)12( − − + ≈ I I II
Transkrypt
)12( − − + ≈ I I II
Napisz wzór na złożone formuły trapezów x1 ∫ xo Wyprowadź prosty wzór na błąd przybliżenia całki na odcinku h z funkcji f(x) za pomocą pola prostokąta o wysokości f(h/2) Obliczmy błąd przybliżenia prostokątnego ( h=b-a ) rozwińmy f(x) w szereg Taylora: f ( x) = f ( xo ) + f / ( xo )( x − xo ) + 1 / 2 f // ( µ )( x − xo ) 2 po scałkowaniu pierwszy wyraz daje wartość całki przybliżoną wzorem prostokąta, drugi wyraz znika, a trzeci daje ”resztę” R= h3 24 f // (ξ ) Najprostsze trójpunktowe przybliżenie (liniowe) do pochodnej pierwszego rzędu w punkcie r na siatce równoodległej z krokiem h ma postać: f ( x0 + h) − f ( x0 − h) f / ( x0 ) ≈ 2h Kryterium wyboru wielomianu interpolacyjnego Pn(x) przybliżającego funkcję f(x) zadaną przez wartości f na siatce węzłów xi, i=0,1,2, …,n Pn(xi) = fi Błąd metody trapezów (numerycznego całkowania funkcji jednej zmiennej) w jedny m kroku: x1 ∫ xo f // (ξ ) h3 ( x − xo )( x − x1 )dx = − f // (ξ ) 2! 12 Błąd interpolacji funkcji f(x) wielomianem Pn(x), na węzłach x, i=0,1,2,3…,n ∀ ∃ x∈[ a ,b ] ξ ( x )∈( a ,b ) f h h f i +1 = f i + hg ( xi + , f i + g ( xi , f i )) 2 2 w postaci różóżniczkowej : f // (ξ ) h3 ( x − xo )( x − x1 ) dx = − f // (ξ ) 2! 12 f ( x) − P( x) = (ξ ( x )) ( x − x0 )( x − x1 )...( x − xn ) (n + 1)! ( n +1) Ekstrapolacja Richardsona (wzór) Ie ≈ Ih/ 2 + Ih/ 2 − Ih (2 n − 1) Pokaż, że dla macierzy Hauseholdera P zachodzi: Px = |x|ei jeśli wektor u budujący P wybrano jako u = x + |x|ei korzystamy z faktu, że |u|2 = uTu = 2|x|(|x|+xi) oraz, że uT|x|ei = |x|(|x|+xi) , zatem Px = Ix – 2uuTx /(uTu) = x – 2uuT(u-|x|ei) /(uTu) = x – 2u + 2u(|x|(|x|+xi)) / (2|x|(|x|+xi)) = x – 2u +u = - |x|ei Przybliżenie drugiej pochodnej funkcji f(x) w x0 na siatce 3 węzłów x0, x0 +h, x0 – h f / / ( x) = 1 1 [ f ( x + h) − 2 f ( x ) + f ( x − h)] − 12 h 2 f ( 4 ) (ξ ) h2 x0=x Przybliżenie pochodnej funkcji f(x) w x0, na siatce 2 węzłów x0 + h, x0 – h f ( x0 +h) − f ( x0 −h ) f / ( x0 ) ≈ 2h Wzór zmodyfikowanej metody Eulera fi+1=fi + h*g(xi+h/2, fi + h/2*g(xi, fi)) Podaj zależność pomiędzy (k-1)-wszym a ktym przybliżeniem do pierwiastka równania jednej zmiennej w metodzie NewtonaRapsona xk = xk-1 – f(xk-1)/f ‘(xk-1) Przybliżona wartość fi w punkcie xi, funkcji f(x) będącej rozwiązaniem równania różniczkowego zwyczajnego 1 rzędu df/dx = g(x,f(x)) wyraża się wzorem w zmodyfikowanej metodzie Eulera przez fi+1= fi + hg(xi+h/2, fi+h/2g(xi,fi)) Podaj wzór metody Eulera dla i-tego kroku rozwiązywania układu N zwyczajnych równań różniczkowych: fi+1 = fi + h g(xi, fi ) Błąd trójwęzłowej, liniowej metody numerycznego różniczkowania wynosi (opisać oznaczenia): − h2 f ' ' ' (ξ ) 6 h – krok; f – 3 pochodna funkcji Jakie warunki musi spełniać funkcja g(x) by w [a,b] miała dokładnie jeden punkt stały g(x0)=x0? 1° g ( x ) ∈ C1[a, b] 2° ∀ x∈[ a ,b ] | g ' ( x ) | < 1 Wzór iteracyjny w metodzie siecznych x n − x n −1 x n +1 = x n − f ( x n ) f ( x n ) − f ( x n −1 ) x n +1 − pierwszy pierwiastek Wzór x n − począocz przedziałr x n −1 − koniecprzedziałz f ( x n ) − funkcja w zmiennej x n f ( x n −1 ) − funkcja wzmiennej x n −1 zmodyfikowanej metody Eulera (opisać oznaczenia): h f i +1 = f i + hf ' ( xi + ) 2 d h h f '= f = g ( xi + , f i + ( g ( xi , f i )) dx 2 2 k − krok f − funkcja dana i − iteracja W metodzie potęgowej postępowanie jest iteracyjne: y(i)=Ax(i-1), gdzie A to zadana macierz. Jaka relacja wiąże x(i) z y(i)? x (i ) = lub y (i) (i ) , y ( i ) = max{| y j |} y (i) x (m) = Am x ( 0) ∏ m k =1 y ( k ) pk