Statystyka i eksploracja danych 6. Testy statystyczne — zadania do

Statystyka i eksploracja danych
6. Testy statystyczne — zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 6.1 Dzienne zużycie wody w fabryce podlega wahaniom losowym zgodnie z rozkładem normalnym o wariancji σ 2 = 196 m6 . Na podstawie obserwacji n = 315 dni
roku stwierdzono, że średnie dzienne zużycie wody wynosi x̄ = 1029 m3 . Zweryfikuj hipotezę H0 : a = 1000 m3 , przyjmując poziom istotności α = 0, 01 i hipotezę
alternatywną H1 : a > 1000 m3 .
Zad. 6.2 (K. B. D. K. M., t.2, Zad. 3.49 str. 136) Zbadano 10 kawałków stali ze względu na
granicę plastyczności (w kG/cm2 ) i otrzymano następujące wyniki: 3570, 3700, 3650,
3590, 3720, 3710, 3550, 3720, 3580, 3630. Zakładając, że granica plastyczności stali
ma rozkład normalny, zweryfikować na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę H0 , że
wartość przeciętna granicy plastyczności jest równa 3600, jeśli hipotezą alternatywną
jest H1 : a 6= 3600.
Zad. 6.3 (B. M. M. W., t. II, Zad. 2.2.6 str. 123) Utargi dzienne firmy mają rozkład
normalny z nieznaną wartością oczekiwaną i nieznaną wariancją. Sprawdź hipotezę
H0 : a = 1000 na poziomie istotności 0,01. Próba losowa o liczebności n = 101 dni
dała średnią arytmetyczną utargów 999 zł i wariancję ŝ2 rzędu 25 zł2 .
Zad. 6.4 (B. M. M. W., t.II, Zad. 2.2.15 str. 126) Na losowo dobranej próbie 150 samochodów marki „Seat Ibiza” zbadano zużycie benzyny po przejechaniu na szosie trasy
100 km. Średnie zużycie benzyny dla tej próby samochodów wynosiło 7,5 litra przy
odchyleniu standardowym 0,9 litra. Norma fabryczna wynosi 7,01 litra na 100 km.
Czy rzeczywiste zużycie benzyny różni się istotnie od normy fabrycznej na poziomie
istotności 0,03?
Zad. 6.5 (K. B. D. K. M., t.2, Zad. 3.10 str. 93) Na dwóch różnych wagach zważono po 10
odcinków 100 m przędzy i uzyskano rezultaty w g na 1. wadze: 5,25; 5,98; 5,83; 5,58;
5,35; 5,59; 5,41; 5,81; 5,95; 5,72, na 2. wadze: 5,31; 5,13; 5,64; 5,89; 5,17; 5,18; 5,27;
5,73; 5,08; 5,24. Wiadomo, że wariancja mas stumetrowych odcinków przędzy dla 1.
wagi jest równa σ12 = 0, 06, a dla 2. wagi σ22 = 0, 07. Zakładając, że rozpatrywana
cecha (masa stumetrowego odcinka) ma rozkład normalny, na poziomie istotności
α = 0, 05 zweryfikuj hipotezę, że wartości przeciętne mas odcinków przędzy uzyskiwane przez te wagi są jednakowe, wobec hipotezy alternatywnej, że są różne.
Zad. 6.6 (B. M. M. W., t.II, Zad. 2.2.30 str. 131) Spośród firm handlowych zatrudniających do 5 pracowników, funkcjonujących na terenie Szczecina w 1992 roku, wylosowano niezależnie 10 firm. Otrzymano następujące dane statystyczne dotyczące
całorocznych kosztów i obrotów (w tys. zł):
Koszty 53,93 61,29 24,61 30,31 9,51 35,40 54,61 68,64 3,18 13,05
Obroty 58,59 59,53 24,26 35,83 10,30 41,79 58,05 71,97 3,11 13,55
1
Zakładając, że koszty i obroty mają rozkład normalny, sprawdź, czy można uogólnić
tezę, że firmy te były dochodowe, przyjmując poziom istotności 0,02.
Zad. 6.7 (K. B. D. K. M., t.2, Zad. 3.73 str. 140) Na egzaminie wstępnym z matematyki
na wyższą uczelnię spośród 705 absolwentów techników 450 nie rozwiązało pewnego
zadania, natomiast na 1320 absolwentów liceów ogólnokształcących nie rozwiązało
tego zadania 517 kandydatów. Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę
o jednakowym stopniu opracowania tej części materiału, której dotyczyło zadanie,
przez absolwentów obu typów szkół, jeżeli hipotezą alternatywną jest, że absolwenci
techników byli słabiej przygotowani z tej partii materiału.
Zad. 6.8 W celu zbadania popularności pewnego teleturnieju telewizyjnego przeprowadzono ankietę wśród widzów. Wybrano 1600 osób i zapytano je, czy oglądają teleturniej. Spośród ankietowanych 500 osób udzieliło odpowiedzi twierdzącej, a pozostałe
zaprzeczyły. Na podstawie tych danych, na poziomie istotności 0,02, przetestować hipotezę, że teleturniej ogląda 30% widzów przeciw hipotezie, że odsetek oglądających
jest inny, używając najpierw testu t dla jednej średniej, a następnie testu chi-kwadrat.
Zad. 6.9 Przeprowadzono badanie jakości jajek kurzych pochodzących z pewnej fermy.
Zakłada się z góry, że 2% jajek jest złej jakości. Wylosowano 1200 jajek do zbadania
i wśród nich 16 okazało się złej jakości. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować
hipotezę, że frakcja jajek złej jakości jest równa zakładanej, przeciw hipotezie, że
frakcja ta jest inna, używając najpierw testu t dla jednej średniej, a następnie testu
chi-kwadrat.
Zad. 6.10 Wykonano 100 prób polegających na rzucaniu monetą do chwili otrzymania
pierwszego orła. Poniższa tabela przedstawia otrzymane wyniki.
Liczba rzutów
Liczba prób
1 2 3 4
44 27 10 9
5 6
3 4
7 i więcej
3
Wykaż, że otrzymane wyniki potwierdzają hipotezę, że czas oczekiwania na pierwszy
sukces w schemacie prób Bernoulliego polegających na rzucie monetą ma rozkład
geometryczny z parametrem p = 21 . Przyjmij poziom istotności α = 0, 01.
Zad. 6.11 W 1995 roku badanie liczby osób objęło 14 067 gospodarstw domowych. Otrzymane wyniki przedstawione są w poniższej tabeli.
Liczba osób
Liczba gospodarstw domowych
0
0
1
2
3
4
5
6 i więcej
701 2218 3690 4682 1827
949
Na poziomie istotności 0,01 testem chi-kwadrat zweryfikuj hipotezę, że rozkład osób
w gospodarstwach domowych w 1995 roku był rozkładem Poissona z parametrem 3,6.
2
Zad. 6.12 (K. B. D. K. W., t.2, Zad. 3.20 str. 105) Z populacji, w której badana cecha
ma nieznaną dystrybuantę F , pobrano próbkę o liczności 200. Otrzymane wyniki
po podziale na 10 równych klas podano poniżej. Na poziomie istotności α = 0, 05,
korzystając z testu chi-kwadrat, zweryfikuj hipotezę, że F jest dystrybuantą rozkładu
jednostajnego na przedziale (45, 50).
Środek klasy
Liczebność
45,25
23
45,75
19
46,25
25
46,75
18
47,25
17
47,75
24
48,25
16
48,75
22
49,25
20
49,75
16
Zad. 6.13 Korzystając z testu Kołmogorowa, zweryfikuj hipotezę, że następujące dane:
x1 = 0, 18,
x2 = 0, 56,
x3 = 0, 87,
x4 = 1, 37,
x5 = 2, 46
pochodzą z rozkładu wykładniczego E(2). Przyjmij poziom istotności α = 0, 05.
Zad. 6.14 Ekonomista analizujący dochody supermarketu zakłada, że są one zgodne z rozkładem Pareto P a(2, 2) o dystrybuancie 1 − (2/x)2 dla x > 2. Przyjmując poziom
istotności 0,1, sprawdź jego założenie o modelu na podstawie danych:
5, 2 8, 8 12, 9 5, 3 9, 5 13, 2 3, 1 15, 3 4, 1 2, 4 11, 0 2, 9.
Zad. 6.15 W pewnym przedsiębiorstwie zbadano rozkład wieku pracowników (w latach)
i otrzymano wyniki
Wiek
Liczba
[0, 20)
6
[20, 25)
40
[25, 30)
24
[30, 35)
25
[35, 40)
18
[40, 45)
28
[45, 50)
25
[50, 55)
20
[55, ∞)
14
Na poziomie istotności 0, 01 testem Kołmogorowa zweryfikować hipotezę, że próba
pochodzi z rozkładu jednostajnego na przedziale (18, 65).
Zad. 6.16 (B. M. M. W., t.II, Zad. 3.2.41 str. 222) Struktura ankietowanych według celu
podróży w zależności od płci przedstawia się następująco:
Płeć
Kobiety
Mężczyźni
Cel podróży
prywatny służbowy
276
117
283
247
Czy słuszne jest stwierdzenie, że cel podróży można wytłumaczyć płcią ankietowanych (α = 0, 01)?
Zad. 6.17 (B. M. M. W., t.II, Zad. 3.2.43 str. 223) W pewnym szpitalu w celu zbadania,
czy okres trwania dolegliwości u pacjentów przed operacją wpływa na sposób operowania wyrostka robaczkowego, wylosowano 100 pacjentów operowanych konwencjonalnie oraz 100 pacjentów operowanych laparoskopią. Wyniki badań przedstawiono
w tabeli:
3
Sposób operowania
Czas trwania dolegliwości laparoskopia konwencjonalny
jednodniowe
48
65
dłuższe
52
35
Na poziomie istotności 0,02 sprawdź, czy sposób operowania wyrostka robaczkowego
zależy od okresu trwania dolegliwości pacjenta.
Zad. 6.18 (B. M. M. W., t.II, Zad. 3.2.44 str. 224) Firma X w celu dokonania selekcji
kandydatów ubiegających się o pracę przeprowadziła test kwalifikacyjny, na podstawie którego stwierdzano, czy kandydat nadaje się do pracy, czy nie. Dla 100 losowo
wybranych kandydatów wyniki testu były następujące:
Wynik testu
Nadaje się do pracy
Nie nadaje się do pracy
Ukończone studia wyższe
techniczne ekonomiczne prawnicze
14
10
16
16
25
19
Na podstawie tych wyników sprawdź hipotezę, że między rodzajem wykształcenia
a wynikiem testu nie ma związku (α = 0, 05).
Zad. 6.19 (B. M. M. W., t.II, Zad. 2.2.32 str. 131) Chcąc sprawdzić skuteczność nowej reklamy, zbadano dzienne utargi (w zł) ze sprzedaży reklamowanego czasopisma
w wylosowanych 10 kioskach rozmieszczonych w różnych punktach miasta
Przed emisją reklamy
Po emisji reklamy
60 7,5 75
36 37,5 97,5 108 18 15
48
63 6 82,5 34,5 45
93 120 18 13,5 49,5
Przy α = 0, 02 sprawdź, czy nastąpiła istotna zmiana w wielkości utargów.
Zad. 6.20 (B. M. M. W., t.II, Zad. 2.2.33 str. 132) Na pewnym straganie warzywnym
zbadano średnie ceny 6 produktów (w zł za jednostkę sprzedaży) w maju i czerwcu
1996 roku. Otrzymano następujące wyniki:
Maj
Czerwiec
1,80 1,00 0,55 4,60 3,20 0,20
2,00 1,00 0,50 2,80 3,00 0,15
Czy można powiedzieć, że średnie ceny na tym straganie istotnie zmalały w ciągu
tego okresu (α = 0, 01)?
4