Metoda Peak Picking Przy poszukiwaniu częstotliwości drgań

Metoda Peak Picking
Przy poszukiwaniu częstotliwości drgań własnych konstrukcji naturalnym wyborem jest
przekształcenie zarejestrowanego sygnału do dziedziny częstotliwości za pomocą
transformaty Fouriera. Metoda Peak Picking jest najprostszym sposobem na szybkie
wyszukanie lokalizacji modów w spektrum czy w transmitancji. W tej metodzie wykorzystuje
się to, że moduł transmitancji dla częstotliwości rezonansowej fr przybiera wartości
maksymalne tworząc „pik”. Dodatkowo, opierając się na metodzie połowy mocy (Half Power
Bandwidth Method), można wyznaczyć współczynnik tłumienia związany z analizowanym
modem (wielkości występujące we wzorze pokazano na poniższym rysunku)
f 22 − f12
ζr =
4 f r2
Wartości wyestymowanych w ten sposób parametrów modalnych są często obarczone
dużym błędem, szczególnie w przypadku obecności dużego tłumienia i modów o bliskich
sobie częstotliwościach – stąd metoda ta jest stosowana głównie jako pomocnicza, na
potrzeby innych metod estymacji, przeznaczonych dla układów o jednym stopniu swobody
lub do selekcji zakresu FRF w rejonie rezonansu, wykorzystywanej w innych metodach
estymacji.
0.012
Amax
abs(H) [m/N]
0.010
Amax
2
0.008
0.006
0.004
fr
0.002
f1
0.000
14.5
14.7
14.9
15.1
15.3
Częstotliwość [Hz]
f2
15.5
15.7
15.9
Metoda estymacji Peak Picking oraz identyfikacja tłumienia metodą HPB
Metoda Circle Fit
Metoda Circle Fit oparta na dopasowaniu okręgu do odcinka transmitancji
przedstawionej na płaszczyźnie zespolonej została zaproponowana w 1947 r. i jest jedną
z najstarszych metod estymacji parametrów modalnych. Podstawowe założenia tej metody
decydujące o jej stosowalności to:
a) w układzie występuje małe tłumienie,
b) funkcja transmitancji jest próbkowana ze stałą rozdzielczością,
c) mody układu są dobrze rozseparowane tzn. na wykresie FRF w funkcji częstotliwości
zbocza sąsiadujących „pików” nie zachodzą na siebie,
d) rozdzielczość funkcji w dziedzinie częstotliwości jest wystarczająca na tyle, żeby
punkty tej funkcji w pobliżu rezonansu, narysowane na płaszczyźnie zespolonej,
utworzyły odcinek łuku kołowego o kącie wewnętrznym ponad 180º, a liczba tych
punktów nie była mniejsza niż 6 (niespełnienie tego założenia nie wyklucza
stosowania tego algorytmu, a jedynie zmniejsza dokładność otrzymanych wyników),
e) wpływ modów o niższych i wyższych częstotliwościach jest aproksymowany stałą
zespoloną R + iL.
Do aproksymacji za pomocą okręgu wybierana jest FRF w formie receptancji dla układu
dynamicznego z tłumieniem materiałowym, ponieważ jest ona opisana wzorem
n
Ar
2
r =1 ω − ω + iη r ωr
H (ω ) = ∑
2
r
2
który po wstawieniu współrzędnych zespolonych jest analitycznym opisem okręgu.
Wzory pozwalające wyznaczyć częstość drgań własnych, współczynnik tłumienia i stałą
modalną (element postaci drgań) wykorzystują oznaczenia przedstawione na poniższym
rysunku.
y
0.00
x
imag(H)
-0.02
-0.04
-0.06
-0.03
-0.01
0.01
real(H)
0.01
0.03
Oznaczenia stosowane w metodzie CF
Pierwszym krokiem jest analityczne określenie środka i promienia okręgu, który dla
przyjętej liczby punktów receptancji aproksymuje zestaw danych doświadczalnych
z najmniejszym średnim odchyleniem kwadratowym. Następnie wyznaczana jest częstość
własna. Położenie odpowiedniego punktu na okręgu, odpowiadające tej częstości, jest
określane ze względu na kąty wewnętrzne pomiędzy promieniami poprowadzonymi do
kolejnych punktów receptancji. Biegun znajduje się między dwoma punktami, między
którymi ten kąt jest największy, a dokładna lokalizacja jest najczęściej wyznaczana za
pomocą algorytmu różnic dzielonych Newtona. Algorytm ten jest wykorzystywany do
numerycznego różniczkowania funkcji receptancji w dziedzinie częstości. Następnie według
wzoru
ηr =
ωa2 − ωb2
 θa 
 θb  

ωr2  tan
 + tan  
2
 2 

wyznaczany jest współczynnik tłumienia materiałowego, z uwzględnieniem punktów
receptancji odpowiadających częstościom wyższym niż ωr (z indeksem a) i niższym niż ωr
(z indeksem b). Wartości wyznaczonego w ten sposób współczynnika tłumienia dla
wszystkich par punktów poniżej i powyżej rezonansu zaprezentowano w formie poniższego
wykresu. Dla analitycznie wyznaczonej funkcji receptancji dla jednego stopnia swobody
wykres ten ma kształt płaskiej poziomej powierzchni, a dla funkcji otrzymanych
eksperymentalnie najczęściej uzyskuje się wykresy różniące się od tego kształtu.
-3
Współczynnik
tłumienia
Wspó³czynnik
t³umienia
x 10
3.4
3.2
3
2.8
η = 0.0029
2.6
2.4
20
15
20
15
10
10
5
5
0
Punkty za rezonansem
0
Punkty przed rezonansem
Przykładowy wykres wartości współczynnika tłumienia materiałowego oraz wartość średnia
W pracy Modal Testing: Theory, Practice And Application Ewins przedstawił typowe kształty
wykresu współczynnika tłumienia w przypadku błędu przecieku widma, szumu w danych,
błędu w określeniu częstości drgań własnych lub nieliniowości.
Jako ostatnia wyznaczana jest stała modalna Ar oraz kąt fazowy φr przy użyciu wzorów:
Ar = 2 Rrωr2η r
φr = arctan
x0 − xD
y0 − y D
Przy estymacji cech modalnych na podstawie doświadczalnie wyznaczonych FRF dla
stopni swobody zlokalizowanych blisko węzłów postaci drgań (o małych amplitudach drgań)
odchylenia wykresu receptancji od kształtu okręgu są często duże ze względu na obecność
szumu.
Metoda Line Fit
W metodzie Line Fit wykorzystywana jest własność wykresów części rzeczywistej
i urojonej odwrotności transmitancji, które narysowane w funkcji ω 2 powinny przedstawiać
linie proste. Założenia przyjmowane zwykle w metodzie LF są podobne jak dla metody CF
(punkty a, b i c). Dodatkową zaletą tej metody jest wskazówka, czy charakter tłumienia
w rejonie analizowanego modu jest konstrukcyjny – wykres imag ( H −jk1 (ω 2 )) powinien
przyjmować wartości stałe, czy raczej wiskotyczny – wykres imag ( H −jk1 (ω 2 )) jest funkcją
liniową, ale nie stałą.
Specyfika tej metody polega na dopasowywaniu linii prostej do zestawu danych
eksperymentalnych, co jest łatwiejsze do implementacji programistycznej niż dopasowanie
okręgu. Dodatkowo przy dopasowywaniu linii prostej większe znaczenie mają punkty
położone dalej od częstotliwości rezonansowej, co pozwala zmniejszyć błędy oszacowania
parametrów modalnych, pochodzące z przecieków widma FRF i błędów pomiaru odpowiedzi
konstrukcji mostowej na wymuszenie, zlokalizowanych dokładnie przy częstotliwości
rezonansowej.
źródło:
Jarosław Zwolski, Wyznaczanie cech dynamicznych konstrukcji mostowych za pomocą
wzbudników drgań, Rozprawa doktorska, Instytut Inżynierii Lądowej Politechniki
Wrocławskiej, Wrocław, 2007.