Zadanie 5: Darń

Zadanie 1: Darń
Na rysunku
zaznaczono szarym kolorem obszar trawnika.
y [m]
D
A
O
B
x [m]
C
Interesuje nas przybliżoną wartość jego pola powierzchni.
Przyjmijmy, że w punkcie A jest początek układu współrzędnych, zaś krzywa COD opisana
jest wzorem f(x)= x2 – 36.
a) Szary obszar z rysunku należy wyłożyć darnią. Przyjmujemy, że darń jest sprzedawana w
rolkach o szerokości 0,5 m i długości 4 m. Ile co najmniej rolek należy zakupić, aby
pokryć ten obszar dla AB = 10 m.
b) Oblicz pole , gdy B znajdzie się w punktach (6 , 0) i (20 , 0).
Zadanie 2: Pierwiastek kwadratowy [m. Newtona-Raphsona]
Do wyznaczania pierwiastka kwadratowego liczby dodatniej można wykorzystać m.in.
metodę Newtona-Raphsona. Zakłada ona, że postawiony problem jest identyczny z
problemem, w którym należy szukać długości boku kwadratu o znanym polu powierzchni.
Pole kwadratu wyraża się wzorem: A = a * a
co daje a = A/a
i w konsekwencji
A/a - a = 0.
W ten sposób otrzymano test, który pozwala sprawdzić czy bok o długości a jest bokiem
kwadratu o polu A.
Na początku niech a stanie się A/2. Jeżeli ta wartość nie przejdzie testu należy wyznaczyć
kolejną długość boku a. Czynność tę będziemy powtarzać aż w końcu a będzie równe A/a.
Metoda NR zakłada, że kolejne przybliżenia długości a będą wyznaczane przez średnia
arytmetyczną aktualnej długości boku a i długości drugiego boku A/a. Dzięki temu w każdym
kroku kształt prostokąta o długościach boków a i A/a będzie coraz bardziej przypominał
kwadrat.
Jak już wcześniej wspomniałem przybliżenia będą trwały tak długo, jak długo A/a nie
będzie równe a. W metodach numerycznych zakłada się oczekiwaną dokładność wyniku.
Zazwyczaj oznacza się ją litrą ε (epsilon). Mówi ona kiedy otrzymany wynik nas
satysfakcjonuje (nie potrzebny nam dokładniejszy wynik). W związku z tym w kodzie
programu, który znajduje się poniżej, test
A/a - a = 0
został zamieniony na
|A/a - a| < eps
Nowy test sprawdza czy długości dwóch boków prostokąta różnią się o wartość mniejszą niż
założony błąd bezwzględny (epsion).
Przykład dla liczby 9 i dokładności 0,5
a = 9/2 = 4,5,
|4,5 - 2| > 0,5
a = (9/4,5 +4,5)/2 = 6,5/2 = 3,25,
|3,25 - 4,5| > 0,5
a = (9/3,25 + 3,25)/2 = 3,009615,
|3,009615 - 3.25| <0,5
w tym momencie różnica między poprzednim wynikiem a aktualnym mieści się w założonej
dokładności. Tu przerywamy obliczenia. Naszym wynikiem jest 3,009615. Przy tak dużym
błędzie jaki sobie założyłem to i tak wynik jest przyzwoity.
POLECENIE:
Napisz program w c++, który jako dana dostanie liczbę rzeczywista X i liczbę rzeczywistą E i
zwróci wartość pierwiastka liczby X z przybliżeniem E policzony metoda N-R.