Modelowanie niezawodności prostych struktur sprzętowych

LAB 4
Ćwiczenie laboratoryjne nr 4
Modelowanie niezawodności prostych struktur sprzętowych
W dwiczeniu tym przedstawione zostaną proste struktury sprzętowe oraz sposób obliczania ich
niezawodności przy założeniu, że funkcja niezawodności bazuje na rozkładzie wykładniczym.
Struktura szeregowa
Najprostszą i prawdopodobnie najczęściej spotykaną strukturą w matematycznym modelowaniu
niezawodności jest konfiguracja szeregowa. W strukturze tej poprawne działanie całego systemu
zależne jest od poprawnego działania wszystkich elementów tego systemu. Przykład struktury
szeregowej, przedstawionej za pomocą postaci blokowej, widnieje na rysunku 1. W celu uproszczenia
modelu probabilistycznego takiego systemu zakłada się, że uszkodzenie każdego z elementów tego
systemu jest statystycznie niezależne od działania lub uszkodzenia innych elementów. Dzięki takiemu
podejściu nie trzeba stosowad skomplikowanych obliczeo dla prawdopodobieostw warunkowych.
Takie podejście jest ogólnie stosowane w praktyce.
R1(t)
R2(t)
R3(t)
Rn(t)
Rys. 1. Struktura szeregowa
Przy dokonanym założeniu, funkcja niezawodności przedstawionej struktury szeregowej ma postad:
𝑅𝑠 𝑡 = 𝑅1 𝑡 ∙ 𝑅2 𝑡 ∙ 𝑅3 𝑡 ∙ … ∙ 𝑅𝑛 𝑡 =
𝑛
𝑖=1 𝑅𝑖 (𝑡)
(1)
Ponieważ funkcja niezawodności bazowad ma na rozkładzie wykładniczym, zatem współczynnik λ,
będący intensywnością uszkodzeo, jest stały w czasie.
Stąd:
𝑅𝑠 𝑡 = 𝑒 −λ 1 t ∙ 𝑒 −λ 2 t ∙ 𝑒 −λ 3 t ∙ … ∙ 𝑒 −λ n t = 𝑒𝑥𝑝 −
𝑛
𝑖=1 λi t
= 𝑒𝑥𝑝 −λt
(2)
gdzie:
1
λ = λ1 + λ2 + λ3 + . . . +λn = θ
(3)
Intensywnośd uszkodzeo λ rozważanego systemu jest sumą intensywności uszkodzeo poszczególnych
1
elementów tego systemu, stąd średni czas żywotności systemu wynosi θ = λ .
Rozważmy system składający się z 400 elementów i mających przyporządkowane wykładnicze funkcje
gęstości rozkładu prawdopodobieostwa. Załóżmy także, że każdy z tych elementów ma niezawodnośd
równą 0,99 dla określonego przedziału czasu t. Wówczas niezawodnośd całego systemu dla
przedziału czasu t, na podstawie (1), wynosid będzie:
𝑅 𝑡 = 0,99400 = 0,018
co oznacza, że na 1000 takich systemów, 982 z nich przypuszczalnie zawiodą w przedziale czasu t.
1
NiMO | mgr inż. Tomasz Barnert |Zespół Technologii Sieciowych i Inżynierii Bezpieczeostwa
LAB 4
Ćwiczenie laboratoryjne nr 4
Struktura równoległa
Kolejną często spotykaną w praktyce konfigurację sprzętu jest struktura równoległa, przedstawiona
na rysunku 2. W strukturze tej, zakładając, że wszystkie elementy systemu działają w trybie „on-line”,
do uszkodzenia systemu dojdzie dopiero po uszkodzeniu wszystkich elementów tego systemu.
R1(t)
R2(t)
R3(t)
Rn(t)
Rys. 2. Struktura równoległa
Zakładając, że:
Q i = 1 − 𝑅𝑖 = 1 − 𝑒 −λ i t
(4)
jest prawdopodobieostwem uszkodzenia (zawodności) każdego z elementów systemu, zawodnośd
całego systemu może byd wyrażona wówczas jako:
𝑄𝑠 = 𝑄1 ∙ 𝑄2 ∙ 𝑄3 ∙ … ∙ 𝑄𝑛 =
𝑛
𝑖=1 𝑄𝑖
(5)
Na tej podstawie niezawodnośd systemu można wyznaczyd ze wzoru:
R s = 1 − 𝑄𝑠
(6)
Pamiętając, że R + Q = 1.
Rozważmy przykładowy system składający się z pięciu elementów połączonych równolegle, każdy z
niezawodnością wynoszącą 0,99. Wówczas dla pojedynczego elementu:
Q i = 1 − 𝑅𝑖 = 1 − 0,99 = 0,01
a dla całego systemu:
Q s = 0,01
5
= 10−10 = 0,0000000001
R s = 1 − 𝑄𝑠 = 0,9999999999
Porównując wyniki uzyskane dla struktur szeregowych i równoległych stwierdzid można
jednoznacznie, że większą niezawodnośd posiadają właśnie te drugie. Struktury takie często nazywa
się także redundantnymi. Umożliwiają uzyskanie bardzo dużej niezawodności systemu bądź
podsystemu, o wiele większej niż dla pojedynczych elementów je tworzących.
2
NiMO | mgr inż. Tomasz Barnert |Zespół Technologii Sieciowych i Inżynierii Bezpieczeostwa
LAB 4
Ćwiczenie laboratoryjne nr 4
Struktura mieszana
W praktyce spotyka się układy zbudowane z elementów połączonych szeregowo oraz równolegle.
Przykład pokazany na rysunku 3.
a
A
b
R1= 0,9
R2= 0,8
R3=0,8
R4=0,8
c
d
R5=0,9
R6=0,9
B
R7=0,7
Rys. 3. Struktura szeregowo-równoległa
Aby poznad niezawodnośd całego przedstawionego powyżej układu, należy zdekomponowad system
krok po kroku oraz posługiwad się odpowiednimi relacjami dla połączeo szeregowych oraz
równoległych.
Przykład rozwiązania:
𝑅𝑎𝑑 = 𝑅1 ∙ 𝑅2 = 0,9 ∙ 0,8 = 0,72
𝑅𝑏𝑑 = 𝑅3 ∙ 𝑅4 ∙ 𝑅5 = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,9 = 0,576
ponieważ Rad oraz Rbd są połączone równolegle, zatem:
𝑄𝑠1 = 𝑄𝑎𝑑 ∙ 𝑄𝑏𝑑 = 1 − 𝑅𝑎𝑑 ∙ 1 − 𝑅𝑏𝑑 = 1 − 0,72 ∙ 1 − 0,576 = 0,28 ∙ 0,424 = 0,119
Stąd niezawodnośd wynosi:
𝑅𝑠1 = 1 − 𝑄𝑠1 = 1 − 0,119 = 0,88
W tym momencie układ został zdekomponowany do postaci:
A
Rs1=0,88
R6=0,9
B
R7=0,7
Rys. 4. Przykładowa struktura po dekompozycji
3
NiMO | mgr inż. Tomasz Barnert |Zespół Technologii Sieciowych i Inżynierii Bezpieczeostwa
LAB 4
Ćwiczenie laboratoryjne nr 4
Licząc dalej otrzymamy:
𝑅𝑠2 = 𝑅𝑠1 ∙ 𝑅6 = 0,88 ∙ 0,9 = 0,792
𝑄𝑠2 = 1 − 𝑅𝑠2 = 1 − 0,792 = 0,208
𝑄7 = 1 − 𝑅7 = 1 − 0,7 = 0,3
Mając połączenie równoległe skorzystamy ze wzoru:
𝑄𝐴𝐵 = 𝑄𝑠2 ∙ 𝑄7 = 0,208 ∙ 0,3 = 0,06
Stąd całkowita niezawodnośd przykładowego systemu ma wartośd:
𝑅𝐴𝐵 = 1 − 𝑄𝐴𝐶 = 1 − 0,06 = 0,94
Zadania
1. Obliczyd niezawodnośd podanej struktury:
R1= 0,6
R2= 0,4
R3=0,9
R4=0,9
R5=0,8
R6=0,5
2. Obliczyd niezawodnośd podanej struktury:
R1= 0,9
R2= 0,8
R5=0,5
R6=0,9
R3= 0,8
R4= 0,9
R7=0,7
3. Obliczyd niezawodnośd struktury wskazanej przez prowadzącego zajęcia, przy założeniu
wartości λ oraz t dla każdej grupy.
4
NiMO | mgr inż. Tomasz Barnert |Zespół Technologii Sieciowych i Inżynierii Bezpieczeostwa