TOPOLOGIA, I r. MAT. Lista zadań nr 1 2014/15 1. Metrykę lp, p 1
Transkrypt
TOPOLOGIA, I r. MAT. Lista zadań nr 1 2014/15 1. Metrykę lp, p 1
TOPOLOGIA, I r. MAT. Lista zadań nr 1 2014/15 1. Metrykę lp , p 1, definiujemy na płaszczyźnie w sposób następujący: 1 dlp ((u, v), (x, y)) = (|x − u|p + |y − v|p ) p . (dla p = 2 jest to zwykła metryka euklidesowa). Dla p = ∞ metrykę tę definiujemy jako dl∞ ((u, v), (x, y)) = max(|x − u|, |y − v|)). Przeprowadzić dowód, że dlp istotnie jest metryką dla przypadków p = 1, 2, ∞. Pokazać, że metryki l1 , l2 , l∞ są topologicznie równoważne (tzn., że topologie, czyli rodziny zbiorów otwartych, dla tych metryk są takie same). 2. Jakim zbiorem jest kula B((0, 0), 1) o środku w punkcie (0, 0) i promieniu 1 w: a) metryce rzeka; b) metryce warszawskiej; c) metryce l1 ; d) metryce l∞ ; e) metryce l2 . 3. Jak wygląda kula B((0, 2), 3) o środku w punkcie (0, 2) i promieniu 3 w: a) metryce rzeka; b) metryce warszawskiej? Wsk: zauważyć, jaka jest odległość punktu (0, 2) od rzeki (czyli także od punktu (0, 0)), a następnie skorzystać z zad. 2 a), b). 4. Pokazać, że zbiór {(x, y) : y > 0} (górna półpłaszczyzna otwarta) jest otwarty w l1 . 5. Pokazać, że metryka warszawska nie jest topologicznie równoważna z metryką l2 (na R2 ). 6. Który z podanych zbiorów jest domknięty, otwarty lub ani taki, ani taki na R2 w metryce euklidesowej: {1}×[1, 2], {1}×[1, 2), {(x, y) : x > 0, y > 0}, {(x, y) : x > 0, y > 0}\{(2, 2)}, {(x, y) : x > 0, y 0}, {(x, y) : x 0, y 0}, {(x, y) : |x − y| > 1}? Zaznaczyć te zbiory na rysunku. 7. Pokazać, że (xn , yn ) → (x, y) w l1 wtedy i tylko wtedy, gdy xn → x oraz yn → y na R. Zauważyć, że z zadania 1 wynika, że to samo jest prawdą dla l2 i l∞ . 8. Pokazać, że w dowolnej przestrzeni metrycznej prawdziwa jest równość: Int(A) = (Ac )c . 9. Pokazać, że Fr(A) = A \ Int(A). 10. Czy rodzina funkcji spełniających warunek Lipschitza ze stałą a > 0 jest zbiorem domkniętym w C[0, 1] (z metryką ρ(f, g) = sup{|g(x) − f (x)| : x ∈ [0.1]}). 11. Rozważyć kulę B((2, 2), 1) w metryce euklidesowej na R2 . Jaki jest jej brzeg w metryce rzeka?