Prawdopodobieństwo

Prawdopodobnie najlepsi
Zimowe Powtórki Maturalne
22 lutego 2016 r.
Na pocz¡tek troch¦ statystyki
I
Oblicz ±redni¡ arytmetyczn¡ danych liczb:
8, 9, 9, 9, 9, 5, 7, 9, 9, 7, 7.
Na pocz¡tek troch¦ statystyki
I
Oblicz ±redni¡ arytmetyczn¡ danych liczb:
8, 9, 9, 9, 9, 5, 7, 9, 9, 7, 7.
I
Znajd¹ median¦ i dominant¦ danych liczb:
9, 5, 7, 0, 7, 5, 0, 9, 7, 7, 0.
Na pocz¡tek troch¦ statystyki
I
Oblicz ±redni¡ arytmetyczn¡ danych liczb:
8, 9, 9, 9, 9, 5, 7, 9, 9, 7, 7.
I
Znajd¹ median¦ i dominant¦ danych liczb:
9, 5, 7, 0, 7, 5, 0, 9, 7, 7, 0.
I
Znajd¹ dominant¦ i median¦ danych liczb:
6, 6, 4, 8, 8, 9, 9, 10, 6, 4.
Na pocz¡tek troch¦ statystyki
I
Ucze« ma 8 ocen z biologii i ich ±rednia arytmetyczna jest
równa 3. O ile wzro±nie ta ±rednia, je±li otrzyma on jeszcze
dwie oceny czwórk¦ i szóstk¦.
Na pocz¡tek troch¦ statystyki
I
Ucze« ma 8 ocen z biologii i ich ±rednia arytmetyczna jest
równa 3. O ile wzro±nie ta ±rednia, je±li otrzyma on jeszcze
dwie oceny czwórk¦ i szóstk¦.
I
W klasach IIa licz¡cej 27 osób i IIb licz¡cej 18 osób
przeprowadzono sprawdzian ze statystyki. ‘rednia ocen ze
sprawdzianu w klasie IIa wynosiªa 4, a w klasie IIb 3,5.
Oblicz ±redni¡ ocen ze sprawdzianu w obu klasach.
Na pocz¡tek troch¦ statystyki
I
Teleturniej skªaa si¦ z trzech konkurencji ocenianych w skali od
0 do 10. Ostateczny wynik jest ±redni¡ wa»on¡ poszczególnych
wyników. Który zawodnik wygraª teleturniej?
Waga
Kuba
Paweª
Marek
2
8
10
8
3
5
5
10
5
10
8
5
Prawdopodobie«stwo
Zbiór zdarze« elementarnych Ω jest zbiorem wszystkich
mo»liwych wyników eksperymentu losowego lub próby losowej.
Prawdopodobie«stwo
Zbiór zdarze« elementarnych Ω jest zbiorem wszystkich
mo»liwych wyników eksperymentu losowego lub próby losowej.
Zdarzenie losowe to pewien zbiór mo»liwych wyników danego
eksperymentu. Jest to podzbiór zbioru Ω.
Prawdopodobie«stwo
Zbiór zdarze« elementarnych Ω jest zbiorem wszystkich
mo»liwych wyników eksperymentu losowego lub próby losowej.
Zdarzenie losowe to pewien zbiór mo»liwych wyników danego
eksperymentu. Jest to podzbiór zbioru Ω.
Prawdopodobie«stwem P(A) zaj±cia zdarzenia A nazywa si¦
stosunek liczby zdarze« elementarnych sprzyjaj¡cych zdarzeniu A do
liczby wszystkich mo»liwych zdarze« elementarnych nale»¡cych do
zbioru Ω. Denicja ta zakªada wi¦c nie wprost, i» wszystkie
zdarzenia elementarne wzajemnie si¦ wykluczaj¡, a ich wyst¡pienia
s¡ równie mo»liwe.
|A|
P(A) =
|Ω|
Prawdopodobie«stwo
Wªasno±ci prawdopodobie«stwa:
I
P(∅) = 0 oraz P(Ω) = 1,
Prawdopodobie«stwo
Wªasno±ci prawdopodobie«stwa:
I
P(∅) = 0 oraz P(Ω) = 1,
I
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B),
Prawdopodobie«stwo
Wªasno±ci prawdopodobie«stwa:
I
P(∅) = 0 oraz P(Ω) = 1,
I
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B),
I
P(A0 ) = 1 − P(A),
Prawdopodobie«stwo
Wªasno±ci prawdopodobie«stwa:
I
P(∅) = 0 oraz P(Ω) = 1,
I
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B),
I
P(A0 ) = 1 − P(A),
I
je»eli A ⊆ B , to P(B \ A) = P(B) − P(A),
Prawdopodobie«stwo
Wªasno±ci prawdopodobie«stwa:
I
P(∅) = 0 oraz P(Ω) = 1,
I
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B),
I
P(A0 ) = 1 − P(A),
I
je»eli A ⊆ B , to P(B \ A) = P(B) − P(A),
I
zdarzenia A i B s¡ niezale»ne, gdy
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Prawdopodobie«stwo
Wªasno±ci prawdopodobie«stwa:
I
P(∅) = 0 oraz P(Ω) = 1,
I
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B),
I
P(A0 ) = 1 − P(A),
I
je»eli A ⊆ B , to P(B \ A) = P(B) − P(A),
I
zdarzenia A i B s¡ niezale»ne, gdy
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
I
prawdopodobie«stwo warunkowe:
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
Zadania
I
O zdarzeniach losowych A i B wiemy, »e P(A) = 0, 5,
P(B) = 0, 3 i P(A ∪ B) = 0, 7. Oblicz prawdopodobie«stwo
zdarzenia A ∩ B .
Zadania
I
I
O zdarzeniach losowych A i B wiemy, »e P(A) = 0, 5,
P(B) = 0, 3 i P(A ∪ B) = 0, 7. Oblicz prawdopodobie«stwo
zdarzenia A ∩ B .
Oblicz P(A ∪ B) i P(A \ B) wiedz¡c, »e P(A) = 14 , P(B) =
oraz A ∩ B jest zdarzeniem niemo»liwym.
2
3
Zadania
I
I
I
O zdarzeniach losowych A i B wiemy, »e P(A) = 0, 5,
P(B) = 0, 3 i P(A ∪ B) = 0, 7. Oblicz prawdopodobie«stwo
zdarzenia A ∩ B .
Oblicz P(A ∪ B) i P(A \ B) wiedz¡c, »e P(A) = 14 , P(B) =
oraz A ∩ B jest zdarzeniem niemo»liwym.
Oblicz prawdopodobie«stwo zdarzenia A, je»eli
9P(A) · P(A0 ) = 2.
2
3
Zadania
I
I
O zdarzeniach losowych A i B wiemy, »e P(A) = 0, 5,
P(B) = 0, 3 i P(A ∪ B) = 0, 7. Oblicz prawdopodobie«stwo
zdarzenia A ∩ B .
Oblicz P(A ∪ B) i P(A \ B) wiedz¡c, »e P(A) = 14 , P(B) =
oraz A ∩ B jest zdarzeniem niemo»liwym.
I
Oblicz prawdopodobie«stwo zdarzenia A, je»eli
9P(A) · P(A0 ) = 2.
I
Oblicz P(B \ A), je»eli P(A) =
2
3
i P(A ∪ B) = 98 .
2
3
Zadania
I
Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie wyst¦puj¡ tylko
cyfry 1,3,5,7 oraz
Zadania
I
Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie wyst¦puj¡ tylko
cyfry 1,3,5,7 oraz
I »adna cyfra si¦ nie powtarza,
Zadania
I
Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie wyst¦puj¡ tylko
cyfry 1,3,5,7 oraz
I »adna cyfra si¦ nie powtarza,
I cyfry mog¡ si¦ powtarza¢.
Zadania
I
Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie wyst¦puj¡ tylko
cyfry 1,3,5,7 oraz
I »adna cyfra si¦ nie powtarza,
I cyfry mog¡ si¦ powtarza¢.
I
Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie wyst¦puj¡ tylko
cyfry 0,3,5,7 oraz
Zadania
I
Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie wyst¦puj¡ tylko
cyfry 1,3,5,7 oraz
I »adna cyfra si¦ nie powtarza,
I cyfry mog¡ si¦ powtarza¢.
I
Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie wyst¦puj¡ tylko
cyfry 0,3,5,7 oraz
I »adna cyfra si¦ nie powtarza,
Zadania
I
Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie wyst¦puj¡ tylko
cyfry 1,3,5,7 oraz
I »adna cyfra si¦ nie powtarza,
I cyfry mog¡ si¦ powtarza¢.
I
Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie wyst¦puj¡ tylko
cyfry 0,3,5,7 oraz
I »adna cyfra si¦ nie powtarza,
I cyfry mog¡ si¦ powtarza¢.
Zadania
I
Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie wyst¦puj¡ tylko
cyfry 1,3,5,7 oraz
I »adna cyfra si¦ nie powtarza,
I cyfry mog¡ si¦ powtarza¢.
I
Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie wyst¦puj¡ tylko
cyfry 0,3,5,7 oraz
I »adna cyfra si¦ nie powtarza,
I cyfry mog¡ si¦ powtarza¢.
I
Rzucamy dwa razy kostk¡. Wypisz wyniki sprzyjaj¡ce
zdarzeniom: A suma oczek jest równa 7, B iloczyn oczek
jest równy 6. Oblicz prawdopodobie«stwo zdarze« A, B , A0 ,
B 0 , A ∩ B oraz A ∪ B .
Zadania
I
Ile jest liczb czterocyfrowych, w których pierwsza i ostatnia
cyfra s¡ takie same?
Zadania
I
Ile jest liczb czterocyfrowych, w których pierwsza i ostatnia
cyfra s¡ takie same?
I
W urnie jest 6 kul biaªych, 3 kule czarne i pewna ilo±¢ kul
niebieskich. Oblicz ile jest kul niebieskich, je»eli prawdopodo
bie«stwo wylosowania kuli biaªej z tej urny wynosi 13 .
Zadania
I
Ile jest liczb czterocyfrowych, w których pierwsza i ostatnia
cyfra s¡ takie same?
I
W urnie jest 6 kul biaªych, 3 kule czarne i pewna ilo±¢ kul
niebieskich. Oblicz ile jest kul niebieskich, je»eli prawdopodo
bie«stwo wylosowania kuli biaªej z tej urny wynosi 13 .
I
Spo±ród liczb czterocyfrowych, w których zapisie wykorzystano
tylko cyfry 0 i 1, wylosowano jedn¡ liczb¦. Oblicz
prawdopodobie«stwo, »e dzieli si¦ ona przez trzy.
Zadania
I
Prawdopodobie«stwo wygrania w pewnej loterii co najwy»ej
5zª wynosi 0, 9, natomiast prawdopodobie«stwo wygrania co
najmniej 5zª wynosi 0, 2. Oblicz prawdopodobie«stwo wygrania
dokªadnie 5zª.
Zadania
I
Prawdopodobie«stwo wygrania w pewnej loterii co najwy»ej
5zª wynosi 0, 9, natomiast prawdopodobie«stwo wygrania co
najmniej 5zª wynosi 0, 2. Oblicz prawdopodobie«stwo wygrania
dokªadnie 5zª.
I
Do±wiadczenie polega na dwukrotnym rzucie symetryczn¡
sze±cienn¡ kostk¡ do gry. Oblicz prawdopodobie«stwo
zdarzenia A polegaj¡cego na tym, »e w pierwszym rzucie
otrzymamy parzyst¡ liczb¦ oczek i iloczyn liczb oczek w obu
rzutach b¦dzie podzielny przez 12. Wynik przedstaw w postaci
uªamka zwykªego nieskracalnego.
Zadania
I
Z cyfr 0, 1, 2, 3, 4 ukªadamy wszystkie mo»liwe liczby
trzycyfrowe o ró»nych cyfrach. Ze zbioru takich liczb losujemy
jedn¡ liczb¦. Oblicz prawdopodobienstwo zdarzenia A wybrana liczba trzycyfrowa ma t¦ wªasno±¢, »e cyfry: setek,
dziesi¡tek oraz jedno±ci (w podanej kolejno±ci) tworz¡ ci¡g
arytmetyczny.
Zadania
I
Z cyfr 0, 1, 2, 3, 4 ukªadamy wszystkie mo»liwe liczby
trzycyfrowe o ró»nych cyfrach. Ze zbioru takich liczb losujemy
jedn¡ liczb¦. Oblicz prawdopodobienstwo zdarzenia A wybrana liczba trzycyfrowa ma t¦ wªasno±¢, »e cyfry: setek,
dziesi¡tek oraz jedno±ci (w podanej kolejno±ci) tworz¡ ci¡g
arytmetyczny.
I
Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5} losujemy kolejno trzy razy po
jednej liczbie bez zwracania tworz¡c liczb¦ trzycyfrow¡. Oblicz
prawdopodobie«stwo zdarzenia A otrzymana liczba jest
mniejsza od 432.
Zadania
I
Pewien produkt jest badany dwustopniowo: najpierw
elektronicznie, a potem mechanicznie. Prawdopodobie«stwo,
»e produkt zostanie odrzucony w wyniku kontroli
elektronicznej wynosi 60%. Prawdopodobie«stwo, »e produkt
dopuszczony do kontroli mechanicznej zostanie odrzucony, jest
równe 35%. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e produkt przejdzie
oba etapy kontroli.
Zadania
I
Pewien produkt jest badany dwustopniowo: najpierw
elektronicznie, a potem mechanicznie. Prawdopodobie«stwo,
»e produkt zostanie odrzucony w wyniku kontroli
elektronicznej wynosi 60%. Prawdopodobie«stwo, »e produkt
dopuszczony do kontroli mechanicznej zostanie odrzucony, jest
równe 35%. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e produkt przejdzie
oba etapy kontroli.
I
Prawdopodobie«stwo wykieªkowania ziarna I gatunku jest
równe 90%, prawdopodobie«stwo wykieªkowania ziarna II
gatunku 70%. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e z 3 ziaren co
najmniej 2 wykieªkowaªy, je±li 2 ziarna s¡ II gat., a jedno I gat.
Zadania
I
Pewien produkt jest badany dwustopniowo: najpierw
elektronicznie, a potem mechanicznie. Prawdopodobie«stwo,
»e produkt zostanie odrzucony w wyniku kontroli
elektronicznej wynosi 60%. Prawdopodobie«stwo, »e produkt
dopuszczony do kontroli mechanicznej zostanie odrzucony, jest
równe 35%. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e produkt przejdzie
oba etapy kontroli.
I
Prawdopodobie«stwo wykieªkowania ziarna I gatunku jest
równe 90%, prawdopodobie«stwo wykieªkowania ziarna II
gatunku 70%. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e z 3 ziaren co
najmniej 2 wykieªkowaªy, je±li 2 ziarna s¡ II gat., a jedno I gat.
I
W loterii X zawieraj¡cej 20 losów jeden los jest wygrywaj¡cy, a
w loterii Y zawieraj¡cej 30 losów dwa losy s¡ wygrywaj¡ce. W
której loterii jest wi¦ksze prawdopodobie«stwo wygrania przy
zakupie dwóch losów?