prędkość tv

GEOFIZYKA STOSOWANA – wykład 6
Sejsmika refleksyjna
W sejsmice refleksyjnej mierzy się czas dojścia do odbiornika
fali odbitej od granicy dwóch warstw różniących się twardością
akustyczną
Jest stosowana głównie do badania sekwencji skał osadowych
o niewielkim kącie upadu. Zmiany prędkości fal z głębokością
są w takim przypadku dużo bardziej znaczące niż poziome
zmiany prędkości związane ze zmianami facjalnymi
poszczególnych sekwencji.
Podstawowy model sejsmiki refleksyjnej zakłada istnienie
przedziałów głębokości o charakterystycznych prędkościach
fal, tzw. prędkościach interwałowych, które mogą być stałe
wewnątrz
homogenicznej
jednostki
geologicznej
lub
uśrednione w interwale zawierającym więcej niż jedną
jednostkę geologiczną. Prędkość interwałowa może więc być
równa:
Vi =
zi
τi
gdzie: zi - miąższość i-tej warstwy
τi - czas potrzebny fali na przejście przez warstwę
lub:
n
Vi =
∑ Zk
k =1
n
∑τk
k =1
n
=
∑Vk ⋅ τ k
k =1
n
∑τ k
k =1
gdy interwał głębokościowy obejmuje n warstw.
Pojedyncza pozioma granica odbijająca
A’
0
x
α α
x/2
x
z
A
α α
x/2
czas dojścia fali z punktu 0 do A lub A’ jest równy:
2
x
2 ⋅ z2 +
4 =
t (x ) =
V
x 2 + 4z 2
V
Równanie można także przedstawić w postaci kanonicznej:
V 2t 2
x2
− 2 =1
2
4z
4z
Jest to równanie hiperboli symetrycznej względem osi
czasu której wierzchołek ma współrzędne:
⎧
⎛
H
:
⎜ x0 = 0,
⎨
⎝
⎩
t0 =
2 z ⎞⎫
⎟⎬
V ⎠⎭
Równanie hodografu można zapisać w postaci:
x2
t =t + 2
V
2
lub:
⎡ ⎛ x ⎞
⎟⎟
t = t0 ⎢1 + ⎜⎜
⎢⎣ ⎝ Vt0 ⎠
2
0
2
⎤
⎥
⎥⎦
1
2
2z ⎡ ⎛ x ⎞
=
⎢1 + ⎜ ⎟
V ⎢⎣ ⎝ 2 z ⎠
2
⎤
⎥
⎥⎦
1
2
Korzystając ze wzoru:
(1 + y )
α
a (a − 1) 2
a (a − 1)...(a − n + 1) n
= 1 + ay +
y + ... +
y + ...
n!
2!
i przyjmując
1
α=
2
1
⎞ 2
⎛ x
y = ⎜⎜ 2 2 ⎟⎟
⎝ V t0 ⎠
2
=
x
2z
równanie hodografu można rozwinąć w szereg potęgowy:
⎛ 1 ⎛ x ⎞2 1 ⎛ x ⎞4
⎞
t = t 0 ⎜1 + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + ... ⎟
⎜ 2 ⎝ 2z ⎠ 8 ⎝ 2z ⎠
⎟
⎝
⎠
Jeśli długość rozstawu jest dużo mniejsza od głębokości granicy
(x>>z) wówczas można zaniedbać wyrazy wyższych rzędów.
Otrzymamy wtedy przybliżoną zależność:
2
⎡
1⎛ x ⎞ ⎤
⎟⎟ ⎥
t ≈ t 0 ⎢1 + ⎜⎜
⎢ 2 ⎝ Vt 0 ⎠ ⎥
⎣
⎦
będącą równaniem paraboli. Oznacza to, że dla małych x hiperbola
może być przybliżona wycinkiem paraboli.
t(x)
t2
Δt12
t1
t0
-x1
ΔT
x1
x2
x
Na podstawie ostatniego równania możemy zdefiniować następujące
pojęcie:
Δt ij = t i − t j ≈
x i2 − x 2j
2V 2 t 0
zwane przesunięciem (moveout) oraz poprawkę kinematyczną
(normal moveout - NMO) :
x2
ΔTN ( x ) = t ( x ) − t0 =
2V 2 t0
Dla płytszych granic trzeba uwzględnić trzeci człon szeregu,
wówczas:
x2
x4
ΔTN ( x ) =
− 3 4
2
2V t0 8t0V
Poprawka kinematyczna ΔT jest funkcją odległości detektora,
prędkości fali oraz głębokości zalegania granicy odbijającej.
Wyznaczenie tej wartości z hodografu pozwala na obliczenie
prędkości fali:
V ≈
x
2t0 ΔTN ( x )
a następnie głębokości zalegania granicy :
Vt0
Z=
2
Model wielowarstwowy z poziomymi granicami
W modelu wielowarstwowym odbicie zachodzi na granicy każdej
warstwy. Dla rozstawów pomiarowych małych w porównaniu z
głębokością granicy odbijającej hodograf nadal ma postać
hiperboli, jednak prędkość fali dla układu wielowarstwowego
zastępuje się prędkością średnią lub w dokładniejszych
metodach interpretacji prędkością średniokwadratową:
VRMS
1
⎤ 2
⎡
2
V
∑
i τi ⎥
⎢
⎥
= ⎢ i =1n
⎥
⎢
τ
∑
i
⎥
⎢
⎦
⎣ i =1
n
τi – czas przejścia fali przez i-tą warstwę
t(x)
hiperbola
rzeczywisty hodograf
x
Odchylenie rzeczywistego hodografu od hiperboli zwiększa się ze
wzrostem x. Dla x<<z czas dojścia fali odbitej od n-tej granicy
zalegającej na głębokości z jest w przybliżeniu równy:
tn ≈
a poprawka kinematyczna ΔT:
(x
ΔTn =
2
2
+ 4z
V RMS
)
1
2
x2
2V RMS t 0 n
Na podstawie wartości ΔTn można wyznaczyć prędkość
średniokwadratową dla serii n warstw. Wyznaczając VRMS dla
sąsiednich granic odbijających można wyznaczyć prędkości
interwałowe:
⎡Vn2 t n
Vn = ⎢
⎣
1
2
− Vn−1t n−1 ⎤ 2
t n − t n−1
⎥
⎦
Indeksy n i n-1 oznaczają czas dojścia i prędkość
średniokwadratową fal odbitych od n-tej i n -1-szej
granicy.
Pojedyncza nachylona granica odbijająca
W przypadku nachylonej granicy odbijającej w równaniu
hodografu występuje dodatkowy człon zależny od kąta upadu
granicy δ.
t=
(x
2
)
+ 4 z + 4 xz sin δ
V
Równanie hodografu w postaci kanonicznej:
(
V 2t 2
x + 2 z sin δ )
−
=1
2
2
2
2
4 z cos δ
4 z cos δ
2
t(x)
t(+x)
t(-x)
ΔTu
t0
tmin
-x
+x
X
δ
Wierzchołek hiperboli jest przesunięty w kierunku
przeciwnym do kierunku zapadania granicy.
Uproszczone równanie hodografu ma postać:
(
)
1
⎤ 2
⎡
x + 4 xz sin δ
t ≈ t 0 ⎢1 +
⎥
2 2
2
V
t
⎢⎣
⎥⎦
0
2
Można zdefiniować poprawkę dynamiczną upadową:
ΔTd = t ( + x ) − t ( − x ) =
2 x sin δ
V
Dla małych kątów upadu (sinδ ≈ δ) możemy obliczyć kąt upadu:
V ⋅ ΔTd
δ =
2x
Potrzebną w tym wzorze prędkość obliczamy używając
uśrednionej poprawki kinematycznej (NMO)
t (+ x ) + t (− x ) − 2t 0
ΔT0 =
2
V ≈
x
2t0 ΔT0
Metody interpretacyjne stosowane w sejsmice refleksyjnej
A. Metoda Greena (model dwuwarstwowy z poziomą granicą)
Po podniesieniu stronami do kwadratu równania hodografu
otrzymuje się:
2
2
2
4
1
4
z
x
+
z
2
x
t2 =
=
+ 2
2
2
V
V
V
Na wykresie w układzie x2 – t2 zależność ta przedstawia
prostą, której nachylenie jest równe 1/V2, a przecięcie z osią
czasu (x=0) zachodzi dla:
2
4
z
t 02 = 2
V
więc z wykresu możemy wyznaczyć prędkość fali oraz
głębokość granicy
t2
t02
x2
Odczytując z sejsmogramu czasy dojścia fali do
poszczególnych geofonów nanosimy je na wykres, a
następnie metodą najmniejszych kwadratów dopasowujemy
linię prostą do punktów doświadczalnych. Stosując tą
metodę minimalizujemy błędy wyznaczenia czasu dojścia i
jednocześnie
uśredniamy
zróżnicowanie
prędkości
wywołane niejednorodnością ośrodka.
Metodę Greena można stosować także do układów
wielowarstwowych zastępując prędkość interwałową w
równaniu hodografu prędkością średnią.
B. Metoda Dixa (model wielowarstwowy z poziomymi granicami)
Wychodząc z cefinicji prędkości średniokwadratowej możemy
zapisać równanie hodografu fali odbitej od n-tej granicy:
2
VRMS
n
n
i =1
i =1
2
τ
=
V
∑ i ∑ i τi
które możemy przekształcić rozkładając prawą stronę:
2
VRMS
n
n
n −1
∑τ i = ∑
i =1
Vi τ i + Vn2τ n
i =1
2
gdzie
n −1
VRMS n −1 =
2
= VRMS
n −1
2
V
∑ i τi
i =1
n −1
∑τ i
i =1
n −1
∑τ i + Vn2τ n
i =1
Rozwiązując równanie względem Vn otrzymujemy:
Vn2 =
2
VRMS
n
n −1
2
τ i − VRMSn −1 τ i
i =1
i =1
n
∑
∑
τn
Jeśli czas potrzebny na przejście fali od punktu wzbudzenia do i-tej
granicy i ponownie do punktu wzbudzenia oznaczymy przez t0i
wówczas:
τi =
Łatwo zauważyć że:
Ostatecznie:
t0 i − t0 i −1
2
t 0n
∑τ i = 2
i =1
n
Vn2 =
2
2
VRMS
t
−
V
RMS n −1 t 0 n −1
n 0n
t 0n − t 0n −1
Prędkości V2RMSn i V2RMSn-1 wyznaczamy z nachylenia prostych na
wykresach w układzie x2- t2 przyjmując, że równanie hodografu fali
odbitej od n-tej granicy ma postać:
t n2
=
x 2 + 4 h2
2
V RMSn
Uwzględniając zależność tn od czasów t0n i t0n-1 można na podstawie
prędkości interwałowych wyliczyć miąższość n-tej warstwy:
t0 n − t0 n−1
z n = Vn
2
oraz głębokość n-tej granicy refleksyjnej:
t0 n − t0 n−1
hn = ∑ Vi
2
i =1
n
Ograniczenia metody Dixa
Jeśli wykreślimy zależność x2 – t2 dla fali odbitej od n-tej
granicy refleksyjnej, punkty doświadczalne nie będą układać
się na linii prostej. Odchylenie od prostej będzie tym
wyraźniejsze im większa będzie długość rozstawu geofonów.
Aby wyznaczyć VRMS należy w tym przypadku wyznaczyć
nachylenie linii stycznej do hodografu dla x → 0.
t2
x2
Skuteczność metody Dixa można sprawdzić na
modelu ośrodka wielowarstwowego. Wyznaczenie
prędkości interwałowej i głębokości granic
odbijających dla coraz niższych warstw jest coraz
mniej dokładne. Dokładność interpretacji maleje
także
ze
wzrostem
długości
rozstawu
pomiarowego. Linie proste dopasowywane na
wykresie
ze
wzrostem
długości
rozstawu
charakteryzują się niższym nachyleniem (większą
prędkością fali). Prowadzi to do nadinterpretacji
zarówno prędkości fali jak i głębokości granic.
Metoda Dixa jest jednak skuteczniejsza i
dokładniejsza dla modeli wielowarstwowych niż
metoda Greena, w której uśrednia się prędkość a
nie jej kwadrat.
Metody interpretacyjne stosowane w sejsmice
refleksyjnej dla nachylonych granic odbijających
A. Metoda tmin/t0
P
h
G
x
z
M
R
Q
δ
Dla
wyznaczenia
równania
hodografu fali refleksyjnej możemy
wykorzystać
punkt
Q,
zwany
urojonym
punktem
wzbudzenia
stanowiący
obraz
punktu
wzbudzenia, gdy granica odbijająca
działa
jak
zwierciadło
płaskie.
Odległość wzdłuż łamanej PMG
zastępujemy
długością
odcinka
QMG, którą obliczamy z twierdzenia
cosinusów:
(QG)2 = (PQ)2 + (PG)2 – 2 (PQ)·(PG) cos (90-δ)
gdzie: PQ = 2z
PG = x
QG = l
skąd: l2 = 4z2 + x2 – 4zxsinδ
Czas przejścia fali po drodze PMG będzie równy:
t (x ) =
x 2 + 4 z 2 − 4 zx sin δ
V
Jest to równanie hiperboli, której wierzchołek jest przesunięty
względem x = 0.
t(x)
t0
tmin
xmin
X
Aby wyznaczyć położenie wierzchołka należy znaleźć minimum
funkcji t(x).
V 2 t 2 = x 2 + 4 z 2 − 4 zx sin δ
(
)
d V 2t 2
= 2 x − 4 zx sin δ
dx
2 dt
2V t
= 2 x − 4 zx sin δ
dx
dt x − 2 z sin δ
=
=0
2
dx
V t
Rozwiązaniem równania jest:
x min = 2 z sin δ
Rozwiązanie to wstawiamy do równania hodografu podniesionego
stronami do kwadratu:
2
(
2 z sin δ ) + 4 z 2 − 4 z (2 z sin δ ) sin δ
[t ( xmin )] =
2
2
V
tmin
2 z cos δ
= t ( xmin ) =
V
Dla x=0 hodograf przyjmuje wartość:
t 0 = t (0 ) =
(
4 z 2 − 4 z 2 sin2 δ 4 z 2 1 − sin2 δ
=
=
2
V
V2
2z
V
Łącząc obie zależności można wyznaczyć kąt δ:
t min
t min
= cos δ ⇒ δ = arccos
t0
t0
)
Kierunek upadu warstwy określamy na podstawie znaku xmin.
Jeśli oś X jest zorientowana zgodnie z kierunkiem wznoszenia
się granicy wówczas xmin ma wartość dodatnią.
Miąższość warstwy możemy przeliczyć na głębokość
zalegania granicy pod punktem wzbudzenia:
x min
z=
2 sin δ
x min
z
oraz h =
=
cos δ sin 2δ
Znając t0 oraz z możemy wyliczyć prędkość fali w warstwie:
x min
2z
V=
=
t 0 t 0 sin δ
Aby móc zastosować metodę tmin – t0 należy w pomiarach
stosować rozstaw obustronny z centralnie ulokowanym punktem
wzbudzenia.
B. Metoda x2 – t2
Jeśli dla obustronnego rozstawu naniesiemy wartość t(x) na
wykres x2 – t2 wówczas w przypadku granicy nachylonej
otrzymamy dwie gałęzie:
t0
x2
W tym przypadku można do interpretacji wykorzystać linię
będącą sieczną obu gałęzi wykresu.
t (− x ) + t
2
2
2
2
(
− x ) + 4 z 2 − 4(− x )z sin β (+ x ) + 4 z 2 − 4(+ x )z sin β
(+ x ) =
+
2
2
V
V
2 x 2 + 8z 2
2t =
V2
2
Równanie siecznej:
2
2
x
+
4
z
t2 =
V2
Sieczna reprezentuje hodograf fali odbitej od poziomej granicy,
której głębokość jest równa odległości rzeczywistej, nachylonej
granicy od punktu wzbudzenia.
Z nachylenia siecznej możemy wyznaczyć prędkość a następnie z
wartości t0 dla siecznej głębokość granicy z.
Podstawiając te wartości do równania hodografu t(x) fali odbitej od
nachylonej granicy dla określonego punktu odbioru x możemy
wyznaczyć kąt nachylenia δ:
x 2 + 4 z 2 − V 2t 2
x z V 2t 2
=
+ −
sin δ =
4 zx
4 z x 4 zx
C. Metoda czasu ΔTD
Odstęp czasowy pomiędzy czasem dojścia w punkcie x oraz –x :
ΔTD = t+x – t-x
Wychodząc z równania hodografu dla nachylonej granicy:
tx =
oraz zależności:
(x
2
t0 =
+ 4 z − 4 xz sin δ
V
2
)
1
2
2z
V
dokonujemy przekształcenia:
2
4 xz sin δ
x
2
2
t x = 2 + t0 −
V
V2
2
⎛
− 4 xz sin δ
x
2
2⎜
t x = t0 ⎜1 +
2 2
V
t0
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
otrzymując:
1
⎞ 2
⎛
x − 4 xz sin δ
⎜
⎟
t x = t0 ⎜1 +
2
⎟
z
4
⎝
⎠
2
⎡ 1 ⎛ x 2 − 4 xz sin δ
t x = t 0 ⎢1 + ⎜⎜
⎢ 2⎝
4z 2
⎣
⎞ 1 ⎛ x − 4 xz sin δ
⎟− ⎜
2
⎟ 8⎜
4
z
⎠
⎝
2
⎤
⎞
⎟ + ...⎥
⎟
⎥
⎠
⎦
2
Ograniczamy szereg tylko do dwóch pierwszych wyrazów:
x 2 − 4 xz sin δ
x 2 − 4 xz sin δ
t0 = t0 +
t x = t0 +
2
4 zV
8z
i obliczamy ΔTD:
ΔT D = t + x − t − x
2
⎛
(
+ x ) − 4 z (+ x )sin δ
= ⎜⎜ t 0 +
4 zV
⎝
2 x sin δ
ΔT D = −
V
2
⎞ ⎛
(
− x ) − 4 z (− x )sin δ
⎟ − ⎜ t0 +
⎟ ⎜
4 zV
⎠ ⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
Dla granicy nachylonej nie ma jednego czasu ΔTN, możemy jednak
zdefiniować ΔTN
t + x + t − x − 2t 0
x2
ΔTN =
=
2
4 zV
Przyjmując za x długość połowy rozstawu równą „l” otrzymujemy
układ trzech równań:
2z
t0 =
V
2l sin δ
ΔTD = −
V
l2
ΔTN =
4 zV
z których wyliczyć możemy V, z oraz δ, a w dalszej kolejności
głębokość h granicy odbijającej pod punktem wzbudzenia
wyznaczając z hodografu fali odbitej t0, ΔTD i ΔTN
t(x)
ΔTD
ΔTN
t0
tmin
-x
0
+x
X