Edudu.pl - Pole trójkąta

Ściąga eksperta
Pole trójkąta - wszystkie wzory
Podstawowy wzór, który pozwoli policzyć pole trójkąta:
P=1/2∙a∙h
gdzie a jest długością podstawy danego trójkąta; h jest długością wysokości padającą na tą podstawę
Jeżeli znasz z kolei długości wszystkich boków trójkąta, to możesz obliczyć pole takiego trójkąta (nie wyznaczając długości wysokości)
stosując wzór Herona:
liczymy połowę obwodu tego trójkąta:
p = (a + b + c)/2
liczymy pole stosując wzór Herona:
P=
√(p ∙ (p - a) ∙ (p - b) ∙ (p - c) )
Przykład 1.
Oblicz pole trójkąta o bokach długości: 5 cm, 4 cm, 7 cm
na początku liczymy połowę obwodu danego trójkąta:
p = (a + b + c)/2 = (5 + 4 + 7)/2 = 8 cm
wzór Herona:
P = √(p ∙ (p - a) ∙ (p - b) ∙ (p - c) ) = √(8 ∙ (8 - 5) ∙ (8 - 4) ∙ (8 - 7) ) = √(8 ∙ 3
∙ 4 ∙ 1) = √96 = 4√6 cm2
Jeżeli znasz długości dwóch boków i miarę kąta zawartego między tymi bokami, to pole trójkąta możesz policzyć ze wzoru:
P = 1/2 ∙ a ∙ b ∙ sinα
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 1/5
Ściąga eksperta
pole dowolnego trójkąta jest połową iloczynu długości dwóch jego boków i sinusa kąta zawartego między tymi bokami
Przykłąd 2.
Oblicz pole trójkąta:
pole jest połową iloczynu długości dwóch boków i sinusa kąta zawartego między tymi bokami
P = 1/2 ∙ 12 cm ∙ 9√2 cm ∙ sin30° = 6 ∙ 9√2 ∙ 1/2 = 27√2 cm2
sin30° = 1/2
Przypomnę, że użyte w tym wzorze sin 30°=1/2 – wartość odczytana z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów: 30°,45°,60°. Kolejny wzór, który chcę Ci przedstawić będzie wykorzystywał długość promienia okręgu opisanego na dowolnym trójkącie R oraz długości
boków trójkąta, otóż:
P = (a ∙ b ∙ c)/(4 ∙ R)
Pole trójkąta jest ilorazem iloczynu długości boków przez poczwórną długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 2/5
Ściąga eksperta
Przykłąd 3.
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 3/5
Ściąga eksperta
Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym o podstawie długości 12 cm i ramionach długości 10 cm.
wysokość w trójkącie równoramiennym podzieliła podstawę na dwa odcinki po 6 cm
obliczając pole tego trójkąta z twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość wysokości:
h2 = 102 - 62 = 64 ⇒ h = 8 cm
P = 1/2 ∙ a ∙ h = 1/2 ∙ 12 ∙ 8 = 48 cm2
P = (a ∙ b ∙ c)/(4 ∙ R)
P = (a ∙ b ∙ c)/(4 ∙ R) / 4 R ⇒ 4 PR = a ∙ b ∙ c ⇒ R = (a ∙ b ∙ c)/(4 ∙ P)
R = (12 ∙ 10 ∙ 10)/(4 ∙ 48) = 1200/192 = 6,25 cm
długość promienia okręgu opisanego na trójkącie wynosi
6,25 cm
wzór na pole trójkąta wykorzystujący promień okręgu wpisanego w dowolny trójkąt to:
P=p∙r
p = (a + b + c)/
gdzie
2 jest polową obwodu trójkąta
r-długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt
Przykład 4.
Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt o bokach długości 3 cm, 4 cm i 5 cm
podany trójkąt jest prostokątny (52 = 42 + 32)
jego pole to połowa iloczynu długości przyprostokątnych:
P = 1/2 ∙ 3 ∙ 4 = 6 cm2
p = (3 + 4 + 5)/2 = 6 cm
P = p ∙ r ⇒6 ∙ r = 6 ⇒ r = 1 cm
Pkoła = π ∙ r2 = π cm2
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 4/5
Ściąga eksperta
jeżeli mamy dany trójkąt równoboczny o boku długości a to wysokość obliczamy ze wzoru
h = (a√3)/2
P = (a2 ∙ √3)/4
wysokość trójkąta równobocznego wynosi 9; oblicz jego pole
h = (a√3)/2
(a√3)
/2 = 9 ⇒ a = 6√3
(a² ∙ √3)
P=
/4 = (6√3² ∙ √3)/4 = 27√3
pole trójkąta wynosi 27√3 jednostek kwadratowych
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
Strona 5/5