od-pola-trojkata-do-pola-dowolnego

Antoni Stachowski
Przyjmijmy, że pole prostokąta wynosi P=ab.
Wtedy, przez dorysowanie przekątnej
otrzymamy wzór na pole dowolnego trójkąta
prostokątnego, które wynosi
P 
1
1
P  ab
2
2


Zastanówmy się jak korzystając z tego wzoru
można obliczyć pole pole dowolnego
wielokąta.
W tym celu zauważmy, że dowolny trójkąt
można podzielić na dwa trójkąty prostokątne:


Zatem wiedząc jak obliczyć pole trójkąta
prostokątnego, możemy obliczyć pole
dowolnego trójkąta, albowiem każdy trójkąt
da się podzielić na trójkąty prostokątne.
Ponieważ, każdy wielokąt wypukły da się
podzielić na trójkąty, aby się o tym przekonać
wystarczy wybrać dowolny punkt znajdujący
się wewnątrz tego wielokąta i połączyć go z
wierzchołkami, np. tak jak na poniższym
rysunku:


Zatem, wiedząc jak obliczyć pole trójkąta
prostokątnego możemy obliczyć pole
dowolnego wielokąta wypukłego.
Jeżeli wielokąt nie jest wypukły to można go
podzielić na skończoną liczbę wielokątów
wypukłych, przykład takiego podziału jest
przedstawiony poniżej:



Zatem płynie z tego następujący wniosek:
Jeżeli potrafimy obliczyć pole dowolnego
trójkąta prostokątnego, to możemy obliczyć
pole dowolnego wielokąta.
Podobnie sytuacja przedstawia się w
przestrzeni, mianowicie znając odpowiedni
sposób, możemy wyznaczyć objętość
dowolnego wielościanu

Możemy także wyznaczyć pole dowolnego
wielokąta za pomocą twierdzenia cosinusów
oraz wzoru Herona, mając dane tylko
długości boków i miary kątów, a nie
dysponując rysunkiem czy linijką. Jest to
jednak bardziej skomplikowany sposób i nie
będę go przytaczał.


Na zakończenie tej części chciałbym jeszcze
powiedzieć, że dowolny trójkąt prostokątny
da się rozciąć na dwa trójkąty
równoramienne.
Co jest tego konsekwencją, to pozostawiam
Wam drodzy słuchacze do przemyślenia.

Wzór Picka pozwala obliczyć pole dowolnego
wielokąta o wierzchołkach w punktach
kratowych.
1
P  b  w 1
2


Dla prostokąta
Dla trójkąta



Prezentację wykonali:
Antoni Stachowski
Kinga Kolczyńska-Przybycień