LISTA 8 1.Rzucamy 3 razy monetą. Niech zmienna losowa X

LISTA 8
1.Rzucamy 3 razy monetą. Niech zmienna losowa X oznacza liczbę wyrzuconych orłów a zmienna losowa Y numer rzutu, w którym orzeł pojawił się po
raz pierwszy. Dla wektora losowego (X,Y) wyznaczyć:
a) rozkład prawdopodobieństwa;
b) rozkłady brzegowe;
c) dystrybuantę rozkładu (X,Y);
d) wartość oczekiwana oraz wariancję dla zmiennych losowych X oraz Y;
e) kowariancję oraz współczynnik korelacji zmiennych losowych X,Y;
f) warunkowy rozkład prawdopodobieństwa oraz warunkową wartość oczekiwaną zmiennej losowej X gdy Y=3.
Czy zmienne losowe X,Y są niezależne?
2.Gęstośc wektora losowego (X,Y)jest postaci:
f (x, y) =
(
3
(x2 y
8
+ y), gdy 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2
0, poza tym
Obliczyć P (0.5 < X < 1, 1 < Y < 2),
P (Y > X).
P (Y > 1),
P (X > 0.5|Y < 1),
3.Czy można dobrać stałą c, aby funkcja
f (x, y) =
(
cy 2 cosx, gdy π2 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ 2
0, poza tym
była gęstością dwuwymiarowej zmiennej losowej? Jeśli tak, to:
a) znaleźć rozkłady brzegowe
b) wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji zmiennych X,Y.
Czy X,Y są niezależne ?
4.Wektor losowy (X,Y) ma funkcję gęstości postaci:
f (x, y) =
(
2ye−x , gdy x > 0, 0 < y < 1
0, poza tym
Obliczyć EX oraz E(Y |X = 1) i E(X|Y = 0.5).
5.Wektor losowy (X,Y) ma funkcję gęstości postaci:
f (x, y) =
(
16
xy,
3
gdy 0 < x < 1, x3 < y < 1
0, poza tym
1
Obliczyć P (X < 12 , Y < 12 ), P (Y < X)
Wyznaczyć funkcję regresji zmiennej losowej Y względem zmiennej X.
Ile wynosi E(Y |0.5) ?
6.Dwuwymiarowa zmienna losowa ma rozkład jednostajny na trójkącie
o wierzchołkach w punktach (-1,0); (1,0); (0,2). Wyznaczyć gęstość wektora losowego (X,Y). Sprawdzić, czy zmienne losowe X oraz Y są niezależne?
Jaki jest ich współczynnik korelacji? Wyznaczyć funkcje regresji zmiennej
losowej X względem Y oraz zmiennej losowej Y względem X. Ile wynosi
E(Y |X = 0.25).
7.Współczynnik korelacji zmiennych losowych X,Y wynosi 0.25. Jaki współczynnik korelacji mają zmienne losowe 4X − 3 , −2Y + 4 ?
Odpowiedzi do listy 8
zad.1a)P (X = 1, Y = 1) = 81 ; P (X = 1, Y = 2) = 18 , P (X = 1, Y = 3) = 18 ;
P (X = 2, Y = 1) = 41 , P (X = 2, Y = 2) = 18 , P (X = 3, Y = 1) = 18 ,
P (X = 0, Y = 0) = 81 .
b) Rozkład brzegowy zmiennej losowej X to:
P (X = 0) = 81 ,P (X = 1) = 83 ,P (X = 2) = 38 ,P (X = 3) = 81
rozkład brzegowy Y to:
P (Y = 0) = 81 , P (Y = 1) = 12 ,P (Y = 2) = 14 , P (Y = 3) = 18 .
d) EX = 1.5, EY = 1.375, varX = 0.75, varY = 0.734375
1
e) cov(X, Y ) = 0.0625 , ρ(X, Y ) = √141
= 0.0842
E(X|Y = 3) = 1. Zmienne losowe X,Y nie są niezależne.
57
zad.2 P (0.5 < X < 1, 1 < Y < 2) = 128
; P (Y > 1) = 0.75;
19
P (X > 0.5|Y < 1) = 32 ; P (Y > X) = 0.9
zad.3 c = − 38
(
-cosx, gdy π2 < x < π
fX (x) =
0, poza tym
fY (y) =
(
3 2
y ,
8
gdy 0 < y < 2
poza tym
0,
Zmienne losowe są niezależne bo ... zatem cov(X, Y ) = ρ(X, Y ) = 0.
zad.4 EX=1; E(X|Y = 0.5) = 1 , E(Y |X = 1) = 32 .
63
zad.5 P (X < 0.5, Y < 0.5) = 768
, P (Y < X) = 13
6
x
73
E(Y |0.5) = 108
E(Y |X) = 23 (1 + 1+x
3 ), gdy 0 < x < 1
zad.6
(
1
, gdy (x, y)∆
f (x, y) = 2
0, pozatym
2



x + 1, gdy −1 ≤ x ≤ 0
fX (x) = −x + 1, gdy 0 ≤ x ≤ 1


0, pozatym
fY (y) =
(
1 − y2 , gdy 0 < y < 2
0, poza tym
Zmienne X,Y są zależne. cov(X,Y)=0, ρ(X, Y ) = 0, E(X|Y ) = 0,



x + 1, gdy −1 < x < 0
E(Y |X) = −x + 1, gdy0 < x < 1


0, poza tym
E(Y |X = 0.25) = 0.75)
zad.7ρ(X, Y ) = −0.25
LISTA 9
) otrzymując:
1.W 40 próbkach zbadano zawartość krzemu (w mg
m3
54, 58, 64, 69, 61, 56, 41, 48, 56, 61, 70, 55, 46, 57, 70, 55, 47, 62, 55, 60,
54 ,57 ,65 ,60 ,53 ,54, 49 ,58 ,62 ,59 ,55 ,50 ,58, 63, 64, 59, 52, 65, 58, 60.
Dla przedstawionej próby zbudować szereg rozdzielczy oraz naszkicować histogram i dystrybuantę empiryczną. Wyznaczyć średnią, medianę, modalną,
kwantyl dolny i górny, wariancję, współczynnik zmienności.
2.W pewnym punkcie sieci elektrycznej mierzono co godzinę istniejące
napięcie (w V) otrzymując 21 danych: 234, 220, 230, 218, 220, 219, 224, 223,
220, 218, 221, 229, 225, 220, 221, 216, 220, 219 ,232 ,227 ,221. Dla przedstawionej próby wyznaczyć wielkości jak w zad.1.
3.W oparciu o 2n elementową próbę prostą z populacji o średniej m i
wariancji σ 2 oszacowano wartość oczekiwaną używając dwóch estymatorów:
P
1 P2n
Y1 = 2n
oraz Y2 = n1 nk=1 Xk . Który z nich jest lepszy i dlak=1 Xk ,
czego ?
4.Metodą największej wiarogodności wyznaczyć estymatory parametrów:
a) λ w rozkładzie Poissona ;
b) p w rozkładzie geometrycznym ;
c) α w rozkładzie wykładniczym.
5.W celu oszacowania wartości przeciętnej czasu bezawaryjnej pracy urządzenia pewnego typu, obserwowano czasy do momentu awarii 7 losowo wybranych urządzeń. Uszkodzenia nastąpiły w godzinach:
3
51, 115, 150, 190, 217, 228, 350. Wiedząc, że czas bezawaryjnej pracy urządzenia ma rozkład wykładniczy oszacować : wartość przeciętną bezawaryjnej
pracy maszyny oraz parametr α tego rozkładu.
6.Wykazać, że jeżeli niezależne zmienne losowe Xk , k = 1, ..., n mają taki
1 Pn
2
sam rozkład wykładniczy to 2n
k=1 Xk jest nieobciążonym estymatorem
dla wariancji tego rozkładu.
7.Zmienne losowe Xk mają rozkład jednostajny na przedziale [a; a+1];
parametr a jest nieznany. Sprawdzić, że dla n niezależnych obserwacji estymator:
n
1 1X
Tn = − +
Xk
2 n k=1
jest nieobciążonym i zgodnym estymatorem parametru a. Oszacować
P (|Tn − a| ≥ 0.1) gdy: n = 12 oraz n = 100.
8.Wykazać, że n+1
max1≤k≤n Xk jest lepszym nieobciążonym estymatorem
n
dla parametru a ,w rozkładzie jednostajnym na przedziale [0 ; a] niż n2 Σnk=1 Xk .
Odpowiedzi do listy 9
zad.2 wziąć 5 klas, x = 222.7, mediana = 221, modalna = 220, varX=17.99,
wsp.zmienności=0.019 (1.9% )
zad.3 Y1 , Y2 są niobciążone dla m, lepszy Y1 ,bo ma mniejszą wariancję.
P
b = 1 Pn X ,
b −1 = n1 Σn
α
pb−1 = n1 nk=1 Xk
zad.4 λ
k
k=1
k=1 Xk
n
zad.5 185.8; 0.0054.
4