Prawo powszechnego ciążenia - Open AGH e

Prawo powszechnego ciążenia
Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński
Rozważania dotyczące grawitacji rozpoczniemy od prostego przykładu.
PRZYKŁAD
Przykład 1: Stosunek przyspieszeń
Obliczmy stosunek przyspieszenia dośrodkowego Księżyca w kierunku Ziemi do przyspieszenia grawitacyjnego przy
powierzchni Ziemi. Przyspieszenie dośrodkowe w ruchu jednostajnym po okręgu możemy obliczyć na podstawie równania
Ruch jednostajny po okręgu-( 5 )
aK =
4π 2 R K
T2
(1)
gdzie RK = 3.86 ⋅ 105 km jest odległością od Ziemi do Księżyca. Okres obiegu Księżyca wokół Ziemi wynosi T = 27.3 dnia.
Otrzymujemy więc aK = 2.73 ⋅ 103 m/s 2 . Natomiast w pobliżu powierzchni Ziemi przyspieszenie wynosi 9.8 m/s 2 .
Stosunek tych przyspieszeń
aK
g
=
1
3590
≃ ( 601 )2
(2)
Ponieważ promień Ziemi wynosi RZ = 6300 km to zauważmy, że w granicach błędu
aK
g
=
RZ 2
RK2
(3)
Newton wykonał takie obliczenia i wyciągnął wniosek, że siła przyciągania między dwoma masami (między ich środkami) maleje
odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości między nimi. Ponadto zauważył, że skoro istnieje siła przyciągania pomiędzy
dowolnym ciałem i Ziemią, to musi istnieć siła przyciągania między każdymi dwoma masami m 1 i m 2 . Na tej podstawie i w oparciu
o liczne obserwacje astronomiczne dokonane przez jego poprzedników min. Kopernika, Galileusza, Keplera, Newton
sformułował w 1687 r prawo powszechnego ciążenia.
PRAWO
Prawo 1: Prawo powszechnego ciążenia
Każde dwa ciała o masach m 1 i m 2 przyciągają się wzajemnie siłą grawitacji wprost proporcjonalną do iloczynu mas, a
odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi.
F =G
m1 m2
r2
(4)
To jest prawo powszechne, ponieważ stosuje się do wszystkich sił grawitacyjnych; np. wyjaśnia spadanie ciał na Ziemię, ale też
tłumaczy ruch planet.
Wartość współczynnika proporcjonalności G, nazywanego stałą grawitacji, Newton oszacował stosując równanie (4) do siły
działającej między Ziemią, a ciałem o masie m . Zgodnie z drugą zasadą dynamiki
G
MZ m
RZ 2
= mg
(5)
gR Z 2
MZ
(6)
skąd
G=
gdzie RZ jest promieniem Ziemi. Masę Ziemi m Z Newton obliczył zakładając średnią gęstość Ziemi równą ρZ = 5 ⋅ 103 kg/m 3
(dla porównania gęstość żelaza, głównego składnika masy Ziemi, wynosi ρFe = 7.9 ⋅ 103 ·kg/m 3 , a gęstość krzemu,
podstawowego składnika skorupy ziemskiej, wynosi ρSi = 2.8 ⋅ 103 kg/m 3 ). Uwzględniając RZ = 6.37 ⋅ 106 m.
Newton otrzymał wartość G = 7.35 ⋅ 10−11 Nm 2 /kg 2 co jest wartością tylko o 10% większą niż ogólnie dzisiaj przyjmowana
wartość 6.67 ⋅ 1011 Nm 2 /kg 2 . Wartość stałej Gobliczonej przez Newtona jest obarczona błędem wynikającym z przyjętej średniej
wartości gęstości Ziemi.
Żeby wyznaczyć stałą G w laboratorium niezależnie odmasy Ziemi i tym samym uniknąć błędu związanego z szacowaniem
gęstości Ziemi trzeba by zmierzyć siłę oddziaływania dwóch mas m 1 i m 2 umieszczonychw odległości R. Wówczas
G=
Fr2
m1 m2
(7)
Zauważmy jednak, że przykładowo dla mas każda po 1 kg oddalonych odsiebie o 10 cm siła F ma wartość F = 6.67 ⋅ 10−9 N i
jest za mała by ją dokładnie zmierzyć standardowymi metodami.
Problem pomiaru tak małej siły rozwiązał Cavendish. Jego opis znajduje się w module Doświadczenie Cavendisha.
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne
prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod
warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko
na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Czas generacji dokumentu: 2015-06-17 10:45:53
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php?
link=f2cd9d0dba056b4cf1f4091a0fdde562
Autor: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński