Metody probabilistyczne Zmienna losowa Rodzaje zmiennych

Zmienna losowa
Zmienn losow nazywamy dowoln funkcj X okre lon na
przestrzeni zdarze elementarnych Ω , o warto ciach ze zbioru R
liczb rzeczywistych, maj c nast puj ce warto ci: dla dowolnej
ustalonej liczby rzeczywistej x zbiór zdarze elementarnych ω, dla
których spełniona jest nierówno X(ω) < x, jest zdarzeniem.
Metody probabilistyczne
Wykład 2: Zmienna losowa dyskretna
Małgorzata Kr towska
Wydział Informatyki
Politechnika Białostocka
1
Rodzaje zmiennych losowych
Poj cie dystrybuanty
Dystrybuanta zmiennej losowej X - funkcja okre lona na całym
zbiorze liczb rzeczywistych:
F(x) = P(X<x), x ∈ R
Rodzaje zmiennych losowych
Zmienna dyskretna (skokowa)
2
Zmienna ci gła
Funkcje opisuj ce rozkład zmiennej: Funkcje opisuj ce rozkład zmiennej:
funkcja rozkładu prawdopodobie stwa
funkcja g sto ci
dystrybuata
dystrybuanta
Podstawowe własno ci:
• 0 ≤ F(x) ≤ 1, dla ka dego x ∈R
• limx→-∞ F(x)=0 i limx→+∞ F(x)=1
• funkcja niemalej ca
• jest funkcj lewostronnie ci gł , czyli
F(x0-0) = F(x0), dla ka dego x∈R
3
4
Funkcje opisuj ce rozkład zmiennej losowej
dyskretnej
Zmienna losowa dyskretna
Zmienna losowa jest typu dyskretnego, je eli istnieje sko czony albo
przeliczalny zbiór Wx={x1, x2, ..., xn} jej warto ci taki, e
P(X=xi) = pi, i ∈ N
Σi=1 pi = 1
gdzie górna granica sumowania wynosi n (zbiór sko czony) lub ∞
(zbiór przeliczalny).
• Funkcja rozkładu prawdopodobie stwa:
p(xi) = P(X=xi) = pi
lub
Przykłady:
xi
x1
x2
...
xn
...
pi
p1
p2
...
pn
...
• Dystrybuanta
F(x) = P(X<x) =Σ-∞<x(i)<x pi
np. F(x2) = P(X<x2) = p1
5
Rozkłady zmiennej losowej dyskretnej (1)
Rozkłady zmiennej losowej dyskretnej (2)
• Rozkład równomierny (jednostajny)
xi
x1
x2
...
xn
pi
1/n
1/n
...
1/n
• Rozkład Bernoulliego (dwumianowy, binomialny)
n k n−k
P( X = k ) =
p q = Cnk p k q n − k
k
gdzie k - liczba sukcesów w n próbach
p - prawdopodobie stwo sukcesu
q = 1-p
Interpretacja: prawdopodobie stwo k sukcesów w n próbach
• Rozkład zero-jedynkowy
xi
0
1
pi
q
p
6
gdzie q=1-p
7
8
Rozkłady zmiennej losowej dyskretnej (3)
Rozkłady zmiennej losowej dyskretnej (4)
• Rozkład ujemny dwumianowy (rozkład Pascala)
Pp ,l ( k ) =
k − 1 l k −l
p q = Ckl −−11 p l q k −l
l −1
• Rozkład hipergeometryczny
q=1-p
P( X = k ) =
Interpretacja: prawdopodobie stwo, e l-ty sukces nast pi w k-tej
próbie.
gdzie:
• Rozkład geometryczny (Rozkład ujemny dwumianowy gdy l=1)
Pp(k) = p (1- p)k-1
9
Rozkłady zmiennej losowej dyskretnej (5)
• Rozkład Poissona (rzadkich zdarze )
P( X = k ) = e
N −M
k
n−k
N
n
=
CMk C Nn −−kM
C Nn
k- liczba sukcesów (np. wylosowanie elementu maj cego cech A)
n- liczba prób
M- liczba elementów maj cych cech A
N - liczba wszystkich elementów
Interpretacja: prawdopodobie stwo k sukcesów w n próbach
Interpretacja: prawdopodobie stwo, e pierwszy sukces nast pi w
k-tej próbie.
−λ
M
λk
k!
gdzie k=0, 1, 2. ...; λ=np.
Interpretacja: prawdopodobie stwo k sukcesów w n próbach.
Rozkład Poissona jest przybli eniem rozkładu Bernoulliego dla
du ych prób:
n k n−k
λk
lim
p q = e −λ
n →∞ k
k!
W praktyce wykorzystujemy go, gdy: n ≥ 50, p ≤ 0.1; np ≤ 10
11
10