Prosta i płaszczyzna w przestrzeni

MiBM; S-I 0 .inż.
dr Krzysztof Żyjewski
15 listopada 2014
Prosta i płaszczyzna w przestrzeni
Wybrane wzory i informacje
Równanie prostej przechodzącej przez punkt P0 = (x0 , y0 , z0 ) o wektorze wodzącym r~0 i równoległej
do wektora ~v = [a, b, c] :
• postać parametrycznego prostej w R3


x = x0 + at
l:
y = y0 + bt


z = z0 + ct,
gdzie t ∈ R;
• postać kierunkowa prostej:
l:
y − y0
z − z0
x − x0
=
=
.
a
b
c
Prosta przechodząca przez dwa różne punkty P0 (x0 ; y0 ; z0 ) i P1 (x1 ; y1 ; z1 )
• równanie w postaci parametrycznej


x = x0 + t(x1 − x0 )
l:
y = y0 + t(y1 − y0 )


z = z0 + t(z1 − z0 ),
gdzie t ∈ R.
• równanie w postaci kierunkowej
l:
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
.
x1 − x0
y1 − y0
z1 − z0
Równanie płaszcyzny przechodzącej przez punkt P0 = (x0 , y0 , z0 ) o wektorze normalnym ~n =
[A, B, C] :
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0.
Niech P1 = (x1 , y1 , z1 ), P2 = (x2 , y2 , z2 ) i P3 = (x3 , y3 , z3 ) będą trzema ustalonymi niewspółliniowymi punktami i P = (x, y, z) będzie dowolnym punktem płaszczyzny π. Wówczas równanie na
wyznaczenie płaszczyzny:
x − x1 y − y1 z − z1 π : x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0.
x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 1
dr Krzysztof Żyjewski
MiBM; S-I 0 .inż.
15 listopada 2014
Albo wektor normalny tej płaszczyzny wyznaczamy z
~i
~k ~j
−−→ −−→ P1 P2 × P1 P3 = x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 .
x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 Odległość punktu P0 = (x0 , y0 , z0 ) od płaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża się wzorem:
d(P0 , π) =
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
√
.
A2 + B 2 + C 2
Rozważmy teraz dwie równoległe płaszczyzny π1 : Ax + By + Cz + D1 = 0 oraz π2 : Ax + By +
Cz + D2 = 0. Wzór na odległość pomiędzy nimi ma postać:
d(π1 , π2 ) = √
|D2 − D1 |
.
A2 + B 2 + C 2
Odległość punktu P0 = (x0 , y0 , z0 ) od prostej k : przechodzącej przez punkt P1 = (x1 , y1 , z1 ) o
wektorze ~v wyraża się wzorem:
−−→
|P0 P1 × ~v |
.
d(P0 , k) =
|~v |
Wzór na odległość pomiędzy dwiema prostymi skośnymi k i l o wektorach odpowiednio ~v , ~u i
przechodzącymi odpowiednio przez punkty P0 i P1 ma postać:
−−→
|(~v , ~u, P0 P1 )|
d(k, l) =
.
|~v × ~u|
Wzór na odległość punktu P0 od płaszczyzny przechodzącej przez P1 o wektorze normalnym ~n ma
postać:
−−→
|P0 P1 ◦ ~n|
d(P1 , π) =
.
|~n|
2
MiBM; S-I 0 .inż.
dr Krzysztof Żyjewski
15 listopada 2014
Zadania na ćwiczenia
1. Znajdź równanie płaszczyzny:
a) przechodzącej przez punkt P0 = (3, 1, −2) i równoległej do płaszczyzny 2x−y+3z+5 = 0;
b) przechodzącej przez dwa punkty P1 = (0, 2, 1), P2 = (−1, 0, 1) i prostopadłej do płaszczyzny
o równaniu x + y − z = 0;
c) przechodzącej przez punkty P1 = (1, 3, 5), P2 = (1, 0, −1), P3 = (0, 4, 1);
−→
d) prostopadłej do wektora AB, gdzie A = (1, 4, −2), B = (5, −2, 2) i przechodzącej przez
środek odcinka AB;
e) przechodzącej przez punkt P0 = (, 2−, 1, 0) i równoległej do płaszczyzny w której leży
trójkąt ABC, gdzie A = (0, 0, 0), B = (1, 2, 3), C = (−1, −3, 5);
f) przechodzącej przez punkt P0 = (4, 3, 1) i równoległej do wektorów ~u = [1, 1, 0], ~v =
[0, 1, 1];
(
4x − 3y + 2z + 5 = 0
g) przechodzącej przez punkt P0 = (6, 2, −1) i prostopadłej do prostej
−5x + 8y − 7z + 2 = 0;
h) zawierającej punkt P0 = (1, −2, 3) i prostopadłej do płaszczyzn o równaniach x − 3y +
2z − 7 = 0, 2x − 2y − z + 3 = 0;
i) przechodzącej przez punkt P0 = (4, 2, −1) i oś Ox;
j) zawierającej punkty P1 = (4, 0, −1) i P2 = (2, 3, 1) i równoległej do osi Oy;
k) płaszczyzn równoległych do płaszczyzny −6x − 3y − 2z + 2 = 0 i odległych od niej o 5;
l) zawierającej punkt (2, 0, −7), która jest prostopadła do płaszczyzny x + 5z = 0 i jedy
= −1
= z−2
;
nocześnie równoległa do prostej x−1
2
3
m) przechodzącej przez oś Oy i tworzącej z płaszczyzną 2x +
5
y
+ z + 4 = 0 kąt π3 ;
n) przechodzącej przez punkty P1 = (1, −3, 4), P2 = (2, 0, −1) i prostopadłej do płaszczyzny
xOz;
2. Znajdź równanie prostej
a) przechodzącej przez punkty P1 = (1, 0, 2) i P2 = (2, −1, 1);
b) przechodzącej prze punkt P0 = (1, 3, −4) i równoleglej do wektora ~u = [−3, 0, 1];
c) przechodzącej przez punkt P0 = (5, −2, 0) i prostopadłej do płaszczyzny 2x+6y−2z+5 =
0;
d) przechodzącej przez punkt P0 = (−1, 1, 1) i prostopadłej do wektorów ~u = [2, 0, −1] i
~v = [−3, 2, 1],
(
3x + y = 0
e) przechodzącej przez środek układu współrzędnych i równoległej do prostej
x − 2z + 5 = 0;


x = 2 + 3t
f) przechodzącej przez punkt P0 = (4, 1, −2) i przecinającej prostą y = −1 + 2t pod


z =1−t
kątem prostym;
3
MiBM; S-I 0 .inż.
dr Krzysztof Żyjewski
(
3x + 5y − 4z − 1 = 0
g)
4x + y + z + 1 = 0
15 listopada 2014
w postaci kanonicznej i parametrycznej;
(
x−y+z =1
h) przecinającej proste:
2x + y − z = −2


x = 2 − 3t
i y=t


z = −1 + 2t
pod kątem prostym;
i) przechodzącej przez punkt A = (1, 2, 1) i przecinającej dwie proste:
x−2
= y−2
= z3 ;
2
1
x−1
1
j) przechodzącej przez punkt P0 = (−2, 0, 1) przecinającą prostą l1 :
prostopadłą do prostej l2 : x+2
= y−2
= z+1
.
2
4
1
3. Znaleźć punkt wspólny prostej : x+2
=
1
y−2
2
=
z+1
−1
x−1
1
=
y+3
−2
=
z−1
2
i
y
2
=
z+2
3
i
=
i płaszczyzny −x + 2y + 3 − 5 = 0.
4. Znaleźć rzut prostokątny
a) punktu P0 = (4, −3, 1) na płaszczyznę o równaniu x + 2y − z − 3 = 0;
b) prostej l :
x+2
= y−1
1
−2
y
x
= 3 = z1
2
=
z
1
na płaszczyznę 2x − z + 3 = 0;
c) prostej
na płaszczyznę π, która to przechodzi przez prostą
( l1 :
2x + 3y + z − 8 = 0
l2 :
x + 4y − 2z + 3 = 0;
5. Obliczyć odległość
a) punktu P0 = (5, −8, 1) od płaszczyzny 4x − 3z − 2 = 0;
b) punktu P0 = (2, −1, 1) od prostej
x+1
1
=
y−1
−1
= z2 ;
c) prostych równoległych π1 : 3x − 4y + 11z − 2 = 0 i π2 : 3x − 4y + 11z + 3 = 0;
6. Oblicz miarę kąta między
a) prostą l1 przechodzącą przez punkty A = (3, 0, −1) i B = (2, −1, 2) a prostą zawierającą
punkty l2 C = (−2, 1, 1) i D = (3, 1, 3);


x = −2 + 3t
a płaszczyzną daną równaniem
b) między prostą y = 1


z=t
2x − y + z − 1 = 0;
c) płaszczyznami π1 : x − y − 2z − 4 = 0 i π2 : 2x + y − z − 5 = 0;
7. Znajdź współrzędne punktu symetrycznego do punktu P0 = (3, 0, 1) względem prostej
y+1
= z+2
.
1
3
x−5
2
=
8. Zbadaj wzajemne położenie prostych l1 i l2 w zależności od przypadku wyznacz odległość,
punkt przecięcia, równanie płaszczyzny do której należą:
4
MiBM; S-I 0 .inż.
dr Krzysztof Żyjewski
x−9
4
y+2
−3
=
z
1
x
−2


x = 3 − 2t
b) l1 : y = 2 + t


( z = 1 − 3t
i


x = −1 − 4t
l2 : y = 1 + 2t


(z = 3 − 6t
c) l1 :
i
l2 :
i
=
z−2
.
2
l2 :
2x + 3y − z − 1 = 0
x + y − 3z = 0
(
2x + y − z = 0
d) l1 :
x + 2y − 3z = 0
=
y+7
9
i
a) l1 :
=
15 listopada 2014
x + 5y + 4z − 3 = 0
x + 2y + 2z − 1 = 0
(
2x + y + z − 3 = 0
l2 :
x + y + 2z − 2 = 0.
9. Zbadaj wzajemne położenie płaszczyzny π i prostej l w zależności od przypadku wyznacz
odległość,
 punkt przecięcia:

x = 13 + 8t
i
π : x + 2y − 4z − 20 = 0
a) l : y = 1 + 2t


z = 4 + 3t


x = 2 + t
i
π : x + 2y − z + 5 = 0
b) l : y = −1 − 2t


(z = 3−t
c) l :
x−y+z−1=0
x + 3y − 3z − 1 = 0
π : x+y−z−1=0
i
5