Geometria algebraiczna. Dodawanie na krzywych stopnia

Geometria algebraiczna. Dodawanie na krzywych stopnia 3.
W poniższych zadaniach mówimy o krzywych nad ciaÃlem C
1. ZaÃlóżmy, że element neutralny O dziaÃlania grupowego na krzywej C jest
jej punktem przegie, cia. Uzasadnić, że wówczas
• Dla dowolnych P, Q, R ∈ C zachodzi P + Q + R = O ⇔ punkty P, Q
i R sa, wspóÃlliniowe.
• P 6= O ma rza,d 2 (tzn. P + P = O) ⇔ styczna do C w P przechodzi
przez O.
• P 6= O ma rza,d 3 (tzn. P +P +P = O) ⇔ P jest punktem przegie, cia
krzywej C.
2. Rozważmy krzywa, Y 2 Z − X 3 = 0 z usunie, tym punktem osobliwym (0 :
0 : 1) oraz leża,cy na niej punkt O = (0 : 1 : 0). Pokazać bezpośrednim
rachunkiem, że (1 : 1 : 1) + (2 : 1 : 8) = (3 : 1 : 27) oraz (2 : 1 : 8) + (2 :
1 : 8) = (4 : 1 : 64). Wykazać naste, pnie ogólny wzór (s : 1 : s3 ) + (t : 1 :
t3 ) = (s + t : 1 : (s + t)3 ) i wywnioskować, że grupa punktów omawianej
krzywej jest izomorficzna z (C, +).
3. Rozważmy krzywa, X 3 + Y 3 − XY Z = 0 z usunie, tym punktem osobliwym (0 : 0 : 1) oraz leża,cy na niej punkt O = (1 : −1 : 0). Pokazać
bezpośrednim rachunkiem, że (−1 : −1 : −2) + (2 : −4 : 7) = (2 : 4 : 9)
oraz (−1 : −1 : −2) + (−1 : −1 : −2) = (1 : −1 : 0). Wykazać naste, pnie
ogólny wzór (s : −s2 : s3 − 1) + (t : −t2 : t3 − 1) = (st : −(st)2 : (st)3 − 1)
i wywnioskować, że grupa punktów omawianej krzywej jest izomorficzna
z (C∗ , ·).
4. Niech krzywa C ma równanie y 2 = x3 − 43x + 166 i niech O = (0 : 1 : 0).
Wyliczyć, że P = (3, 8) (czyli (3 : 8 : 1) jest elementem rze, du 7.