Teoria miary

Teoria miary
WPPT/Matematyka, rok II
Lista uzupełniająca
(do samodzielnego rozwiązania)
1. Pokazać, że:
(a) x ∈ lim An ⇐⇒ x ∈ An dla nieskończenie wielu n,
(b) x ∈ lim An ⇐⇒ x ∈ An dla prawie wszystkich n.
Wywnioskować stąd, że lim An ⊂ lim An .
2. Pokazać, że:
(a) (lim An )c = lim(Acn ),
(lim An )c = lim(Acn )
(b) lim(An ∩ Bn ) = lim An ∩ lim Bn ,
lim(An ∩ Bn ) ⊂ lim An ∩ lim Bn
(c) lim(An ∪ Bn ) = lim An ∪ lim Bn ,
lim An ∪ lim Bn ⊂ lim(An ∪ Bn )
(d) A M lim Bn ⊂ lim(A M Bn ),
A M lim Bn ⊂ lim(A M Bn )
(M oznacza różnicę symetryczną).
3. Niech
1A oznacza funkcję charakterystyczną zbioru A. Pokazać, że:
1lim An = lim 1An
1lim An = lim 1An .
i
Jeżeli dolna granica ciągu zbiorów jest równa górnej granicy tego ciągu, to definiuje
def
się granicę ciągu (An )n∈N jako lim An = lim An = lim An .
n→∞
n→∞
n→∞
4. Wykazać, że monotoniczny (wstępujący lub zstępujący) ciąg (An ) jest zbieżny i opisać
jego granicę. Podobnie dla ciągu zbiorów parami rozłącznych.
5. Wykazać, że: lim An = A
n→∞
⇐⇒ ∀x lim
n→∞
1An (x) = 1A (x).
6. Dla danego x definiujemy Kx = {n ∈ N : x ∈ An }. Udowodnić, że ciąg (An )n∈N jest
zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x zbiór Kx jest skończony lub N \ Kx
jest skończony.
7. Następujące warunki są równoważne:
(a) granica (An )n∈N istnieje i wynosi A,
(b) granica (An M A)n∈N istnieje i jest zbiorem pustym,
(c) lim(An M A) = ∅.
8. Udowodnić, że podciąg (Ank )k∈N ciągu zbieżnego (An )n∈N jest zbieżny i to do tej
samej granicy.
9. Pokazać, że
T∞
n=1 An
= A1 \
S∞
n=2 (A1
\ An ).
10. Wykazać, że ciąg (An )n∈N jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu
T
par (mi , ni )i∈N spełniającego limi mi = limi ni = ∞ zachodzi i (Ani 4Ami ) = ∅.
11. Dla podanych A opisać σ-ciało generowane przez A:
(a) X = N,
A = {{n} : n ∈ N}
(b) X = R,
A = {{x} : x ∈ R}
(c) X = R,
A = {E ⊂ R : R \ E - przeliczalny}
(d) X = N,
A = {E ⊂ N : N \ E - skończony}.
12. Wykazać, że następujące rodziny generują σ-ciało zbiorów borelowskich na prostej:
(a) przedziały otwarte o obu końcach wymiernych,
(b) przedziały obustronnie domknięte,
(c) przedziały postaci [a, b), gdzie a ∈ Z, b ∈ R.
13. Niech µ będzie miarą nieujemną na σ-pierścieniu S podzbiorów przestrzeni X. Niech
A, An ∈ S. Wykazać, że:
(a) Jeśli
P∞
n=1 µ(An )
< ∞, to µ(lim An ) = 0.
(b) Jeśli An % A (tzn. A1 ⊂ A2 ⊂ . . . i A =
S∞
(c) Jeśli An & A (tzn. A1 ⊃ A2 ⊃ . . . i A
pewnego n0 , to µ(An ) & µ(A).
n=1 An ), to µ(An )
T
= ∞
n=1 An ) oraz
% µ(A).
µ(An0 ) < ∞ dla
(d) Zachodzą nierówności:
µ(lim An ) ¬ lim µ(An ) ¬ lim µ(An ).
(e) Jeśli µ( ∞
n=1 An ) < ∞, to również
lim µ(An ) ¬ µ(lim An ).
Wykazać na przykładzie istotność tego założenia.
S
(f) Pokazać na przykładach, że nierówności w punktach (d) oraz (e) mogą być ostre.
(g) Jeśli µ(
S∞
n=1 An )
< ∞ oraz lim An = A, to
n→∞
limn→∞ µ(An ) = µ(A).
~
Czy zachodzi wówczas lim µ(An M A) = 0? Jaki jest związek tej równości z ~?
n→∞