Matematyka 1 (Wydziaª Architektury)

Matematyka 1 (Wydziaª Architektury)
Najwa»niejsze caªki
Funkcja f (x)
Caªka
R
f (x)dx (bez staªej)
c (staªa)
cx
x
x2
2
xα (α 6= −1)
xα+1
α+1
1
x
x
ln |x|
ax
ln a
x
a
ex
e
sin x
− cos x
cos x
sin x
1
cos2 x
1
sin2 x
√ 1
1−x2
1
1+x2
tg x
− ctg x
arcsin x
arctg x
Caªkowanie przez cz¦±ci
Z
Z
0
f (x)g 0 (x)dx.
f (x)g(x)dx = f (x)g(x) −
Z
b
0
f (x)g(x)dx =
[f (x)g(x)]ba
Z
−
a
b
f (x)g 0 (x)dx.
a
Caªkowanie przez podstawianie
Z
t = g(x)
0
f (g(x))g (x)dx = dt = g 0 (x)dx
Z
= f (t)dt = . . .
lub
Z
x = h(t)
f (x)dx = dx = h0 (t)dt
Z
= f (h(t))h0 (t)dt = . . .
Przy caªce nieoznaczonej pami¦tamy, by na koniec wróci¢ do pierwotnej zmiennej.
Przy caªce oznaczonej pami¦tamy, by zmieni¢ równie» granice caªkowania.
Matematyka 1 (Wydziaª Architektury)
Zastosowania geometryczne caªek
I Pole gury ograniczonej dwoma wykresami funkcji ({x ∈ [a, b], f (x) ≤ y ≤ g(x)}):
Z
b
(g(x) − f (x))dx
S=
a
II Pole obszaru ograniczonego krzyw¡ we wspóªrz¦dnych biegunowych (0 ≤ r ≤ f (ϕ), ϕ ∈ [a, b]):
1
S=
2
Z
b
(f (ϕ))2 dϕ
a
III Dªugo±¢ krzywej zadanej równaniem y = f (x), x ∈ [a, b]:
Z bp
1 + (f 0 (x))2 dx
L=
a
IV Dªugo±¢ krzywej zadanej parametrycznie (x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b]):
Z bp
L=
(x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt
a
V Dªugos¢ krzywej zadanej we wspóªrz¦dnych biegunowych (r = f (ϕ); ϕ ∈ [a, b]):
Z bp
L=
(f (ϕ))2 + (f 0 (ϕ))2 dϕ
a
VI Obj¦to±¢ (V ) i pole powierzchni (Σ) bryªy powstaªej przez obrót gury {x ∈ [a, b]; 0 ≤ y ≤ f (x)}
• wokóª osi poziomej (OX ):
Z
b
(f (x))2 dx
V =π
a
b
Z
p
f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx
Σ = 2π
a
• wokóª osi pionowej (OY ):
Z
V = 2π
b
xf (x)dx
a
Z
Σ = 2π
a
b
p
x 1 + (f 0 (x))2 dx