Ppn Ń mq 1 E ¡J ¸ ¡ 0.

Zestaw XII
ii) Wyznacz średnią energię układu.
iv) Wyznacz pojemność cieplną układu.
Marcin Abram
e-mail: [email protected]
http://th.if.uj.edu.pl/~abram/
3 czerwca 2013 r.
Zadanie 3 (1 punkt)
Rozważ model jak w poprzednim zadaniu, jednak uformuj z niego pierścień, tj. atom N -ty ma za sąsiada atomy
N 1 oraz 1. Wyznacz sumę statystyczną tego modelu.
Zadanie 1 (1 punkt) [powtórka]
Pijak błądzi po prostej, nieskończonej ulicy od latarni
do latarni. Przy każdej latarni zapomina skaąd przyszedł Zadanie 4 (2 punkt)
i idzie dalej z równym prawdopodobieństwem w obu kieRozważ k-wymiarowy model Isinga. Oznacz przez z liczrunkach. Krok procesu to przejście od jednej latarni do
bę najbliższych sąsiadów dla każdego z atomów. Przyjmij,
drugiej, prawdopodobieństwo przejścia w jednym kroku
że obecne jest zewnętrzne pole magnetyczne H 0, zaś
to
temperatura układu wynosi T .
1
1
δn,m 1 .
(1)
P pn Ñ mq δn,m1
2
2
i) Napisz ile wynosi energia dowolnego spinu si (użyj
przybliżenia pola średniego). Wyznacz (uwikłane)
i) Znajdź prawdopodobieństwo przejścia w N krokach
równanie na średnią wartość spinu xsy (użyj prawdo m-tej latarni, jeśli na początku pijak znajdował
dopodobieństwa danego mikrostanu w rozkładzie kasię przy latarni zerowej.
nonicznym) [1 punkt].
ii) Znajdź średnią i dyspersję tego rozkładu.
iv) Rozwiąż (numerycznie lub graficznie) to równanie
iii) Znajdź asymptotyczny kształt rozkładu przy N Ñ
i zaprezentuj wyniki (dla różnych wartości parame8 (centralne twierdzenie graniczne).
trów). Załóż następnie, że H 0 i wyznacz temperaturę
krytyczną Tc (można analitycznie), powyżej któiv) Chcemy zbadać, ile średnio kroków zajmie naszemu
rej
model
Isinga staje się paramagnetykiem [1 punkt].
bohaterowi dojście do domu. Znajdź rozkład zmiennej
losowej T0,k będąca czasem (tu, liczbą kroków) dojścia
pijaka od 0-rowej do k-tej latarni (po raz pierwszy), Zadanie 5 (0 punkt)
a następnie wyznacz jej pierwszy moment.
Jak starczy czas, opowiem Wam o (bardziej) realistycznych modelach spinowych, niż te rozważane na zajęciach.
Wskazówka: Część (i)–(iii) była już rozwiązana w zestawie III-cim. Pytanie (iv) jest oryginalne. Można rozwiązać ten punkt definiując funkcję tworzącą G0,k pz q Literatura
m
m z P pT0,k mq, gdzie P pT0,k mq oznacza prawdopodobieństwo, że czas (pierwszego) dojścia z punk[1] K. Huang, Podstawy Fizyki Statystycznej, PWN,
tu 0 do k wynosi m. Następnie można udowodnić, ze
Warszawa, 2006.
G0,k pz q pG0,1 pz qqk , zapisać rekurencyjne równanie na
[2] K. Zalewski, Wykłady z mechaniki i termodynamiki
G0,k pz q, dojść do równania kwadratowego, rozwiązać je,
statystycznej dla chemików, Oficyna Wyd. Pol. Warzapisać jawną postać funkcji G0,1 pz q, a następnie wyznaszawskiej, Warszawa, 2006.
czyć pierwszy moment korzystając z G0,k pz q. W razie problemów można sięgnąć po lekturę pierwszego rozdziału
[3] A. Fronczak, Zadania i problemy z rozwiązaniami z
książki Ito [4].
termodynamiki i fizyki statystycznej, Oficyna Wyd.
Pol. Warszawskiej, Warszawa, 2006.
°
Zadanie 2 (1 punkt)
[4] K. Ito, H. P. McKean Jr. Diffusion Processes And
Their Sample Paths, Springer, Reprint of the 1974
edition, 1991.
Jeszcze raz Ising, tym razem z oddziaływaniami. Rozważmy łańcuch N atomów, w którym to atomy mogą posiadać spin Ò (+1) lub Ó (-1), tj. (otwarty) jednowymiarowy model Isinga. Stałą oddziaływania między (sąsiadującymi) spinami oznacz jako J. Energia układu jest równa:
E
J
¸
xi, j y
si sj ,
(2)
gdzie si 1 to spin i-tego atomu, a
mowanie po najbliższych sąsiadach.
i) Jaki jest stan podstawowy (dla T
padki J 0 i J ¡ 0.
°
xi, j y oznacza su-
0)? Rozważ przy-
i) Wyznacz sumę statystyczną tego modelu.
1