Odległości nieeuklidesowe na przestrzeniach rzutowych

Geometria jest jednym z działów matematyki,
którego przedmiotem jest badanie figur
geometrycznych i zależności między nimi. Figury
geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur
płaskich, w przestrzeni trójwymiarowej brył
geometrycznych. Termin geometria pochodzi z
języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi. Z
rozwojem geometrii związane jest nazwisko
greckiego matematyka Euklidesa. Dzięki
Euklidesowi geometria przedstawiana jest jako
nauka uporządkowana, wzorowy przykład teorii
dedukcyjnej zaczynającej się od kilku pojęć
pierwotnych, z których za pomocą aksjomatów i
definicji wyprowadza się twierdzenia.





1. Przez każde dwa różne punkty można
poprowadzić jedną i tylko jedną linię prostą.
2. Każdy odcinek może być przedłużony do
nieskończoności, tworząc prostą.
3. Odległość i punkt wyznaczają okrąg.
4. Wszystkie kąty proste są równe.
5. Przez każdy punkt nie leżący na danej
prostej można poprowadzić dokładnie jedną
prostą równoległą do danej.
Geometria nieeuklidesowa – geometria, która
nie spełnia co najmniej jednego z aksjomatów
geometrii euklidesowej. Może ona spełniać
tylko część z nich, przy czym mogą również
obowiązywać w niej inne, sprzeczne z
aksjomatami i twierdzeniami geometrii
Euklidesa. Przykładami geometrii
nieeuklidesowych są: geometria hiperboliczna
(geometria Łobaczewskiego), geometria
eliptyczna (geometria sferyczna).
Nikołaj Łobaczewski stworzył własny postulat, zastępujący V
postulat Euklidesa. Brzmi on: przez punkt płaszczyzny nie
należący do danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne
proste nie posiadające punktów wspólnych z daną prostą. W
geometrii hiperbolicznej płaszczyzną jest powierzchnia
siodła.
Płaszczyzna hiperboliczna
Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii
euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata
rzeczywistego i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni
fizycznych w warunkach makroskopowych.
Przestrzeń metryczna – zbiór z określonym pojęciem
odległości (nazywanej metryką) między jego elementami.
W metryce euklidesowej odległość między
dwoma punktami możemy określić za
pomocą wzoru:
d(x,y) = |y-x|
Możemy wyróżnić następujące metryki:





Metryka
Metryka
Metryka
Metryka
Metryka
„miasto”;
maksimum;
kolejowa;
„rzeka”;
dyskretna.
Wyobraźmy sobie, że z jakichś powodów (kwadratowa sieć
ulic przypominająca plan Manhattanu) możemy poruszać się
jedynie w kierunkach wschód-zachód oraz północ-południe.
Wtedy droga, jaką będziemy przebywać z jednego punktu do
drugiego, wyniesie właśnie tyle, ile mówi o niej metryka
miejska.
Metryka Manhattan – odległość dwóch punktów w tej metryce
to suma wartości bezwzględnych różnic ich współrzędnych.
Metryka maksimum– metryka opisana
wzorem
Niech pod słowem „rzeka” kryje się ustalona prosta
na płaszczyźnie. Wyobraźmy sobie, że znajdujemy
się w bardzo gęstej dżungli, po której poruszać się
można jedynie w kierunkach prostopadłych do
rzeki oraz po samej rzece (po tych ścieżkach
poruszamy się zgodnie z metryką euklidesową na
płaszczyźnie). Tak określona odległość nosi nazwę
metryki rzeki.
Problem: dostanie się z punktu A do B
Wzór opisujący metrykę rzeki: