4. Czy przesunięcie równoległe wektora zmienia jego współrzędne?

Podstawy rachunku
wektorowego.
Wektor w kartezjańskim
układzie współrzędnych
dr inż. Romuald Kędzierski
Założenie wyjściowe: W układzie XY znajduje się wektor
Wektory
są składowymi wektora
Z rysunku wynika, że:
współrzędne
wektora
- tzw. wersor osi Y, to jest wektor o wartości 1 oraz kierunku i zwrocie zgodnym z tą osią.
- tzw. wersor osi X, to jest wektor o wartości 1 oraz kierunku i zwrocie zgodnym z tą osią.
Ponadto rozpatrując trójkąt ABC i wykorzystując twierdzenie Pitagorasa, wartość
rozpatrywanego wektora można obliczyć następująco:
Wartość wektora jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z:
sumy kwadratów jego współrzędnych na
odpowiednich osiach układu współrzędnych
Uwaga:
1. Znając współrzędne początku i końca wektora w układzie XY, można go zapisać
następująco:
lub:
2. Współrzędne wektora mogą mieć wartości:
dodatnie
ujemne
zerowe
wektor składowy ma zwrot zgodny z rozpatrywaną osią
wektor składowy ma zwrot przeciwny do rozpatrywanej osi
wektor składowy jest wektorem zerowym na rozpatrywanej osi
3. Mnożąc wektor przez liczbę p, otrzymuje się nowy wektor, który można zapisać
następująco:
4. Czy przesunięcie równoległe wektora zmienia jego współrzędne?
Współrzędne wektora
10
5
Współrzędne wektora
0
5
10
Wniosek: Przesunięcie równoległe wektora nie zmienia jego współrzędnych!
5. Jeżeli mamy do czynienia z wektorem trójwymiarowym, to wprowadzić należy trzecią
oś układu współrzędnych, oznaczaną zazwyczaj symbolem
Wersor jednostkowy tej osi ma symbol:
W trójwymiarowym układzie współrzędnych prostokątnych, odpowiednie współrzędne
noszą nazwy:
- odcięta (łac. abscissa)
- rzędna (łac. ordinata)
- kota (łac. applicata)
6. Współrzędne wersorów poszczególnych osi układu XYZ można zapisać następująco :
7. W przypadku wektora trójwymiarowego mamy:
Zadanie
W układzie współrzędnych XY dane są dwa punkty:
a. Oblicz współrzędne wektora
b. Podaj składowe rozpatrywanego wektora.
c. Oblicz wartość rozpatrywanego wektora.
d. Zapisz rozpatrywany wektor (poprzez jego składowe) w układzie XYZ.
e. Oblicz współrzędne wektora:
Gdyby ludzie rozmawiali
tylko o tym, co rozumieją,
to…
nad naszym światem
zapadłaby wielka cisza.
Albert Einstein