1. Całka nieoznaczona z funkcji jednej zmiennej

1
1. Całka nieoznaczona z funkcji jednej zmiennej
Rozważmy funkcje˛ f (x) = 2x, x ∈ R. Postawmy pytanie:
Jakiej funkcji F pochodna˛ jest ta, dana funkcja f ?
Powiemy, że szukamy funkcji pierwotnej dla danej funkcji f. Oczywiście w
naszym przypadku funkcja˛ pierwotna˛ jest funkcja F (x) = x2 , ponieważ F ′ (x) =
′
(x2 ) = 2x = f (x) .
Jednak nie tylko ta funkcja jest funkcja˛ pierwotna˛ dla funkcji f (x) = 2x. Zauważmy bowiem, że zachodza˛ równości:
′
′
2
′
2
′
2
1
2
x +
= 2x,
x − 1 = 2x, x + 1 = 2x, x + 2 = 2x,
2
wiec
˛ każda z funkcji: F1 (x) = x2 − 1, F2 (x) = x2 , F3 (x) = x2 + 12 , F4 (x) = x2 + 1,
F5 (x) = 2 jest także funkcja˛ pierwotna˛ dla funkcji f. Wykresy tych funkcji (a także
wyjściowej funkcji f ) przedstawiaja˛ poniższe rysunki.
3
4
2
3
1
y
2
-1.5 -1-0.50 00.5 1 1.5
x
-1
1
-2
-1.5 -1-0.5 0 00.5 1 1.5
x
-1
-3
y = 2x
y = Fk (x) , k = 1, 2, 3, 4, 5
′
Ogólnie, jest: (x2 + C) = 2x dla wszystkich argumentów x ∈ R i dla dowolnie
wybranej stałej C ∈ R, zatem każda funkcja postaci G (x) = F (x) + C = x2 + C
jest funkcja˛ pierwotna˛ dla funkcji f (x) = 2x. Wniosek: funkcja f (x) = 2x wyznacza
nieskończona˛ rodzine˛ funkcji pierwotnych postaci:
G (x) = x2 + C,
gdzie C ∈ R jest dowolna˛ stała.˛ Każda˛ taka funkcje˛ można otrzymać z każdej innej
poprzez dodanie stosownie dobranej liczby (mówimy, że takie funkcje różnia˛ sie˛ o
stała),
˛ a ich wykres można otrzymać z wykresu jednej wybranej funkcji (np. funkcji
F (x) = x2 ) przez przesuniecie
˛
pionowe.
2
Rodzin˛e funkcji pierwotnych, o której mowa,
nazywamy całka˛ nieoznaczona˛ z
funkcji f (x) = 2x i oznaczamy symbolem: 2xdx. Piszemy:
2xdx = x2 + C,
rozumiejac
˛ przez to, że C po prawej stronie znaku równości może oznaczać dowolna˛
stała,˛ tj. dowolnie wybrana˛ liczbe˛ rzeczywista.˛
W dalszym ciagu
˛ symbolem P (R) bedziemy
˛
oznaczać rodzine˛ wszystkich przedziałów P ⊂ R o niepustym wnetrzu.
˛
DEFINICJA 1.1: Dana jest funkcja f : P → R, x → f (x) , okre´slona w
przedziale P ∈ P (R) . Funkcja˛ pierwotna˛ funkcji f w przedziale P nazywamy
każda˛ ciagł
˛ a˛ funkcje˛ F : P → R, x → F (x) taka,˛ że
F ′ (x) = f (x)
(1.1)
dla każdego x ∈ Int (P ) .
TWIERDZENIE 1.1. Dana jest funkcja f : P → R, gdzie P ∈ P (R) . Jeżeli
istnieje funkcja F : P → R pierwotna dla funkcji f w przedziale P, to dla każdej
liczby C ∈ R funkcja FC : P → R, okre´slona wzorem:
FC (x) = F (x) + C
(x ∈ P )
(1.2)
jest funkcja˛ pierwotna˛ funkcji f w przedziale P.
TWIERDZENIE 1.2. Dana jest funkcja f : P → R, gdzie P ∈ P (R) . Jeżeli
istnieje funkcja F : P → R pierwotna dla funkcji f w przedziale P, to dla każdej
funkcji G : P → R, pierwotnej dla funkcji f w tym przedziale, istnieje liczba C ∈ R
taka, że
G (x) = F (x) + C
(x ∈ P ) .
(1.3)
DEFINICJA 1.2: Niech F bedzie
˛
funkcja˛ pierwotna˛ funkcji f w przedziale
P ∈ P (R) . Całka˛ nieoznaczona˛ z funkcji f w przedziale P nazywamy zbiór
{x → F (x) + C : C ∈ R} wszystkich
funkcji pierwotnych funkcji f. Całke˛ nieoznac
zona˛ oznaczamy symbolem f (x) dx. Piszemy:
f (x) dx = F (x) + C.
(1.4)
TWIERDZENIE 1.3. Dana jest funkcja ciagła
˛
f : P → R, gdzie P ∈ P (R) .
Istnieje wtedy funkcja F : P → R pierwotna dla funkcji f w przedziale P.
3
Tabela pochodnych i całek funkcji elementarnych:
pochodne
1.
(C)′ = 0 (C - stała)
2.
(x)′ = 1
′
1
1
=− 2
x
x
√ ′
1
( x) = √
2 x
3.
4.
5.
(xa )′ = axa−1
6.
(ex)′ = ex
7.
(ax)′ = ax ln a (a > 0)
8.
(ln x)′ =
9.
(loga x)′ =
1
x
1
(a > 0, a = 1)
x ln a
10. (sin x)′ = cos x
11. (cos x)′ = − sin x
1
cos2 x
1
(ctgx)′ = − 2
sin x
1
(arcsin x)′ = √
1 − x2
1
(arccos x)′ = − √
1 − x2
1
(arctgx)′ =
1 + x2
1
(arcctgx)′ = −
1 + x2
12. (tgx)′ =
13.
14.
15.
16.
17.
całki nieoznaczone
0dx = C
dx = x + C
dx
1
=
−
+C
x2
x
√
dx
√ =2 x+C
x
xa+1
xa dx =
+ C (a ∈ R, a = −1)
a
+
1
ex dx = ex + C
ax
ax dx =
+ C (a > 0, a = 1)
ln
a
dx
= ln |x| + C
x
dx
= ln a · loga |x| + C (a > 0, a = 1)
x
cos xdx = sin x + C
sin xdx = − cos x + C
dx
= tgx + C
2
cos x
dx
= −ctgx + C
2
sin
x
dx
√
= arcsin x + C
1 − x2
dx
√
= − arccos x + C
1 − x2
dx
= arctgx + C
2
1
+
x
dx
= −arcctgx + C
1 + x2
4
FAKT 1.1: Jeżeli funkcje f i g sa˛ ciagłe
˛ w przedziale P ∈ P (R) , to zachodza˛
równo´sci:
[f (x) + g (x)] dx = f (x) dx + g (x) dx,
[f (x) − g (x)] dx = f (x) dx − g (x) dx,
af (x) dx = a f (x) dx,
gdzie a ∈ R jest dowolna˛ stała.˛
FAKT 1.2 (całkowanie ”przez cze˛´sci’): Jeżeli funkcje f i g sa˛ ciagłe
˛ w przedziale
P ∈ P (R) i maja˛ ciagłe
˛ pochodne w tym przedziale (w ewentualnych punktach końcowych przedziału P przez pochodna˛ rozumiemy odpowiednia˛ pochodna˛ jednostronna),
˛
to
′
f (x) g (x) dx = f (x) g (x) − f ′ (x) g (x) dx.
(1.5)
FAKT 1.3 (całkowanie ”przez podstawienie” lub ”zamiane˛ zmiennej”): Jeżeli
funkcje t → f (t) oraz x → g (x) sa˛ ciagłe,
˛
a funkcja g ma ciagł
˛ a˛ pochodna,˛ to
′
f (g (x)) g (x) dx = f (t) dt,
(1.6)
gdzie t = g (x) .
Przykład 1.1. Fakt 1.1 oraz tabela całek daje możliwość przeprowadzenia takiego
oto rachunku:
2
x3
2
x + 3 sin x dx = x dx + 3 sin xdx =
− 3 cos x + C.
3
Przykład 1.2. Obliczymy całk˛e x cos xdx całkujac
˛ przez cześci.
˛
Mamy:
f (x) = x,
g (x) = sin x,
′
f (x) = 1,
g ′ (x) = cos x,
x cos xdx = x sin x + sin xdx = x sin x − cos x + C.
5
Przykład 1.3. Całk˛e
podstawienie
1
xe dx =
2
x2
2
xex dx obliczymy stosujac
˛ zamiane˛ zmiennej. Robimy
2
ex
t = g (x) = x2 ,
dt = g ′ (x) dx = 2xdx,
1
1
1 2
· 2xdx =
et dt = et + C = ex + C.
2
2
2
Przykład 1.4. Funkcja f : (−1, 1) → R,

 −1, gdy
0, gdy
f (x) =

1, gdy
gdzie
− 1 < x < 0,
x = 0,
0<x<1
(nieciagła
˛
w punkcie x = 0) nie posiada funkcji pierwotnej w przedziale (−1, 1) .
Przykład 1.5. Funkcja f : (−1, 1) → R, gdzie
2x cos x1 + sin x1 , gdy x = 0,
f (x) =
0, gdy x = 0
(nieciagła
˛
w punkcie x = 0) posiada funkcje˛ pierwotna˛ w przedziale (−1, 1) i jest nia˛
funkcja F : (−1, 1) → R, gdzie
2
x cos x1 , gdy x = 0,
F (x) =
0, gdy x = 0.
6
2. Zaawansowane metody obliczania całek
(W przygotowaniu)
7
3. Całka oznaczona
Definicja 3.1. Dana jest funkcja ciagła
˛ f : P → R (gdzie P ⊂ R jest przedziałem
o niepustym wnetrzu).
˛
Niech a, b ∈ P. Całka˛ oznaczona˛ z funkcji f w granicach
od a do b nazywamy liczbe˛
b
f (x) dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a) ,
a
gdzie F jest dowolnie wybrana˛ funkcja˛ pierwotna˛ funkcji f w przedziale P.
TWIERDZENIE 3.1. Dane sa˛ funkcje ciagłe
˛
f, g : P → R (gdzie P ⊂ R
jest przedziałem o niepustym wnetrzu).
˛
Niech a, b, c ∈ P i niech k ∈ R. Zachodza˛
równo´sci:
(a)
b
[f (x) ± g (x)] dx =
b
kf (x) dx = k
b
f (x) dx =
a
(b)
a
(c)
b
b
a
f (x) dx ±
b
g (x) dx.
a
f (x) dx.
a
a
c
f (x) dx +
a
b
f (x) dx.
c
TWIERDZENIE 3.2 (o całkowaniu przez cze˛´sci). Dane sa˛ funkcje ciagłe
˛ f, g :
P → R (gdzie P ⊂ R jest przedziałem o niepustym wnetrzu).
˛
Niech a, b ∈ P. Jeżeli
funkcje f, g sa˛ klasy C 1 w przedziale P, to zachodzi równo´sć:
b
′
f (x) g (x) dx = [f (x) g
(x)]ba
−
a
b
f ′ (x) g (x) dx.
a
TWIERDZENIE 3.3 (o zamianie zmiennej). Dana jest funkcja ciagła
˛ g:P →
1
R (gdzie P ⊂ R jest przedziałem o niepustym wnetrzu),
˛
klasy C w przedziale P.
Niech a, b ∈ P i niech f : g (P ) → R bedzie
˛
funkcja˛ ciagł
˛ a.˛ Zachodzi równo´sć:
b
a
′
f (g (x)) g (x) dx =
β
α
f (t) dt,
8
gdzie α = g (a) i β = g (b) .
TWIERDZENIE 3.4. Niech a, b ∈ R, a < b, i niech f, g : [a, b] → R bed
˛ a˛
funkcjami ciagłymi.
˛
(a) Jeżeli f (x) ≥ 0 dla wszystkich x ∈ [a, b] , to
b
b
a
f (x) dx ≥ 0.
(b) Jeżeli f (x) ≥ 0 dla wszystkich x ∈ [a, b] i istnieje taki punkt x0 , że f (x0 ) , to
f (x) dx > 0.
a
(c) Jeżeli f (x) ≤ g (x) dla wszystkich x ∈ [a, b] , to
b
a
f (x) dx ≤
b
g (x) dx.
a
b
b
(d) Zachodzi nierówno´sć: f (x) dx ≤ |f (x)| dx.
a
a
TWIERDZENIE 3.5. Niech a, b ∈ R, a < b, i niech f : [a, b] → R bedzie
˛
funkcja˛ ciagł
˛ a.˛ Istnieje wtedy taka liczba c, że a < c < b oraz zachodzi równo´sć:
b
f (x) dx = c (b − a) .
a
TWIERDZENIE 3.6. Niech a, b ∈ R, a < b, i niech f : [a, b] → R bedzie
˛
funkcja˛ ciagł
˛ a.˛ Dla każdego x ∈ [a, b] niech
F (x) =
x
f (t) dt.
a
Wtedy F ′ (x) = f (x) dla każdego x ∈ [a, b] (na końcach przedziału pochodna˛
interpretujemy jako odpowiednia˛ pochodna˛ jednostronna).
˛
9
ZASTOSOWANIA GEOMETRYCZNE CAŁEK
TWIERDZENIE A. Dane sa˛ funkcje f, g : a, b → R całkowalne w sensie Riemanna i takie, że nierówno´sć: f (x) ≥ g (x) zachodzi dla wszystkich x ∈ a, b . Wtedy
pole P zbioru
(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g (x) ≤ y ≤ f (x)
dane jest wzorem:
P = (R)
[f (x) − g (x)] dx.
a,b
W szczególno´sci, gdy funkcje f, g sa˛ ciagłe,
˛
to pole P dane jest wzorem:
P =
b
[f (x) − g (x)] dx.
a
TWIERDZENIE B. Dana jest funkcja f : a, b → R klasy C 1 w przedziale
a, b . Wtedy długo´sć L krzywej
(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, y = f (x)
dana jest wzorem:
L=
b 1 + (f ′ (x))2 dx.
a
TWIERDZENIE C. Dane sa˛ funkcje x, y : α, β → R klasy C 1 w przedziale
α, β . Wtedy długo´sć L krzywej
(x, y) ∈ R2 : x = x (t) , y = y (t) , α ≤ t ≤ β
dana jest wzorem:
β L=
(x′ (t))2 + (y ′ (t))2 dt.
α
TWIERDZENIE D. Dana jest funkcja f : a, b → R klasy C 1 w przedziale
a, b i taka, że nierówno´s´c: f (x) ≥ 0 zachodzi dla wszystkich x ∈ a, b . Wtedy
pole S powierzchni otrzymanej przez obrót krzywej o równaniu y = f (x) , a ≤ x ≤ b
dookoła osi OX dane jest wzorem:
S = 2π
b
a
f (x) 1 + (f ′ (x))2 dx.
10
TWIERDZENIE E. Dana jest funkcja f : a, b → R klasy C 1 w przedziale
a, b i taka, że nierówno´s´c: f (x) ≥ 0 zachodzi dla wszystkich x ∈ a, b . Wtedy
objeto
˛ ´s´c V bryły otrzymanej przez obrót zbioru
(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)
dookoła osi OX dana jest wzorem:
V =π
b
a
(f (x))2 dx.