ETAP 2_test i odp

XI JURAJSKI KONKURS MATEMATYCZNY
DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM
ETAP II – 19 maja 2011 r.
Przeczytaj uważnie poniższą instrukcję:
Test składa się z dwóch części. Pierwsza część zawiera 10 zadań wielokrotnego wyboru.
Tylko jedna odpowiedź jest poprawna. Za każdą poprawną odpowiedź uzyskujesz 1 punkt.
Druga część zawiera 2 zadania, które wymagają analizy, wykorzystania nowych
wiadomości, obliczeń i wskazania odpowiedzi. Przy numerze zadania została podana
maksymalna liczba punktów możliwych do zdobycia za to zadanie.
Nie używaj kalkulatora.
Przeczytaj uważnie zadania. Na rozwiązanie wszystkich zadań masz 75 minut.
Powodzenia!
1. Przepis na cztery placki podaje, że należy wziąć 2 łyżki masła, 3 łyżki cukru i 4 łyżki
płatków owsianych. Ile placków mogę zrobić, mając 14 łyżek masła, 15 łyżek cukru i 16
łyżek płatków owsianych?
A. 20
B. 16
C. 22
D. 28
2. Alek biega szybciej od Basi, a Darek zawsze wygrywa w wyścigu z Cecylią. Basia nigdy
nie przegrywa z Ewą. Pewnego dnia wszystkie dzieci ścigały się ze sobą. Dokładnie jeden
z podanych wyników jest możliwy. Który? (ABCDE oznacza: „pierwszy Alek, …”)
A. BEDAC
B. ABCED
C. ADBCE
D. ADCEB
3. Mrówka wędruje po linii prostej z jednego rogu stołu do przeciwległego, ale po drodze
natyka się na sześcienną kostkę cukru o krawędzi 1 cm. Zamiast ją obejść wdrapuje się na nią
pionowo i schodzi po drugiej stronie, a następnie idzie dalej wytyczoną trasą. O ile przez ten
„objazd” wydłuży się droga mrówki?
A. 1cm
B. 2cm
C. 3cm
D. 4cm
4. Na zrobienie szalika na drutach potrzebuję trzech kłębków wełny. Rano szykuję sobie
b kłębków wełny i robię z niej w ciągu dnia s szalików. Ile kłębków zostaje mi pod koniec
dnia?
A. 3(b - s)
B. b - 3 - s
C. b - 3s
D. 3bs
5. Symbol 30! Oznacza iloczyn wszystkich liczb całkowitych od 1 do 30 włącznie. Gdybym
wykonał to działanie, to ile zer otrzymałbym na końcu?
A. 5
B. 6
C.
7
D. 8
6. W 1990 r. w Wielkiej Brytanii wprowadzono do obiegu nową monetę pięciopensową.
Stara moneta ważyła 5,65g, nowa zaś waży 3,25 g. O ile lżejsza będzie kieszeń, w której jest
5 funtów w samych nowych pięciopensówkach zamiast w samych starych?
A. 240g
B. 24g
C. 12g
D. 24000g
7. Pięciu graczy rugby waży łącznie 425 kg, a średnia waga dziesięciu baletnic jest równa
40 kg. Jaka jest średnia waga wszystkich tych piętnastu osób?
A. 31 kg
B. 55 kg
C. 62,5 kg
D. 89 kg
8. Chodzę z prędkością 4 km/h, a biegam z prędkością 6 km/h. Stwierdziłem, że jeśli rano do
szkoły biegnę, zamiast iść, oszczędzam 3 minuty i 45 sekund. Jak daleko mieszkam od
szkoły?
A. 0,125 km
B. 0,375 km
C. 0,75 km
D. 7,5 km
9. W brodziku małej Zosi mieści się 2000 litrów wody. Napełnia się go za pomocą węża
ogrodowego, przez który woda przepływa z szybkością 0,04m3 na minutę. Ile trwa
napełnianie brodzika?
A. 5 min
B. 8 min
C. 20 min
D. dłużej
10. W styczniu Pan Mądry otwiera stację benzynową i zaczyna sprzedawać benzynę po 5 zł
za litr. W lutym spostrzega, że ma zbyt mało klientów, więc obniża cenę o 20%. W marcu,
cena ropy poszła w górę, więc Pan Mądry z kolei podwyższył cenę benzyny o 25%. O ile
teraz różni się cena benzyny od ceny styczniowej?
A. -5%
B. -1%
C. 0%
D. +5%
11. (4 pkt) Z prostokątnego kartonu o wymiarach 26 cm i 18 cm odcięto w czterech rogach
kwadraty o boku 5 cm. Z pozostałej części kartonu sklejono otwarte pudełko. Oblicz
pojemność tego pudełka.
Odrobina teorii
Twierdzenie Fermata
„Każda liczba pierwsza postaci 4k+1, gdzie k należy do zbiory liczb naturalnych i k jest różne
od zera, jest sumą kwadratów dwóch liczb naturalnych.”
Wykorzystaj twierdzenie Fermata do zadania 12
12. (6pkt) Wypisz wszystkie liczby pierwsze postaci 4k+1, gdzie k jest liczbą naturalną
i k>0, mniejsze od 20. Podaj ich rozkłady na sumę kwadratów dwóch liczb naturalnych.
KLUCZ PUNKTOWANIA DO ZADAŃ
XI JURAJSKIEGO KONKURSU MATEMATYCZNEGO
DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM
ETAP II – 19 maja 2011 r.
Przy punktowaniu zadań należy stosować następujące ogólne reguły:
1. Punktując rozwiązania zadań przyznajemy tylko całkowitą liczbę punktów.
2. Punkt za wybór metody rozwiązania zadania przyznajemy, gdy uczeń zauważył
wszystkie istotne własności i związki oraz zaczął je poprawnie stosować, np.: wybrał
właściwy algorytm, wzór, w inny sposób pokazał plan rozwiązania zadania.
3. Punkt za wykonanie zadania przyznajemy tylko wtedy, gdy uczeń konsekwentnie
stosuje przyjętą metodę rozwiązania zadania i doprowadza do otrzymania
ostatecznego, prawidłowego wyniku.
4. Nie jest wymagana pisemna odpowiedź, ale jednoznaczne wskazanie wyniku.
5. Za każdy inny niż podany w kluczu poprawny sposób przyznajemy maksymalną
liczbę punktów.
6. W przypadku, gdy zadanie rozwiązano innym, niż podanym w kluczu sposobem, ale
popełnione zastały błędy lub nie dokończono rozwiązania, należy przyznać
proporcjonalnie mniej punktów, niż wynosi maksymalna liczba punktów do tego
zadania..
CZĘŚĆ I (max 10 pkt)
1
B
2
C
3
B
4
C
5
C
6
A
7
B
8
C
9
D
10
C
CZĘŚĆ II (max 10 pkt)
Zadanie 11 (4pkt)
a) prawidłowy rysunek – 1pkt
b) prawidłowe obliczenie wymiarów pudełka – 1pkt
c) umiejętność obliczenia V prostopadłościanu – 1pkt
d) prawidłowe obliczenie – 1pkt
Zadanie 12 (6pkt)
Po 1 punkcie za każdą liczbę pierwszą i po 1 punkcie za jej rozkład