Geometria analityczna

Geometria analityczna
Iloczyn skalarny wektorów
Zadanie 1 Znaleźć długość sumy dwóch wektorów z których jeden ma długość 5, drugi długość 7, wiedząc że kąt między nimi jest równy π3 .. Obliczyć
cosinus jaki kąt tworzy ta suma z poszczególnymi wektorami.
Zadanie 2 Dane są wektory ⃗u, ⃗v takie, że |⃗u| = 15, |⃗v | = 10 a kąt między
tymi wektorami wynosi π4 . Obliczyć długość wektora ⃗u + ⃗v , oraz kąt jaki
tworzy ten wektor z wektorami ⃗u i ⃗v .
Zadanie 3 Załóżmy, że dane są trzy wektory ⃗u, ⃗v , w
⃗ o których wiadomo że
leżą na jednej płaszczyźnie. Ich długości są równe |⃗u| = 3; |⃗v | = 2; |w|
⃗ = 2.
o
Wiadomo że wektory ⃗v , w
⃗ tworzą z wektorem ⃗u kąt 60 . Obliczyć długość
sumy ⃗s = ⃗u + ⃗v + w.
⃗
Zadanie 4 Trzy wektory ⃗u, ⃗v , w
⃗ są wzajemnie prostopadłe. Dane są ich
długości |⃗a| = 3, |⃗v | = 2, |w|
⃗ = 2. Obliczyć długość sumy ⃗s tych wektorów i
cosinusy kątów jaki tworzy ta suma z wektorami ⃗u, ⃗v , w.
⃗
Zadanie 5
Wektory ⃗u i ⃗v są prostopadłe i mają długości równe 1. Jaki kąt tworzą między
sobą wektory 6⃗u + 4⃗v i 2⃗u + 10⃗v .
Zadanie 6 Znaleźć kąt między wektorami ⃗u +⃗v i ⃗u −⃗v , jeżeli |⃗u| = 3; |⃗v | = 4
i kąt między wektorami ⃗u i ⃗v wynosi π6 .
Zadanie 7 Wektory ⃗u i ⃗v mają długości równe 1 i tworzą z wektorem w
⃗
π
π
⃗ suma
kąty równe odpowiednio 3 i 6 . Obliczyć jaki kąt tworzy z wektorem w
wektorów ⃗u i ⃗v .
Zadanie 8 Znaleźć cosinusy kierunkowe wektora prostopadłego do dwóch
wektorów o cosinusach kierunkowych równych odpowiednio: 13 , − 32 , 23 oraz
2
, − 37 , 67
7
1
Zadanie 9 Dany wektor ⃗u = (5, 3, −4) rozłożyć na dwa wektory składowe
z których jeden byłby równoległy, a drugi prostopadły do danego wektora
⃗v = (1, 1, 0).
Zadanie 10 Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach w punktach A(1, 2, 3),
B(1, 1, 2), C(0, 1, 3).
Zadanie 11 W trójkącie o wierzchołkach A(1, 2, 3), B(3, 1, 4), C(−1, 1, 0)
−→ −→
znaleźć na prostej AB taki punkt P, aby wektory AB i CP były prostopadłe.
Iloczyn wektorowy.
Zadanie 12 Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów ⃗u(−1, 2, 4) i ⃗v (2, 1, −4)
i jego długość.
Zadanie 13 Obliczyć iloczyn (⃗u × ⃗v ) ◦ c gdzie
⃗u = (1, 1, 2), ⃗v = (2, 3, 1), w
⃗ = (2, 3, 1).
Zadanie 14 Znajdź pole trójkąta którego wierzchołki mają współrzędne
A(−2, 1, 2); B(3, −3, 4); C(1, 0, 9).
Zadanie 15 Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach P = (1, 0, 0), Q =
(2, 3, 4), R = (0, 2, 0).
Zadanie 16 Obliczyć objętość równoległościanu o wierzchołkach w punktach
A(3, 1, 1), B(1, 4, 1), C(1, 1, 7), D(3, 4, 9)
oraz jego wysokość poprowadzoną z wierzchołka D.
Zadanie 17 Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach
P (1, 0, 0), Q(0, 1, 1), R(1, 0, 1), S(0, 0, 1).
Zadanie 18 Dany jest wektor ⃗uF (3, 4, −2) i punkt A(2, −1, 3). Znaleźć moment wektora ⃗uF w punkcie A względem początku układu współrzędnych i
kąty jakie tworzy on z osiami współrzędnych.
Zadanie 19 Dany jest punkt A(2, −1, 1) i wektor ⃗uu = (2, 0, 1). Opisać
⃗ jest prostopadły do wektora ⃗u.
zbiór tych punktów B(x, y, z) że wektor AB
2
Prosta i płaszczyzna w przestrzeni.
Zadanie 20 Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(0, 0, 2),
B(4, 0, 1), C(2, 1, 2).
Zadanie 21 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A(−2, 1, 4)
i równoległej do wektorów ⃗v = (−1, 3, 2) i ⃗v = (3, 2, 5).
Zadanie 22 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt M (1, 0, 1)
i równoległej do płaszczyzny x + 2y + z − 1 = 0.
Zadanie 23 Znaleźć współrzędne rzutu punktu M (−1, 2, 5) nad płaszczyznę
x+2y−5z+1 = 0. Obliczyć odległość odległość punktu M od tej płaszczyzny.
Zadanie 24 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(2, 3, −1),
B(1, −2, −2) i równoległej do wektora ⃗u(5, 1, 3).
Zadanie 25 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A(5, −1, 2)
i oś OZ.
Zadanie 26 Dla jakiego parametru m płaszczyzny 2x − y + mz + 1 + 0 i
x + 3y + mz − 7 = 0 są prostopadłe?
Zadanie 27 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A(−1, 3, 7)
i prostopadłej do płaszczyzn 3x − y + z + 0, x + 2y − 1 = 0.
Zadanie 28 Obliczyć odległość między płaszczyznami 12x−9y+20z−1 = 0
i 24x − 18y + 40z + 5 = 0.
Zadanie 29 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez początek
układu współrzędnych i przez prostą powstałą z przecięcia płaszczyzn
x + 3y − z + 1 = 0, 2x − y + 2z + 5 = 0.
Zadanie 30 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez prostą powstałą z przecięcia płaszczyzn
2x − z = 0, x + y − z + 5 = 0
i prostopadłą do płaszczyzny
7x − y + 4z − 3 = 0.
3
Zadanie 31 Sprawdzić, czy punkty A(0, 1, −2), B(−1, 0, −3), C(2, 3, 0) leżą
na jednej prostej.
Zadanie 32 Znaleźć takie liczby (m, n) aby punkty A(1, 3, 2), B(2, 4, 5),
C(5, m, n) leżały na jednej prostej.
Zadanie 33 Napisać w postaci ogólnej, kanonicznej i parametrycznej równanie prostej przechodzącej przez punkty A(1, 2, 3), B(2, 4, 5).
Zadanie 34 Napisać w postaci ogólnej równanie prostej przechodzącej przez
punkt A(0, 1, 3) i równoległej do wektora o współrzędnych (3, 2, 1).
Zadanie 35 Prosta zadana jest za pomocą równania ogólnego:
x + y + 2z − 4 = 0
x − y + 3z − 3 = 0
Napisać równanie tej prostej w postaci kanonicznej i parametrycznej.
Zadanie 36 Pokazać, że proste
p1 : 3x − 4y − 2z = −3, 2x + y − 2z = 1;
p2 : 4x + y − 6z = −1,
y − 3z = −2.
przecinają się. Znaleźć kąt między tymi prostymi.
Zadanie 37 Punkty M (−1, 1, 0), K(2, 3, 0) są środkami dwóch przeciwległych boków kwadratu. Znaleźć równania boków kwadratu.
Zadanie 38 Dane są trzy punkty A(0, 1, 2), B(2, 1, 0), C(0, 0, 1). Napisać
równanie dwusiecznej kąta CAB.
Zadanie 39 Wykazać że proste p1 , p2 zadane za pomocą równań parametrycznych:
p1 : x = 1 + 2t,
y = 2t,
z = t;
p2 : x = 11 + 8t,
y = 6 + 4,
z = 2 + t.
przecinają się. Napisać w postaci parametrycznej i krawędziowej równanie
równanie dwusiecznych kątów utworzonych przez te proste.
Zadanie 40 Udowodnić że proste
4
p1 : x + 2y + 3z = 3, x + 2y + 4z = 3;
x − y + z = 0.
p2 : x + y + z = 2,
przecinają się. Znaleźć równanie dwusiecznych kątów między tymi prostymi.
Zadanie 41 Dla jakich wartości parametru m prosta
x + my − z + 3 = 0; 2x − y + z − 1 = 0
jest równoległa do płaszczyzny
x + y + z = 0.
Zadanie 42 Napisać równania płaszczyzny przechodzącej przez prostą
x = 4t − 1; y = 2t − 1; z = t
i równoległej do prostej
x = 4t + 2 y = 3t + 3 z = 2t
Zadanie 43 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez prostą x =
2t, y = t − 1, z = −t + 2 i punkt P (2, 7, −3).
Zadanie 44 Znaleźć rzut prostokątny punktu P (3, 5, 4) na prostą x =
−2t + 1, y = t, z = 5.
Zadanie 45 Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1, 2, 5)
i przecinającej proste
x + y − 18 = 0, 2x − z − 12 = 0;
3x + 2y − 19 = 0, 4y − 3z − 8 = 0.
Zadanie 46 Znaleźć rzut prostej
x
z+1
= −y − 1 =
.
2
2
na płaszczyznę x + y + z = 0.
Zadanie 47 Napisać równanie prostej prostopadłej do prostych
x = t + 1, y = 2t, z = 3t − 2
x = 3t, y = 2t + 2, z = −t + 1.
5
Zadanie 48 Napisać równanie prostej prostopadłej do prostych
x − z + 2 = 0, x + y − 2 = 0;
x + y + z − 5 = 0, x − y − z + 3 = 0.
Zadanie 49 Dany jest trójkąt ABC gdzie A = (1, 0, 1), B = (3, 1, 0), C =
(1, 1, −1). Napisać w postaci parametrycznej równanie prostej powstałej przez
przecięcie płaszczyzn symetralnych boków AB i AC oraz AB i BC.
Zadanie 50 Znaleźć równanie płaszczyzny na której leży prosta
x + z − 1 = 0, x − y + 2 = 0
i która jest prostopadła do płaszczyzny x + y + z + 1 = 0.
6