Obliczenia naukowe – Paweł Zieliński 1 Obliczenia naukowe Lista

1
Obliczenia naukowe – Paweł Zieliński
Obliczenia naukowe
Lista nr 4
zad. 1 Zastosować algorytm Hornera do obliczenia wartości wielomianu w(x) = x4 − 4x3 +
7x2 − 5x − 2 w punkcie x = 2.
zad. 2 Niech
w(x) = (x − 1)(x + 2)(x2 + 2) = x4 + x3 + 2x − 4 ≡ an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
gdzie n = 4. Zlokalizować pierwiastki wielomianu w(x) stosując odpowiednie twierdzenia
z wykładu.
zad. 3 Zastosować algorytm Hornera do obliczenia wartości w(3)
w(x) = x4 − 4x3 + 7x2 − 5x − 2,
gdzie w(3) jest resztą z dzielenia wielomianu w(x) przez x − 3. Obliczyć za pomocą
algorytmu Hornera wartość pierwszej pochodnej wielomianu w(x) w punkcie 3.
Uwaga. Nie wyznaczać jawnie pochodnej.
Wiadomo, że r = 2 jest zerem wielomianu w(x). Za pomocą algorytmu Hornera wykonać
deflację czynnikiem x − 2.
zad. 4 Znaleźć rozwiązania zadania interpolacyjnego
xi
f (xi )
-2
-25
-1
3
0
1
1
-1
2
27
3
235
metodą Newtona (obliczenia wykonać w domu).
zad. 5 Wiadomo, że wielomian
w(x) = 2 − (x + 1) + x(x + 1) − 2x(x + 1)(x − 1)
interpoluje funkcję f (x), przyjmującą w węzłach: x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2
wartości: f (x0 ) = 2, f (x1 ) = 1, f (x2 ) = 2, f (x3 ) = −7. Przez dodanie do wielomianu
w(x) jednego składnika znaleźć wielomian interpolujący funkcję f w powyższych czterech
węzłach i dodatkowym węźle x4 = 3, w którym f (x4 ) = 10.
zad. 6 Wyznaczyć możliwie niskiego stopnia wielomian interpolujący w węzłach: x0 = 0,
x1 = 1, x2 = 2, x3 = −1, x4 = 3 funkcję przyjmującą odpowiednio wartości: y0 = y1 =
y2 = −1, y3 = −7, y4 = 5.
zad. 7 Czy każdy wielomian w ∈ Πn−1 (stopnia ¬ n − 1) spełnia zależność:
w(x) =
n
X
i=1
w[x1 , . . . , xi ]
i−1
Y
(x − xj ).
j=1
2
Obliczenia naukowe – Paweł Zieliński
zad. 8 Pokazać, że wartość wielomianu interpolacyjnego Newtona
Nn (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + · · · + f [x0 , x1 , . . . , xn ](x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn−1 )
można obliczać za pomocą wzorów (uogólniony algorytm Hornera)
wn (x) := f [x0 , x1 , . . . , xn ]
wk (x) := f [x0 , x1 , . . . , xk ] + (x − xk )wk+1 (x) (k = n − 1, . . . , 0)
Nn (x) := w0 (x).
zad. 9 Znając współczynniki wielomianu interpolacyjnego w postaci Newtona c0 = f [x0 ],
c1 = f [x0 , x1 ], c2 = f [x0 , x1 , x2 ], . . ., cn = f [x0 , . . . , xn ] oraz węzły x0 , x2 , . . . , xn
sformułować metodę obliczania współczynników jego postaci naturalnej a0 , . . . , an tzn.
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 .
Wsk. Skorzystać z zadania 8.
zad. 10 Pokazać, że obliczanie ilorazów różnicowych występujących we wzorze interpolacyjnym Newtona wymaga wykonania n(n + 1) odejmowań i n(n + 1)/2 dzieleń, a obliczanie
współczynników wielomianu interpolacyjnego (zob. zad. 9) wymaga n(n + 1)/2 odejmowań i n(n + 1)/2 mnożeń.
zad. 11 Sprawdzić, że wzór interpolacyjny Lagrange’a można zapisać w postaci
Ln (x) = w(x)
n
X
yk
(x − xk )w′ (xk )
k=0
(1)
gdzie w(x) = (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn ).
zad. 12 Jak upraszcza się wzór interpolacyjny Lagrange’a w przypadku węzłów równoodległych? Węzły równoodległe: xk = x0 + kh, dla k = 0 . . . n, gdzie h = (b − a)/n, x0 = a,
oraz x ∈ [a, b], x = x0 + th, dla t ∈ [0, n]. Skorzystać z faktu, że wzór interpolacyjny
Lagrange’a można zapisać w postaci (1).
√
zad. 13 Oszacować błąd obliczania wartości 117 za pomocą wzoru interpolacyjnego Lagrange’a dla danych węzłów x0 = 100, x1 = 121, x2 = 144 i wartości funkcji w tych
węzłach.
zad. 14 (Taylor) Rozważając funkcję x(1 − x), pokazać, że jeśli n jest liczbą naturalną dodatnią, to dla 0 ¬ r ¬ n
r
r
r(n − r)
=
1−
2
n
n
n
r(n − r)
¬
0¬
n2
,
1
.
4
Następnie pokazać, że
r
max x −
0¬x¬1
n
x−
n − r 1
¬ 4
n
3
Obliczenia naukowe – Paweł Zieliński
i wobec tego
1
n−1
1
··· x −
(x − 1) ¬ n+1 .
max x x −
0¬x¬1
n
n
2
Zastosować tę nierówność do pokazania następującego oszacowania reszty dla f (x) = ex
i wielomianu interpolacyjnego Lagrange’a Ln z n + 1 węzłami równoodległymi xr = nr ,
dla 0 ¬ r ¬ n
e
max |ex − Ln (x)| ¬ n+1
.
0¬x¬1
2
(n + 1)!
zad. 15 Funkcję cos x przybliżamy za pomocą wielomianu interpolacyjnego w(x) stopnia n −
1, korzystając z n równoodległych węzłów interpolacji z przedziału [0, 1]. Jak dokładne
jest to przybliżenie, czyli jakie jest oszacowanie z góry ma błąd
max | cos x − w(x)|
0¬x¬1
np. dla n = 10? Jakie powinno być n, żeby ten błąd był mniejszy niż 10−7 ?
zad. 16 Pokazać, że współczynnik przy xn we wzorze interpolacyjnym Lagrange’a jest postaci
n
X
f (xk )
n
Y
j=0
j6=k
k=0
(xk − xj )−1 .
zad. 17 Uzasadnić, że
(a)
f [x0 , x1 , . . . , xn ] =
n
X
f (xk )
k=0
n
Y
1
,
x − xj
j=0 k
j6=k
(b)
n
X
k=0
xnk
n
Y
1
= 1,
x − xj
j=0 k
j6=k
(c) iloraz różnicowy nie zależy od kolejności węzłów.
zad. 18 Równanie x − 9−x = 0 ma rozwiązanie w przedziale [0, 1]. Znaleźć wielomian interpolujący funkcję f (x) = x − 9−x w węzłach x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1. Zero tego wielomianu
przyjąć jako przybliżenie rozwiązania powyższego równania. Jak bardzo jego wartość
różni się od dokładnej wartości?
zad. 19 Pokazać, że istnieją takie współczynniki a0 , . . . , an , że
Z
b
a
p(x)dx =
n
X
ai p(xi )
i=0
dla wszystkich wielomianów p stopnia ¬ n i dowolnych różnych punktów x0 , . . . , xn .
Wsk. Zastosować wzór interpolacyjny Lagrange’a.