stałowartościowej charakteryzuje się wysoką
wydajnością, jeśli przy zakłóceniach i małych zmianach wartości sterującej jego odpowiedź (również w postaci wektora stanu odpowiedzi układów wielowymiarowych) jest
odpowiednio szybka i ma charakter gładki. Następnie powiemy, że układ regulacji stałowartościowej jest odporny, jeśli zachowuje odpowiednią (akceptowalną) wydajność
oraz pomimo występowania dopuszczalnych zmian parametrów jego odpowiedź jest
wystarczająco dokładna.
Pożądaną odporność można osiągnąć stosując np. regulator typu PI, którego
wzmocnienie przyjmuje małą a czas zdwojenia dużą wartość. Wadą tego podejścia jest zmniejszenie wydajności całego układu. Regulator typu PID o jednym stopniu
swobody zapewniający dużą wydajność układu, np. z uwagi na dobrą kompensację
zakłóceń będzie charakteryzował się znaczącym przeregulowaniem pojawiającym się
wskutek zmian wartości zadanej. Można wyróżnić więcej schematów tego rodzaju. Ich
punktem wspólnym będzie przyjęcie pewnego kompromisu, który dla założonych warunków pracy i zastosowań zapewni odpowiednio wydajną i odporną regulację.
Na podstawie szczegółowej analizy regulatora typu PID opracowano kilka metod
służących obliczeniu (oszacowaniu) jego parametrów. Wśród nich wymienić można:
metodę syntezy bezpośredniej oraz metoda IMC stanowiąca jej uogólnienie, metody
P. Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
P. Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
3
4
Regulacja stałowartościowa w zamkniętych układach sterowania wymaga spełnienia
kilku podstawowych kryteriów odnoszących się do właściwości układu regulacji i jego
odpowiedzi na sygnały sterujące:
• układ sterowania powinien być odporny (niewrażliwy) na zmiany warunków pracy i niedokładności pojawiające się w modelowaniu obiektu regulacji,
• układ zamknięty regulacji automatycznej powinien być stabilny,
• uchyb ustalony odpowiedzi układu regulacji powinien zbiegać do zera,
• wpływ zakłóceń na działanie układu powinien być skutecznie wyeliminowany,
• odpowiedź układu powinna precyzyjnie zbiegać do wartości ustalonej w sposób możliwie
szybki.
bazujące na analizie odpowiedzi częstotliwościowych, dobór parametrów na podstawie pewnych ogólnych zależności tablicowych, identyfikację parametrów na podstawie pomiaru odpowiedzi układu rzeczywistego.
W celu doboru parametrów , i regulatora umieszczonego w pewnym układzie regulacji automatycznej pokazanym schematycznie na rysunku 1 opisana i zastosowana zostanie metoda syntezy bezpośredniej.
– obiekt regulacji, – element wykonawczy, – regulator, – element pomiarowy
Rysunek 1. Ogólny schemat układu regulacji ze sprzężeniem zwrotnym. Dla uproszczenia postaci funkcji przejścia /
włączono na wejściu do układu człon o transmitancji identycznej z tą na torze sprzężenia zwrotnego.
P. Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
7.1. Podstawowe założenia doboru parametrów regulatora typu
PI i PID metodą syntezy bezpośredniej.
Funkcję przejścia /
dla zamkniętego układu sterowania pokazanego na rysunku 1 zapisujemy jak następuje:
!
&'"# "
$ "% !
())))*))))+
"# "$ "% &'"# "$ "% !
!
"# "$ "% ,-. /
,
"# ". &'"# ". .
(7.1)
Wzór (7.1) można przekształcić w celu wyznaczenia poszukiwanej transmitancji
Laplace’a (funkcji opisującej) regulatora:
1/
&
0 2/
". &3 1/
2/
4.
(7.2)
Wzór (7.2) stanowi definicję regulatora jaką powinniśmy przyjąć, aby zapewnić
sterowanie idealne. Nie jest jednak znana postać , ale wzór (7.2) można wykorzystać do oceny rozbieżności pomiędzy transmitancją rzeczywistego otwartego układu
sterowania 5 a jej przybliżeniem (estymatą) 5 . Dla pewP. Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
nej pożądanej transmitancji 6 wzorem:
7
5
8 transmitancja regulatora określona jest
6
&
" ;
9 : <.
". &3": ;
(7.3)
6 7.2. Przybliżenie transmitancji = układu zamkniętego
Wydajność działania regulatora zależy od transmitancji układu zamkniętego, przy
czym w sytuacji idealnej 6 s
1 gwarantowałoby zerowy uchyb ustalony. Takiej
realizacji nie można osiągnąć w układach ze sprzężeniem zwrotnym.
W pierwszym bardziej rzeczywistym przybliżeniu przyjmuje się:
6 &
@. '&
,
(7.4)
gdzie 5 jest stałą czasową pożądanej transmitancji układu regulacji. Po podstawieniu (7.4) do (7.3) równanie regulatora jest następujące:
&
". A@. gdzie: .
(7.9)
.
B CD/
". A@. '&3B CD/ ,
(7.7)
&
@N <,
, LF'@. (7.11)
. Wniosek, wzmocnienie członu proporcjonalnego jest
odwrotnie proporcjonalne do stałej wzmocnienia rozważanego układu.
P. Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
7.4. Model drugiego rzędu z opóźnieniem
Przy poprzednio wprowadzonych oznaczeniach niech model rzeczywisty będzie
przybliżony estymatą postaci:
5 LB CD/
(7.12)
@O '&
@P '&
Po podstawieniu (7.12) do (7.9) otrzymuje się transmitancję regulatora typu PID:
(7.10)
91 M
@
w której człon opóźniający odzwierciedla istnienie opóźnienia czasowego układu
regulacji. Opóźnienie czasowe w układzie regulacji jest konsekwencją tego, że nie jest
możliwe, aby układ odpowiedział na sygnał sterujący dokładnie w chwili pojawienia
się sygnału zadającego na wejściu. Wynika to np. z właściwości konstrukcyjnych
obiektu regulacji lub czasu potrzebnego na przepływ sygnałów roboczych (a także sterujących) pomiędzy podukładami.
Podstawiając (7.6) do (7.3) otrzymuje się w drugim przybliżeniu
8
Podstawiając (7.10) do (7.9) otrzymuje się transmitancję regulatora typu PI:
(7.6)
7
Załóżmy, że estymata 5 pewnego modelu rzeczywistego 5 dana jest w
postaci:
@'&
,
P. Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
7.3. Model pierwszego rzędu z opóźnieniem
5 @. '&
P. Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
(7.5)
B CD/
". A@. 'F
LB CD/
B CD/
gdzie podobnie jak we wzorze (7.5) występuje człon całkujący.
W ostatnim kroku estymacji pożądanej postaci transmitancji 6 s
przybliża się
wyraz E 3F występujący w mianowniku transmitancji regulatora danej wzorem (7.7)
.
stosując jego rozwinięcie w szereg Taylora ograniczając je tylko do dwóch pierwszych
(7.8)
wyrazów, tzn.: E 3F G 1 H I.
Przybliżenie (7.8) będzie tym bardziej dokładne, im bardziej wartość stałej I będzie bliska wartości dominującej stałej czasowej układu regulacji I J 65K . Jeśli ten
warunek będzie spełniony, to (7.7) przyjmuje postać ogólną:
6
Równanie (7.5) zawiera człon całkujący stąd wpływa na zmniejszenie uchybu ustalonego regulacji. Duża/mała wartość stałej czasowej 5 powoduje, że regulator szybciej/wolniej odpowie na sygnał wejściowy.
W drugim przybliżeniu, transmitancja układu zamkniętego może przyjąć postać:
gdzie:
91 M
@O '@P
LF'@. , &
@N M < ,
& M Q , (7.13)
@O @P
@O '@P
.
(7.14)
Zależności (7.14) wskazują, że dla małych opóźnień I otwartego układu regulacji
wzrasta stała proporcjonalna . Jest to uzasadnione, ponieważ układ powinien wykazywać szybszą reakcję przy małych opóźnieniach. Ponadto, zmiana opóźnienia
układu nie wpływa na dobór stałych czasowych wyprzedzenia i zdwojenia regulatora
PID.
P. Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
Istnieją pewne empiryczne lub pół-empiryczne zasady doboru stałej 5 pożądanej
transmitancji układu. Przybliżając układ modelem pierwszego rzędu na podstawie
transmitancji regulatora PI (wzór 7.10):
9
1)
@.
F
R 0.8 , 5 R 0.1 , 2) R 5 R I , 3) 5
I.
10
tylko w sposób przybliżony w postaci: 5 V.VB C/
&&'&
W'&
. Podaj wnioski. Uwaga:
wyprowadzenie wzoru na regulator PID zostało prześledzone na ćwiczeniach i przebiega wg jak w punkcie 7.4. Rozwiązanie numeryczne pokazano na rysunku 3.
Należy zaznaczyć, że transmitancję regulatora PID można zaproponować
nie tylko dla wyżej podanych przybliżeń pierwszego (punkt 7.3) i drugiego (punkt 7.4)
rzędu z opóźnieniem, ale też dla dowolnych postaci odzwierciedlających działanie
LB CD/
LB CD/
kontrolowanego układu, np. 5 , 5 i innych.
@'&
Zadanie 1. Stosując metodę syntezy bezpośredniej wyprowadź wzór (podaj wartości stałych , , ) na regulator typu PID a następnie dobierz optymalne parametry tego regulatora (umieszczonego tak, jak w układzie sterowania schematycznie pokazanym na rysunku 1, 1), gdy transmitancja rzeczywistego układu otwartego
Rysunek 2. Diagram blokowy do zadania 1.
VB C/
bez regulatora jest znana i ma postać (porównaj, punkt 7.4): 5 &Q'&
W'&
(tzn., że 5 5 ). Wykreśl charakterystykę zmian stałej proporcjonalnej dobranego regulatora PID dla X 0 … 4 wartości stałej czasowej 5 2 . Porównaj
otrzymaną charakterystykę zmian stałej dla znanej transmitancji układu ze znaną
P. Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
11
1.4
nie kontrolowany
z regulatorem PID
skok jednostkowy
x(t)
1.2
1
Rysunek 3. Rozwiązanie zadania 1:
^_ `, a b, c `, ^` `d,
^d e, wyznaczone stałe regulatora
a b, ^f `g, ^h i, odpowiadające im stałe: j a , k a /^f ,
h a ^h .
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
t
10
20
30
40
50
60
Zadanie 2. Stosując metodę syntezy bezpośredniej wyprowadź wzór (podaj wartości stałych , ) na regulator typu PI o transmitancji danej w postaci ogólnej
B CD/
". A@. 'F
a następnie dobierz optymalne parametry tego regulatora dla
5 5 (umieszczonego tak, jak w układzie sterowania schematycznie pokazanym na
rysunku 1), gdy transmitancja rzeczywistego układu otwartego bez regulatora jest
VB C/
znana i ma postać: 5 (tzn., że 5 5 ). Uwaga: przy wyprowadze
niu wzoru na regulator PI zastosuj postać ogólną 5 LB CD/
.
P. Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
P. Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej