Fizyka Statystyczna zestaw zadań 3

Fizyka Statystyczna
zestaw zadań 3
Łukasz Kuśmierz
[email protected]
Przypominam, że mamy dwa nierozwiązane problemy z poprzednich zajęć:
• co dzieje się z PDF, jeśli funkcja zmiennej losowej jest na jakimś przedziale stała
• obliczyć wariancję w n-tym kroku gry hazardowej
Zajmiemy się nimi na początku kolejnych.
Zadanie 1
Prawdopodobieństwo przejścia dla pewnego procesu wynosi:
P (x, t|y, s) = 1/2[1 + κ(t − s)]δ(x − y) + 1/2[1 − κ(t − s)]δ(x + y)
(1)
Jaka musi być funkcyjna postać κ(τ ), aby ten process był markowowski? Jakie musi być P1 (x, t =
0) aby ten process był stacjonarny?
Zadanie 2
Pijak błądzi po prostej, nieskończonej ulicy od latarni do latarni. Przy każdej latarni zapomina
skaąd przyszedł i idzie dalej z równym prawdopodobieństwem w obu kierunkach. Krok procesu:
przejście od jednej latarni do drugiej, prawdopodobieństwo przejścia w jednym kroku:
1
1
P (n → m) = δn,m−1 + δn,m+1
2
2
(2)
Znaleźć prawdopodobieństwo przejścia po N krokach do m–tej latarni, jeśli na poczaątku był
przy zerowej. Znaleźć średnią i dyspersję tego rozkładu. Znaleźć asymptotyczny kształt rozkładu
przy N → ∞ (centralne twierdzenie graniczne).
Zadanie 3
Tresowana mysz żyje w pudełku podzielonym na 3 pokoje. Pokój A ma 2 przejścia do pokoju B
i jedno do pokoju C, pokoje B i C są połączone jednym przejściem. Na dźwięk dzwonka mysz
przechodzi z równym prawdopodobieństwem przez jedno z przejść. Wylicz, jaką część życia mysz
spędza w każdym z pokoi.
1
Zadanie 4
[Dwustabilny proces Markowa] Cząstka skacze z punktu 1 do punktu 2 lub na odwrót. Prawdopodobieństwo P12 (∆t) przejścia z 1 do 2 (lub P21 (∆t) przejścia z 2 do 1) w bardzo małym
czasie ∆t jest równe λ∆t. W chwili t0 = 0 cząstka znajduje się w położeniu 1.
i) Znajdź prawdopodobieństwo, że cząstka w chwili t znajduje się w punkcie 1;
ii) Znajdź prawdopodobieństwo łączne, że cząstka w chwili t znajduje się w punkcie 1 oraz
w przeszłości (od chwili t0 ) nie wykonała ani jednego skoku z 1 do 2.
iii) Znajdź prawdopodobieństwo, że w czasie t cząstka wykonała dokładnie n skoków (niezależnie w którą stronę).
We wszystkich przypadkach interesuje nas granica ∆t → 0.
Podpowiedź: Rozważ jak zależy P11 (t + ∆t) i P12 (t + ∆t) od odpowiednich prawdopodobieństw
w chwili t, a następnie przejdź z ∆t → 0, żeby dostać równanie różniczkowe.
Zadanie 5
Dana jest zmienna losowa S:
S=
N
X
Xi
(3)
i=1
gdzie N jest zmienną losową opisywaną rozkładem Poissona o parametrze λ, natomiast {Xi }
jest zbiorem niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach (i.i.d.) Poissona o
parametrze µ.
• Oblicz wartość oczekiwaną E(S)
• Oblicz wariancję zmiennej losowej S
• *Ile maksimów może mieć funkcja rozkładu prawdopodobieństwa rozpatrywanej zmiennej
losowej?
2