DODATEK 2

DODATEK 2
Pole elektryczne między dwoma równoległymi nieskończenie wielkimi płaszczyznami z równomiernie rozłożonym na ich powierzchniach ładunkiem powierzchniowym różnoimiennym
W przypadku dwóch równoległych nieskończenie wielkich równoległych i równoodległych
płaszczyzn (1) i (2) równomiernie naładowanych różnoimiennym ładunkiem powierzchniowym +qs i −qs (|+qs| = |−qs| oraz |qs| = const) natężenia pola elektrycznego E i potencjał ϕ lub
różnicę potencjałów U = ∆ϕ wyznacza się przez „nałożenie” wyników rozważań w DODATKU 1. Wobec faktu, że płaszczyzny są naładowane ładunkiem powierzchniowym równym
pod względem wartości bezwzględnej, lecz przeciwnego znaku, łatwo można zauważyć – rys.
D2.1, że pole elektryczne E między płaszczyznami jest sumą pól E1 i E2 od ładunków ich obu,
natomiast na zewnątrz pole wypadkowe jest różnicą pól od obu płaszczyzn. Ponieważ na obu
płaszczyznach jest taki sam ładunek powierzchniowy natężenie pola elektrycznego między
płaszczyznami jest dwukrotnie większe od natężeń pól obu płaszczyzn. Stąd wynika także, że
na zewnątrz układu płaszczyzn nie ma pola elektrycznego E = 0.
z
y
1
E
0
2
0
E
90°
E1
E1
E
0
E1
x
0
E2
E2
E2
1
2
qs
qs
d
Rys. D2.1. Nieskończenie wielkie płaszczyzny równomiernie naładowane
ładunkiem powierzchniowym różnoimiennym i ich pole elektryczne
Wektory natężenia pola elektrycznego E1 i E2 są wszędzie na powierzchniach obu płaszczyzn prostopadle do nich. Ze względu na znak ładunków powierzchniowych zwroty wektorów E1 i E2 są takie, jak pokazano na rys. D2.1. Wobec powyższych rozważań jest
E1 =
qs
q
i E2 = − s .
2εε 0
2εε 0
(D2.1)
Na zewnątrz obu płaszczyzn (1) i (2), czyli dla x < 0 i x > d, wektory natężenia pola elektrycznego E1 i E2 mają przeciwne zwroty i ich suma wynosi
E1 = −E2 i E = E1 + E2 = 0 .
(D2.2)
Stąd wartość natężenia pola elektrycznego E = 0. Natomiast między płaszczyznami (0 < x <
d) zwroty obu wektorów są zgodne i ich suma jest różna od zera
E1 = E2 i E = E1 + E2 ≠ 0 ,
(D2.3)
a wartość natężenia pola elektrycznego między płaszczyznami, która wynosi
E = E1 + E2 =
qs
q
q
+ s = s
2εε 0 2εε 0 εε 0
(D2.4)
i jest wszędzie stała – E = const.
Potencjał ϕ w polu elektrycznym między dwoma płaszczyznami (0 < x < d) jest całką z natężenia pola elektrycznego wyrażonego wzorem (D2.4) i wynosi
ϕ = − ∫ E dx = − ∫
qs
q
dx = − s x + C
2εε 0
2εε 0
(D2.5)
z dokładnością do stałej całkowania C i maleje z odległością od płaszczyzny z dodatnim ładunkiem powierzchniowym w kierunku płaszczyzny z ładunkiem ujemnym i oba potencjały
muszą być sobie równe pod względem wartości bezwzględnej, ale przeciwnego znaku, co jest
w pełni uzasadnione fizycznie. Warunek brzegowy jest zatem następujący
ϕ = 0 dla x = 0,5 d ,
(D2.6)
dla którego potencjały płaszczyzn (1) i (2) według wzoru (D2.5) wynoszą
ϕ1 =
qs
q
d dla x = 0 i ϕ2 = − s d dla x = 0,5 d .
4εε 0
4εε 0
(D2.7)
Różnica potencjałów U = ϕ1 − ϕ2 dla obu płaszczyzn odległych od siebie o d wynosi
0
d
U = ϕ1 − ϕ2 = − ∫ E dx = ∫
d
0
qs
εε 0
dx =
qs
εε 0
x0 =
d
qs
εε 0
d.
(D2.8)
Ze wzorów (D2.5) i (D2.7) oraz warunku ϕ1 = −ϕ2 wynika liniowe zmniejszanie się potencjału z odległością od równomiernie i dodatnio (qs > 0) naładowanej nieskończenie wielkiej
płaszczyzny w kierunku drugiej ujemnie (qs < 0) naładowanej płaszczyzny.
Potencjały na zewnątrz układu płaszczyzn dla x < 0 i x > d są stałe. Ich wartości wynoszą
ϕ1 =
qs
q
d dla x < 0 i ϕ2 = − s d dla x > d ,
4εε 0
4εε 0
(D2.9)
ponieważ natężenie pola elektrycznego E w tych przedziałach jest równe zero – E = 0.
Na rys. D2.2 pokazano przebiegi zmian natężenia pola elektrycznego E i potencjału ϕ w
funkcji odległości x.
E
1
x
d
0
2
Rys. D2.2. Natężenie pola elektrycznego E i potencjał ϕ wewnątrz i na
zewnątrz dwóch nieskończenie wielkich płaszczyzn równoległych
–2–