Moim zdaniem ciąg jest zbieżny punktowo, ale nie

Moim zdaniem ciąg jest zbieżny punktowo, ale nie jednostajnie do minus pi/2
Zbieżność punktowa: Ma być spełniony warunek: Dla każdego x ∈ R, dla każdego ε > 0 istnieje N,
że dla każdego naturalnego n > N zachodzi warunek |fn (x) − f (x)| < ε, co zapisujemy:
∀
∀ ∃
∀
x∈R ε>0 N n>N
|fn (x) − f (x)| < ε
(1)
Funkcja f(x) jest granicą ciągu funkcyjnego. Twierdzę, że:
f (x) = −
π
2
(2)
Rozumuję tak: dla dowolnego x, gdy n rośnie, argument arctg dąży do −∞, arctg(−∞) = −π/2.
Spróbuję pokazać, że zakładając taką właśnie granicę dla każdego ε znajdę odpowiednie N.
Dla funkcji z zadania i sugerowanej granicy mamy:
arctg(x − n) − − π =
2 arctg(x − n) + π < ε
2
(3)
Arctg jest niemniejsze od −π/2 więc mogę pozbyć się wartości bezwzględnej i przenieść π/2 na prawą
stroną. Następnie biorę tangens z obu stron:
π
tg[arctg(x − n)] < tg ε −
2
= − ctg ε
(4)
Tangens jest funkcją rosnącą więc bez zmiany kierunku nierówności:
x − n < ctg ε
zatem
n > x + ctg ε
(5)
Przyjmując N = [x+ctg ε], gdzie [...] to część całkowita, spełnia warunki zbieżności (1) dla dowolnego x
i dowolnego ε.
Zauważ, że granica inna niż −π/2 nie pozwoli na przeprowadzenie tego dowodu.
Zbieżność jednostajna: Ma być spełniony warunek:
∀ ∃
∀
∀
ε>0 N x∈R n>N
|fn (x) − f (x)| < ε
(6)
Jest to co innego, niż warunek (1). Warunek (6) mówi, że dla dowolnie małego ε, począwszy od
pewnego N, dla każdego, dowolnego x funkcja nie oddali się od swojej granicy na więcej niż ε.
A to nieprawda. Dla dowolnego N biorę x = 2N i wtedy arctg(x-N) ma skończoną wartość, większą
od jakiegoś dowolnie małego ε.
Wniosek: Ten ciąg funkcyjny jest zbieżny punktowo, ale nie jednostajnie.
Amen. Pozdrowienia - Antek