Wykorzystanie całek oznaczonych w geometrii (wzory)

Wykorzystanie całek oznaczonych w geometrii
(wzory)
Beata Wysocka
17 marca 2013
1
1.1
Wzory dla funkcji f określonej:
y = f (x), x ∈ [a, b].
Pole pod wykresem funkcji.
|P | =
Zb
f (x)dx
a
Założenia: funkcja f jest ciągła i nieujemna na [a, b].
1.2
Objętość bryły powstałej z obrotu wykresu funkcji wokół
osi OX.
|V | = π
Zb
f 2 (x)dx
a
Założenia: funkcja f jest ciągła i nieujemna na [a, b].
1.3
Objętość bryły powstałej z obrotu wykresu funkcji wokół
osi OY .
|V | = 2π
Zb
xf (x)dx
a
Założenia: funkcja f jest ciągła i nieujemna na [a, b], a ≥ 0.
1
1.4
Długość krzywej będącej wykresem funkcji.
|L| =
Zb q
1 + (f 0 (x))2 dx
a
Założenia: funkcja f ma ciągłą pochodną na [a, b].
1.5
Pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji
wokół osi OX.
|S| = 2π
Zb
q
f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx
a
Założenia: funkcja f jest nieujemna na [a, b] i ma ciągłą pochodną na tym
przedziale.
1.6
Pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji
wokół osi OY .
|S| = 2π
Zb q
x 1 + (f 0 (x))2 dx
a
Założenia: funkcja f ma ciągłą pochodną na [a, b], a ≥ 0.
2
Wzory dla krzywej w postaci parametrycznej.
Krzywa dana jest równaniami parametrycznymi:
(
x = x(t)
y = y(t)
t ∈ [α, β]
2.1
Pole pod krzywą.
|P | =
Zβ
|x0 (t)|y(t)dt
α
Założenia: funkcje
x0
oraz y są ciągłe na [α, β], y jest nieujemna na tym
przedziale.
2
2.2
Objętość bryły powstałej z obrotu krzywej wokół osi OX.
|V | = π
Zβ
|x0 (t)|y 2 (t)dt
α
Założenia: funkcje
2.3
x0
oraz y są ciągłe na [α, β], y jest nieujemna na tym
przedziale.
Objętość bryły powstałej z obrotu krzywej wokół osi OY .
|V | = 2π
Zβ
x0 (t)x(t)y(t)dt
α
Założenia: funkcje x, x0 , y są ciągłe i nieujemne na [α, β].
2.4
Długość krzywej.
|L| =
Zβ q
(x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt
α
Założenia: funkcje x0 oraz y 0 są ciągłe na [α, β]
2.5
Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej wokół
osi OX.
|S| = 2π
Zβ
q
y(t) (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt
α
Założenia: funkcje
2.6
y0,
x0
oraz y są ciągłe na [α, β], y jest nieujemna.
Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej wokół
osi OY .
|S| = 2π
Zβ
q
x(t) (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt
α
Założenia: funkcje x, x0 , y 0 są ciągłe i nieujemne na [α, β].
3
3
Wzory dla krzywej określonej współrzędnymi
biegunowymi.
Krzywa dana jest równaniem biegunowym:
r = g(ϕ)
ϕ ∈ [α, β]
3.1
Pole obszaru ograniczonego krzywą.
1
|S| =
2
Zβ
g 2 (ϕ)dϕ
α
Założenia: g jest funkcją ciągłą na [α, β].
3.2
Objętość bryły powstałej z obrotu krzywej wokół osi OX.
|V | = π
Zβ
(g 0 (ϕ)cosϕ − g(ϕ)sinϕ)g 2 (ϕ)sin2 ϕdϕ
α
Założenia: g i g 0 są ciągłe na [α, β].
3.3
Objętość bryły powstałej z obrotu krzywej wokół osi OY .
|V | = 2π
Zβ
(g 0 (ϕ)cosϕ − g(ϕ)sinϕ)g 2 (ϕ)sinϕcosϕdϕ
α
Założenia: g i g 0 są ciągłe na [α, β].
3.4
Długość krzywej.
|L| =
Zβ q
g 2 (ϕ) + (g 0 (ϕ))2 dϕ
α
Założenia: g i g 0 są ciągłe na [α, β].
4
3.5
Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej wokół
osi OX.
|S| = 2π
Zβ
q
g(ϕ)sinϕ g 2 (ϕ) + (g 0 (ϕ))2 dϕ
α
Założenia: g i g 0 są ciągłe na [α, β].
3.6
Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej wokół
osi OY .
|S| = 2π
Zβ
q
g(ϕ)cosϕ g 2 (ϕ) + (g 0 (ϕ))2 dϕ
α
Założenia: g i g 0 są ciągłe na [α, β].
4
Wyprowadzanie wzorów
Wzory dla krzywych w postaci parametrycznej oraz biegunowej można wyprowadzić na podstawie wzorów dla postaci y = f (x).
4.1
Algorytm dla postaci parametrycznej.
Mamy funkcję postaci y = f (x). Podstawiamy x = t, z tego mamy y = f (t).
Otrzymujemy funkcję w postaci parametrycznej :
(
x = x(t) = t
y = y(t) = f (t)
Ponadto należy zauważyć, że:
x0 (t)dt = dx
oraz
y 0 (t)dt = f 0 (x)dx
. Znając te równości można do wzorów dla funkcji y = f (x) podstawić:
• x(t) w miejsce x,
• x0 (t)dt w miejsce dx,
• y(t) w miejsce f (x),
•
y 0 (t)
x0 (t)
w miejsce f 0 (x).
5
4.2
Algorytm dla postaci biegunowej.
Możemy skorzystać z faktu:
(
x = rcosϕ = g(ϕ)cosϕ
y = rsinϕ = g(ϕ)sinϕ
Otrzymaliśmy postać parametryczną. Możemy więc skorzystać z poprzednich własności zamieniając:
• g(ϕ)cosϕ z x(t),
• g(ϕ)sinϕ z y(t),
• dϕ z dt,
• (g 0 (ϕ)cosϕ − g(ϕ)sinϕ) z x0 (t),
• (g 0 (ϕ)sinϕ + g(ϕ)cosϕ) z y 0 (t).
6