Analiza matematyczna - Przykładowe zestawy egzaminacyjne

Analiza matematyczna - Przykładowe zestawy egzaminacyjne
Ogólne informacje
Egzamin będzie trwać 90 minut.
Zestaw egzaminacyjny składa się z pięciu zadań: czterech „praktycznych” i jednego „teoretycznego”. Zadania praktyczne polegają na wykorzystaniu umiejętności rozwiązywania zadań tego
samego typu, co na ćwiczeniach. Nie jest wykluczone, że wśród tych zadań pojawią się się zadania z
treścią, wymagające zastosowania wiedzy ekonomicznej. Zadanie teoretyczne opiera się na wiedzy z
wykładu. Najczęściej wymaga podania wypowiedzi definicji lub twierdzenia (nie jest konieczne uczenie się takich definicji/twierdzeń na pamięć - można wypowiedzieć definicję lub twierdzenie własnymi
słowami), a następnie wykazania się jego zrozumieniem przez podanie jego zastosowań ekonomicznych
lub matematycznych przykładów spełniających (lub nie) warunki tej definicji/twierdzenia.
Z egzaminu można zdobyć 900 „małych” punktów. Z każdego zadania praktycznego można zdobyć
200 punktów, a za zadanie teoretyczne 100 punktów.
Końcowa ocena kursu jest wypadkową wyniku z ćwiczeń i z egzaminu. Z ćwiczeń można uzyskać
od 0 do 40 „dużych” punktów, ale by móc być dopuszczonym do egzaminu (a więc mieć szanse
na zaliczenie kursu) trzeba zdobyć z nich przynajmniej 20 dużych punktów. W II terminie nie
można zdobyć więcej niż 20 punktów za ćwiczenia. Z egzaminu można uzyskać od 0 do 60 „dużych”
punktów, które powstają z podzielenia „małych” punktów z egzaminu przez 15 (zaokrąglane do
połówek punktów). Suma dużych punktów z egzaminu i ćwiczeń daje końcową ocenę, przy czym z
egzaminu również trzeba zdobyć co najmniej 20 dużych punktów (czyli 300 małych), by móc zdobyć
zaliczenie. Przy założeniu zdobycia co najmniej po 20 dużych punktów z ćwiczeń i egzaminu, punkty
są następująco przeliczane na oceny:
∙ mniej niż 50 punktów (lub poniżej 20 punktów z egzaminu lub ćwiczeń) - ocena 2,0
∙ 50-64 pkt - ocena 3,0
∙ 65-69 pkt - ocena 3,5
∙ 70-84 pkt - ocena 4,0
∙ 85-89 pkt - ocena 4,5
∙ 90-100 pkt - ocena 5,0
Ocena 5, 5 jest możliwa do uzyskania, ale tylko dla osób, których umiejętności i wiedza zdecydowanie wyróżniają się na tle pozostałych. W szczególności, wymaga uzyskania 5, 0 w normalnym
trybie, nominacji odpowiedniego ćwiczeniowca i wykonania pewnych dodatkowych, indywidualnie
przydzielnonych, zadań.
System oceniania może wydać się niejasny niejasny, więc przedstawiam przykłady (zakładam, że
wyniki procentowe z ćwiczeń przekładają się bezpośrednio na „duże” punkty za ćwiczenia - tak jest
u mnie, ale każdy ćwiczeniowiec ustala własne zasady)
∙ Niels Abel zdobył 40% punktów z ćwiczeń, co jest przeliczone na 16 dużych punktów. Nie
zostanie dopuszczony do egzaminu, uzyska ocenę 2, 0.
∙ Evariste Galois zdobył 53% punktów z ćwiczeń (co da mu 21 dużych punktów) oraz 800
małych punktów z egzaminu (co przeliczy się na 53, 5 dużego punktu z egzaminu). Jego
łączny rezultat to 74,5 punktu, czyli ocena 4, 0.
∙ Carl Friedrich Gauss zdobył 55% punktów z ćwiczeń (czyli 22 duże punkty) oraz 400 małych
punktów z egzaminu (co przeliczy się na 26, 5 dużego punktu z egzaminu. Jego łączny rezultat
to 48,5 punktu, czyli ocena 2, 0 (mimo, że przekroczył dolną granicę 20 punktów z obydwu
części kursu).
∙ Leonhard Euler zdobył 66% punktów z ćwiczeń (czyli 26,5 punktu) i 360 małych punktów z
egzaminu (czyli 24 punkty duże). Razem uzyskał 50, 5 punktu, czyli ocenę 3, 0 (mimo, że z
egzaminu miał mniej niż 50% punktów).
∙ Gottfried Leibniz zdobył 80% punktów z ćwiczeń (czyli 32 duże punkty) i 270 małych punktów
z egzaminu (czyli 18 punktów dużych). Razem uzyskał 50 punktów, ale nie zaliczy kursu,
gdyż nie uzyskał 20 punktów z egzaminu.
2
Mam nadzieję, że te przykłady wyjaśniają wszelkie wątpliwości.
Inne kwestie techniczne:
∙ Na egzaminie nie są dozwolone żadne pomoce dodatkowe poza przyrządami do pisania i kalkulatorem (nieprogramowalnym, niegraficznym). Kartki otrzymają Państwo na sali. Wszystkie
pozostałe rzeczy należy spakować i odłożyć w miejsce wskazane przez osoby pilnujące na egzaminie. W szczególności, nie wolno mieć komórek/smartfonów i innych przedmiotów pozwalających na kontakt ze światem zewnętrznym (nie mówiąc o ściągach). Złamanie tego przepisu
może skutkować natychmiastowym usunięciem z egzaminu i oceną niedostateczną.
∙ Na egzamin należy przynieść jakiś dowód tożsamości (może być indeks) ze zdjęciem.
∙ Należy pamiętać, że aby zaliczyć kurs, należy posiadać nie tylko odpowiednią wiedzę i umiejętności, ale też kompetencje społeczne. Dlatego należy dbać o to, by spełnić wymagania ich
dotyczące z sylabusa.
∙ Termin wpisów będzie ogłoszony podczas egzaminu. Prawdopodobnie będzie to około tydzień
później.
∙ Wyniki będą ogłoszone, jak tylko egzamin będzie poprawiony (zapewne 4-5 dni po egzaminie).
Ze względu na prawa ochrony dóbr osobowych, nie mogę ich podawać po nazwiskach, a numery
indeksu mi się zawsze mylą, dlatego każdy, kto chce mieć wyniki wcześniej powinien wymyślić
jakiś „pseudonim artystyczny”, który zapisze obok imienia i nazwiska (czyli jakieś słowo, w
miarę krótkie i cenzuralne). Według tych pseudonimów będą podane wyniki.
Poniżej prezentuję sześć przykładowych zestawów egzaminacyjnych. Nie wyczerpują one wszystkich typów zadań, które mogą się pojawić na egzaminie, ale wydaje się, że prezentują dobry przegląd
materiału kursu i poziomu wiedzy, jakiego od Państwa oczekuję. Poziom trudności zadań odpowiada
poziomowi trudności egzaminu. Oczywiście, są zadania łatwiejsze i trudniejsze i poszczególne zestawy
również nie prezentują tego samego poziomu trudności. W tym kontekście warto pamiętać, że pierwszy termin egzaminu będzie łatwiejszy od drugiego.
Zadanie z *, które pojawia się w jednym z zestawów niekoniecznie będzie należeć do materiału
egzaminu. Ustalimy to jeszcze w gronie prowadzących zajęcia i poinformuję o tym przed egzaminem.
Dobrej zabawy!
Grzesiek Kosiorowski
Zestaw I
1. Obliczyć granice funkcji:
1−𝑥2 2𝑥
a) lim+ tg 𝑥 ln 𝑥, b) lim ( 3−𝑥−𝑥
.
2)
𝑥→0
𝑥→−∞
2
𝑥
2. Obliczyć pole powierzchni figury ograniczonej krzywymi: 𝑥 = 1, 𝑥 = 𝑒, 𝑦 = −𝑥2 ln 𝑥, 𝑦 = √1+𝑥
3.
3 2
3
2
2
3. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑧 𝑦 + 𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 ∑
− 3𝑥 − 3𝑧 + 2.
3𝑛 𝑛
4*. Obliczyć zwartą postać wzoru funkcji zadanej szeregiem potęgowym ∞
𝑛=1 𝑛 𝑥 . Wyznaczyć
otwarty przedział zbieżności tego szeregu.
5. Sformułować wybrane twierdzenie o funkcjach ciągłych (twierdzenie Weierstrassa lub własność
Darboux) i wyjaśnić związek tego twierdzenia z jego zastosowaniem w ekonomii (istnienie równowagi
podaży i popytu lub paradoks Laffera). Podać przykład zjawiska ekonomicznego opisywanego przez
funkcję nieciągłą.
3
Zestaw II
1. Obliczyć
√
√ granice funkcji:
1
a) lim 3𝑥2 + 2𝑥 − 5 − 𝑥 3, b) lim+ (tg 𝑥2 ) ln 𝑥 .
𝑥→∞
𝑥→0
2. a) W pewnej firmie zależność przychodu od nakładów pracy 𝑥 i nakładów kapitału 𝑦 wyraża
się wzorem: 𝑅(𝑥, 𝑦) = 22𝑥+𝑦 (𝑥2 + 2𝑦 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 + 3). Dla 𝑥 = 3 i 𝑦 = 4 obliczyć i zinterpretować
wartość przychodu krańcowego ze względu na nakłady pracy i elastyczność przychodu ze względu na
nakłady kapitału.
√
b) Za pomocą różniczki odpowiednio dobranej funkcji wyznaczyć przybliżoną wartość liczby 3 16, 012.
3. Obliczyć całki:
∫ 127
∫ −1
6
a) 0 log2 (1 + 𝑥)𝑑𝑥, b) −∞ 𝑥13 𝑒 𝑥2 𝑑𝑥.
4. Wyznaczyć ekstrema funkcji 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦 2 − 8𝑦 + 3 przy warunku 4𝑥2 + 𝑦 2 = 36.
5. Sformułować twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego.
Opisać model ekonomiczny wykorzystujący równania różniczkowe (tj. podać równanie różniczkowe,
na którym model się opiera, wyjaśnić, co oznaczają użyte oznaczenia i wyjaśnić, dlaczego właśnie taka
zależność miałaby opisywać dany proces ekonomiczny). Wskazówka: model oczekiwań inflacyjnych
Friedmana, model wzrostu Domara.
Zestaw III
1. Zbadać istnienie i podać równania asymptot poniższych funkcji na końcach ich przedziałów
określoności:
𝑓 (𝑥) =
𝑥2 − 4𝑥 + 1
; 𝑔(𝑥) = (𝜋 − 2 arctg 𝑥) ln 𝑥.
𝑥−1
√
2. Obliczyć pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywymi: 𝑦 = 4𝑥, 𝑦 = −𝑥 + 3 i 𝑦 = 𝑥 − 3
(naszkicować te krzywe i ten obszar - wystarczy przybliżony rysunek, ale punkty przecięcia krzywych
należy osobno obliczyć).
3. Użyteczność, jaką czerpie konsument z koszyka dwóch towarów (𝑥, 𝑦) jest dana wzorem
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦. Wiemy, że jednostka towaru 𝑥 kosztuje 4 jednostki pieniężne, a jednostka towaru
𝑦 kosztuje 1 jednostkę pieniężną. Załóżmy, że konsument ma do wydania na te towary 12 jednostek
pieniężnych. Ile jednostek pierwszego, a ile drugiego towaru powinien kupić, by zmaksymalizować
użyteczność koszyka tych dóbr?
𝑑𝑦
4. Rozwiązać równanie różniczkowe 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑦 ln 𝑥𝑦 z warunkiem początkowym 𝑦(1) = 1.
5. Sformułować definicję minimum i maksimum lokalnego funkcji jednej zmiennej oraz twierdzenie
o warunku koniecznym istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej. Podać przykłady funkcji (lub
wyjaśnić, dlaczego takie funkcje nie istnieją), które spełniają następujące zestawy warunków:
a) 𝐷𝑓 = ℝ, 𝑓 jest różniczkowalna w swojej dziedzinie, 𝑓 ′ (1) = 0 i funkcja 𝑓 nie posiada ekstremum
dla argumentu 𝑥 = 1;
b) 𝐷𝑔 = ℝ, 𝑔 jest ciągła w swojej dziedzinie, 𝑔 ma minimum w 1 i nie jest prawdą, że pochodna 𝑔
w punkcie 1 jest równa 0;
c) 𝐷ℎ = ℝ, ℎ jest różniczkowalna w swojej dziedzinie, ℎ′ (1) = 1 i funkcja ℎ posiada ekstremum
dla argumentu 𝑥 = 1.
4
Zestaw IV
3
1. Dla funkcji 𝑓 (𝑥) = 𝑥2𝑥
2 −4 podać dziedzinę, przedziały w których funkcja jest jest rosnąca,
malejąca, wyznaczyć ekstrema. Zbadać istnienie asymptot na końcach przedziałów określoności,
podać równania tych asymptot.
2. Obliczyć wartość nadwyżki konsumentów danego dobra, jeśli funkcja popytu od ceny tego dobra
wyraża się wzorem 𝑄(𝑝) = 5𝑒1−2𝑥 , a w warunkach konkurencji cena ustala się na poziomie 𝑝 = 3.
3.
a) Funkcja 𝑦 : ℝ ⊃ 𝐷𝑦 → ℝ dla każdego argumentu 𝑥 spełnia warunek
𝑥3 + 4(𝑦(𝑥))3 + 𝑥(𝑦(𝑥))2 = 2. Dodatkowo, 𝑦(−1) = 1. Udowodnić, że 𝑦 jest różniczkowalna w
otoczeniu −1 i obliczyć 𝑦 ′ (−1).
√
√
b) Za pomocą lematu Eulera sprawdzić, czy funkcja 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥3 + √𝑥𝑧𝑦 − 2𝑦 𝑧 jest jednorodna.
Jeśli tak, to jakiego stopnia?
4. Wyznaczyć otwarte przedziały zbieżności szeregów potęgowych:
∞
∑
𝑒𝑛
𝑛=0
𝑛!
𝑛
𝑥 ,
∞
∑
3𝑛5 + 𝑛2 + 1
𝑛=0
2𝑛 + 3𝑛
(2𝑥 − 1)𝑛 .
5. Sformułować definicje funkcji ciągłej w punkcie 𝑥0 oraz pochodnej funkcji w punkcie 𝑥0 , oraz
podać przykłady funkcji (lub wyjaśnienia, że takie funkcje nie istnieją), które spełniają następujące
pary warunków:
a) funkcja ciągła w 0 i posiadająca pierwszą pochodną w 0;
b) funkcja ciągła w 0, która nie posiada pierwszej pochodnej w 0;
c) funkcja nieciągła w 0 i posiadająca pierwszą pochodną w 0;
d) funkcja nieciągła w 0, która nie posiada pierwszej pochodnej w 0.
Zestaw V
−𝑥−1
1. Dla funkcji 𝑓 (𝑥) = 𝑒𝑥2 +𝑥 podać dziedzinę, przedziały, w których funkcja jest rosnąca, malejąca,
wklęsła, wypukła, wyznaczyć ekstrema i punkty przegięcia. Zbadać istnienie asymptot na końcach
przedziałów określoności, podać równania tych asymptot.
2. Obliczyć
całki: ∫
∫
a) arctg 𝑥 𝑑𝑥 b) 𝑥 cos(1 − 2𝑥2 ) 𝑑𝑥.
3. Konsument
przy wydatkach na koszyki towarów (𝑥, 𝑦) kieruje się funkcją użyteczności
√
√
3
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 4 𝑦 (zawartość koszyka w tym zadaniu mierzona jest wydatkami na każdy typ
towaru w koszyku). Obecnie dysponuje koszykiem (𝑥0 , 𝑦0 ) = (100, 125).
a) Sprawdzić, czy funkcja użyteczności 𝑢 spełnia prawo Gossena,
b) Wyznaczyć krańcową stopę substytucji towaru 𝑦 przez towar 𝑥 i jej elastyczność w punkcie
(𝑥0 , 𝑦0 ). Podać słowną interpretację wyników.
c) W jakich proporcjach konsument powinien wydać dodatkową jednostkę dochodu na towary 𝑥 i
𝑦, by uzyskać maksymalny wzrost użyteczności?
2
𝑑𝑦
− 𝑥𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 z warunkiem początkowym 𝑦(0) = 3.
4. Rozwiązać równanie różniczkowe 𝑑𝑥
5. Sformułować lemat Eulera o funkcjach jednorodnych. Wyjaśnić, jak z lematu Eulera wynika
twierdzenie Clarka-Wicksella: Jeśli produkcja charakteryzuje się stałą zależnością od skali, czyli
funkcja produkcji 𝐹 (𝐾, 𝐿) jest jednorodna stopnia jeden, to produkcja równoważy zapotrzebowanie
na jej czynniki wtedy i tylko wtedy gdy cena każdego z czynników produkcji jest równa produktywności krańcowej tego czynnika.
5
Zestaw VI
+ 𝑥 + ln(3 − 2𝑥) + 1 podać dziedzinę, przedziały, w których funkcja jest
1. Dla funkcji 𝑓 (𝑥) =
rosnąca, malejąca, wklęsła, wypukła, wyznaczyć ekstrema i punkty przegięcia.
2. Obliczyć całkę podwójną z funkcji 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦1 po obszarze ograniczonym krzywymi
1 2
𝑥
2
2
𝑥 = 𝑦 2 , 𝑥 = 𝑦2 + 1.
3. Wyznaczyć funkcję popytu od ceny 𝑄(𝑝) wiedząc, że cenowa elastyczność popytu wyraża się
𝑝
wzorem 𝐸𝑝 𝑄 = 50−𝑝
oraz, że przy cenie 10 jednostek popyt wynosi 100 jednostek.
4. Dla funkcji 𝑓 (𝑥) = ln 𝑥 zapisać wzór Taylora w punkcie 𝑥0 = 1 z resztą Lagrange’a rzędu 4.
Wykorzystać ten wzór do obliczenia przybliżonej wartości ln 1, 02.
5. Wykazać, że symbole [∞ − ∞], [ 00 ] i [1∞ ] są nieoznaczone, czyli podać przykłady funkcji 𝑓1 , 𝑓2 ,
𝑓3 i 𝑔1 , 𝑔2 , 𝑔3 oraz 𝑥0 ∈ ℝ (w otoczeniu 𝑥0 przykładowe funkcje nie powinny być stałe), takich, że:
a) lim 𝑓1 (𝑥) = lim 𝑓2 (𝑥) = lim 𝑓3 (𝑥) = ∞ i lim 𝑔1 (𝑥) = lim 𝑔2 (𝑥) = lim 𝑔3 (𝑥) = ∞ oraz
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
lim 𝑓1 (𝑥) − 𝑔1 (𝑥) = +∞, lim 𝑓2 (𝑥) − 𝑔2 (𝑥) = 0 i lim 𝑓3 (𝑥) − 𝑔3 (𝑥) = 𝑎 ∈ (0, ∞).
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
b) lim 𝑓1 (𝑥) = lim 𝑓2 (𝑥) = lim 𝑓3 (𝑥) = 0 i lim 𝑔1 (𝑥) = lim 𝑔2 (𝑥) = lim 𝑔3 (𝑥) = 0 oraz
𝑥→𝑥0
(𝑥)
lim 𝑓𝑔11 (𝑥)
𝑥→𝑥0
= +∞,
𝑥→𝑥0
(𝑥)
lim 𝑓𝑔22 (𝑥)
𝑥→𝑥
𝑥→𝑥0
=0i
0
(𝑥)
lim 𝑓𝑔33 (𝑥)
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
= 𝑎 ∈ (0, ∞).
c) lim 𝑓1 (𝑥) = lim 𝑓2 (𝑥) = lim 𝑓3 (𝑥) = 1 i lim 𝑔1 (𝑥) = lim 𝑔2 (𝑥) = lim 𝑔3 (𝑥) = ∞ oraz
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
𝑔1 (𝑥)
lim 𝑓1 (𝑥)
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
𝑔2 (𝑥)
= +∞, lim 𝑓2 (𝑥)
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
𝑔3 (𝑥)
= 0 i lim 𝑓3 (𝑥)
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
= 𝑎 ∈ (0, ∞).
𝑥→𝑥0