3. Równanie Bernoulliego dla przepływu płynów doskonałych

3. Równanie Bernoulliego dla przepływu płynów doskonałych
Równanie Bernoulliego wyraża zasadę, że w ruchu ustalonym nieściśliwego płynu idealnego
odbywającym się w polu sił ciężkości, całkowita energia płynu składająca się z energii kinetycznej,
energii potencjalnej ciśnienia i energii położenia jest stała wzdłuż danej linii prądu.
Najczęściej spotykana, algebraiczna postać równania Bernoulliego, wyrażająca zasadę zachowania
energii mechanicznej przedstawia się następująco:
U2
p
+
+ z = const
2g ρ ⋅ g
gdzie:
U2
- wysokość prędkości
2g
p
- wysokość ciśnienia
ρ⋅g
z
- wysokość położenia (wzniesienie)
Niewiadomymi w równaniu są prędkość U i ciśnienie p, gęstość ρ jest znana i niezmienna,
podobnie jak przyspieszenie ziemskie g.
Jeżeli uwzględnimy równanie ciągłości dla przepływu płynów nieściśliwych i przyjmiemy, że
równanie Bernoulliego ważne jest dla średniej linii prądu, otrzymamy:
S1U1 = S2U2 = ... = Q = idem
U 12
p1
U 22
p
+
+ z1 =
+ 2 + z 2 = ... = const
ρ⋅g
ρ⋅g
2g
2g
Rozwiązanie powyższych równań pozwoli nam uzyskać wartości prędkości średniej i ciśnienia
panującego w każdym z przekrojów.
Szczególnym przypadkiem prawa zachowania energii, jest prawo Torricellego, określające
prędkość wypływu cieczy ze zbiornika przez mały otwór w ścianie:
42
U 2 2 pa
U 12 p a
+
+h=
+
γ
γ
2g
2g
gdzie:
γ = ρ ⋅ g - ciężar właściwy w N/m3
Z równania ciągłości dla obu przekrojów mamy:
S
⇒ U 2 = 1 U1
S2
Jeżeli pole przekroju zbiornika jest znacznie większe od pola przekroju wylotu otworu wtedy
możemy pominąć U1 i określić prędkość wypływu U2 jako:
U1 ⋅ S1 = U 2 ⋅ S 2
U 2 = 2 gh
Powyższa zależność została wyznaczona dla przypadku, w którym na powierzchni zbiornika jak i w
przestrzeni do której odbywał się wypływ, panowało ciśnienie atmosferyczne. Prawo Torricellego
można również odnieść do przypadku przepływu cieczy ze zbiornika A do B, w których występują
różne ciśnienia.
 p − pB

U 2 = 2 g  A
+ h 
γ


Wartości prędkości wypływu np. wody i oleju obliczone z prawa Torricellego są takie same,
ponieważ prawo dotyczy przepływu płynu doskonałego i nie uwzględnia strat przepływu
występujących między przekrojami kontrolnymi, spowodowanych lepkością płynu. W przypadku
płynów lepkich prędkość wypływu jest mniejsza od teoretycznej, a związek pomiędzy prędkością
rzeczywistą Urz a teoretyczną przyjęto wyrażać w formie iloczynu:
U rz = α ⋅ U
w którym α jest współczynnikiem prędkości, wartość którego zawiera się w granicach α = 0.96 ÷
0.99.
Bezwładność poruszających się elementów płynu powoduje, że w niewielkiej odległości za
otworem występuje przewężenie strumienia. Zjawisko to nazywane jest kontrakcją strumienia, a
ilościowo określa je bezwymiarowy współczynnik kontrakcji β, będący ilorazem najmniejszego
przekroju strumienia f0 do przekroju otworu f:
f
β= 0.
f
43
Wartość współczynnika kontrakcji uzależniona jest głównie od ostrości krawędzi otworu, a także
od kształtu i usytuowania otworu. Dla otworów kołowych o ostrych krawędziach współczynnik
kontrakcji zawiera się w granicach β = 0.60 ÷ 0.64.
Mniejsze wartości rzeczywistej prędkości wypływu Urz i pola przekroju strumienia f0 powodują, że
i rzeczywisty strumień objętości cieczy wypływającej przez mały otwór jest mniejszy od
teoretycznego. Iloraz rzeczywistego strumienia objętości do strumienia teoretycznego nazywamy
współczynnikiem przepływu:
V&
µ = rz .
V&
W prosty sposób można udowodnić, że:
µ =α ⋅ β .
Wartość współczynnika przepływu przy wypływie z otworu o ostrych krawędziach zależy głównie
od wartości współczynnika kontrakcji i mieści się w granicach µ = 0.60 ÷ 0.62.
PRZYKŁADOWE ZADANIA
Zadanie 3.1 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.1, str. 47)
Obliczyć, z jaką prędkością U1 będzie przepływać woda przez
mały otwór znajdujący się w ściance zbiornika. Nad zwierciadłem
wody w zbiorniku i na wylocie z otworu panuje ciśnienie
atmosferyczne. Otwór znajduje się ma wysokości h = 5 m. Poziom
wody w zbiorniku jest stały.
Dane:
p0 = p1 = pa
h=5m
Wyznaczyć:
U1
Rozwiązanie:
Obierzmy dwa przekroje: 0-0 na powierzchni cieczy oraz 1-1 na wylocie ze zbiornika. Dla tych
dwóch przekrojów ułożymy równanie Bernoulliego. Jako poziom odniesienia przyjmijmy oś
otworu:
U 0 2 p0
U2 p
+
+ z0 = 1 + 1 + z1
2 g ρg
2 g ρg
gdzie p0 = p1 = pa, z0 = h, z1 = 0. W przypadku h = const prędkość U0 = const. Po uwzględnieniu
tych warunków równanie przybierze postać
p
U 2 p
0
+ a +h = 1 + a +0
ρg
2 g ρg
2g
skąd
U 12
m
= h, U1 = 2 gh = 2 ⋅ 9.81 ⋅ 5 = 9.9
2g
s
44
Zadanie 3.2 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.2, str. 48)
Z dużego otwartego zbiornika wypływa woda przez
przewód składający się z dwóch odcinków o średnicach
d1 = 30 mm, d2 = 20 mm. Oś przewodu znajduje się w
odległości h = 4 m od zwierciadła wody w zbiorniku.
Obliczyć prędkości U1, U2 oraz ciśnienia p1 i p2 panujące
w określonych odcinkach przewodu. Ciśnienie
atmosferyczne pa = 100 kN/m2.
Wyznaczyć:
U1, U2, p1, p2
Dane:
d1 = 30 mm
d2 = 20 mm
h=4m
pa=100 kN/m2 =100000 Pa
Rozwiązanie:
Obieramy dwa przekroje: 0-0 na powierzchni wody w zbiorniku i 2-2 na wylocie. Układamy dla
nich równanie Bernoulliego:
U 02
p
p
U 2
+ a +h = 2 + a +0
ρ⋅g
ρ⋅g
2g
2g
W równaniu tym mamy dwie niewiadome prędkości: U0 i U2. W przypadku dużego zbiornika
można przyjąć U0 = 0. Przy tym założeniu znajdziemy:
m
U 2 = 2 gh = 2 ⋅ 9.81 ⋅ 4 = 8.85
s
Prędkość U1 obliczamy z równania ciągłości:
Q1 = Q2
gdzie Q1=(πd1 /4)U1 – strumień objętości w przewodzie o średnicy d1, Q2=(πd22/4)U2 - strumień
objętości w przewodzie o średnicy d2, a więc:
πd12
πd 2
U1 = 2 U 2 ,
4
4
skąd
2
2
2
d 
m
 0.02 
U1 = U 2  2  = 8.85
 = 3.94
s
 0.03 
 d1 
Aby obliczyć ciśnienie p1 w przewodzie o średnicy d1, obieramy dodatkowy przekrój 1-1 i
układamy równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 oraz 1-1:
U 02
p
U 2
p
+ a +h = 1 + 1 +0
ρ⋅g
2g
2g ρ ⋅ g
Z równania tego, przyjmując U0 = 0, znajdziemy p1:
p a U12
p1
= h+
−
ρ⋅g
ρ ⋅ g 2g
p1 = ρ ⋅ g ⋅ h + p a −
= 132.1
kN
m2
ρU12
2
= 1000 ⋅ 9.81 ⋅ 4 + 100000 −
(ciśnienie absolutne)
45
1000 ⋅ 3.94 2
=
2
(nadciśnienie).
lub
p1n = 32100 N/m2
W analogiczny sposób obliczamy ciśnienie p2:
p2 = ρ ⋅ g ⋅ h + pa −
lub p2n = 0
ρU 22
2
= 1000 ⋅ 9.81 ⋅ 4 + 100000 −
kN
1000 ⋅ 8.85 2
= 100
2
m2
(nadciśnienie).
Zadanie 3.3 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.3, str. 48)
Tunel aerodynamiczny z otwartą częścią pomiarową ma wylot o
średnicy d = 500 mm. Do szerokiej części tunelu o średnicy D =
1200 mm podłączono wodny manometr U-rurkowy. Znaleźć
prędkość powietrza U w części pomiarowej tunelu, jeśli wskazanie
manometru wynosi H = 200 mm. Gęstość powietrza ρp = 1.29
kg/m3. Pominąć straty tarcia.
Dane:
d = 500 mm
D = 1200 mm
H = 200 mm
ρp = 1.29 kg/m3
Wyznaczyć:
U
Rozwiązanie:
Obieramy dwa przekroje kontrolne: 1-1 w miejscu podłączenia manometru do szerokiej części
tunelu oraz 2-2 w przestrzeni pomiarowej. Dla tych dwóch przekrojów układamy równanie
Bernoulliego:
pa
U12
p1
U 22
+
=
+
2g ρ p ⋅ g 2g ρ p ⋅ g
W równaniu tym pominięto wysokość położenia z, gdyż obrana struga jest pozioma.
Niewiadomymi wielkościami są U1, U2 i p1.
Z równania ciągłości:
Q1 = Q2
πD 2
4
U1 =
πd 2
4
U2
otrzymujemy:
d
U1 = U 2  
 D
2
Podstawiając wyrażenie na U1 do równania Bernoulliego znajdziemy:
U = U2 =
Różnica ciśnień:
2( p1 − p a )
  d 4 
1 −    ρ p
  D  
p1 − p a = H ⋅ ρ w ⋅ g.
46
Ostatecznie:
U2 =
2g ⋅ H ⋅ ρ w
=
  d 4 
1 −    ρ p
  D  
m
2 ⋅ 9.81 ⋅ 0.2 ⋅ 1000
= 32 .
s
  0.5  4 
1 − 
  ⋅ 1.29
  1.2  
Zadanie 3.4 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.4, str. 48)
Dwa zbiorniki wypełnione wodą połączono
przewodem o średnicy d = 50 mm. Obliczyć
strumień objętości wody przepływającej z lewego
zbiornika do prawego, jeśli różnica poziomów
wody w zbiornikach jest stała i wynosi H = 2.1 m.
Wodę traktować jako płyn idealny (pominąć straty
tarcia).
Dane:
d = 50 mm
H = 2.1 m
Wyznaczyć:
Q1
Rozwiązanie:
Obieramy pierwszy przekrój kontrolny 0-0 na poziomie zwierciadła wody w lewym zbiorniku, a
przekrój drugi 1-1 na wylocie z przewodu do zbiornika prawego. Wprowadzamy dodatkową
niewiadomą h; jest to głębokość zanurzenia wylotu przewodu do zbiornika prawego. Układamy dla
tych przekrojów równanie Bernoulliego. Za poziom odniesienia przyjmujemy poziom wylotu z
przewodu.
U 02
p
U 2 p + hρg
+ a +H +h= 1 + a
+ 0.
ρ⋅g
2g ρ ⋅ g
2g
Jeśli H = const, to prędkość U0 = 0. Otrzymujemy wtedy:
pa
U12 p a + h ⋅ ρ ⋅ g
+H +h=
+
ρ⋅g
2g
ρ⋅g
Po uproszczeniu widzimy, że wprowadzona wielkość h zredukowała się, a prędkość:
U1 = 2 gH .
Strumień objętości:
Q = S ⋅ U1 =
πd 2
4
2 gH =
π ⋅ 0.05 2
4
m3
dm 3
2 ⋅ 9.81 ⋅ 2.1 = 0.0126
= 12.6
s
s
Zadanie 3.5 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.11, str. 50)
W zbiorniku znajduje się woda, która wypływa przez
przewód pionowo do góry. Odległość między
poziomem cieczy w zbiorniku a wylotem H = 2 m.
Nadciśnienie panujące w zbiorniku pn = 50 kN/m2.
Obliczyć prędkość wypływu wody oraz wysokość h na
jaką wzniesie się strumień. Przekrój 2-2 obrany jest na
takiej wysokości, aby prędkość U2 = 0. Wodę traktować
jako płyn idealny (straty tarcia w przewodzie oraz opór
powietrza pominąć). Gęstość wody przyjąć ρ = 1000 kg/m3.
47
Dane:
H= 2 m
pn = 50 kN/m2
U2 = 0
ρ = 1000 kg/m3
Wyznaczyć:
U1, h
Rozwiązanie
a) Dla przekrojów 0-0 i 1-1 z równania Bernoulliego określamy prędkość U1 przy założeniu że
poziom odniesienia znajduje się na poziomie wylotu z przewodu:
p
U 02 p a + p n
U2
+H = 1 + a
+
2g
ρ⋅g
2g ρ ⋅ g
Dla H = const U0 = 0, zatem:
p 

U 1 = 2 g  H + n 
ρ⋅g

b) Wysokość h obliczamy z równania Bernoulliego ułożonego dla przekrojów 1-1 i 2-2:
p
p
U 12
U2
+ a = 2 + a + h,
2g ρ ⋅ g 2g ρ ⋅ g
skąd:
h=
p
U12
50000
= H + n = 2+
≈ 7 m.
ρ⋅g
1000 ⋅ 9.81
2g
Zadanie 3.6 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.15, str. 51)
Woda z lewego zbiornika przepływa przez otwór w bocznej
ściance o średnicy d1 do prawego zbiornika, z którego z kolei
przez otwór o średnicy d2 do atmosfery. Mając stałą różnicę
poziomów wody w zbiornikach H = 1 m oraz głębokość
zanurzenia drugiego otworu h2 = 1.5 m, obliczyć prędkość
przepływu w poszczególnych otworach oraz stosunek średnic.
Wodę traktować jako płyn idealny (pominąć straty tarcia).
Dane:
H =1m
h2 = 1.5 m,
Wyznaczyć:
U1, U2, d1/d2
Rozwiązanie:
Układamy równania Bernoulliego:
a) Dla przekrojów 0-0 i 1-1:
U 02
p
U2 p + ρ ⋅g ⋅h
,
+ a +H +h= 1 + a
ρ⋅g
2g ρ ⋅ g
2g
przy czym U0 = 0, h – założona głębokość położenia otworu o średnicy d1; stąd:
U1 = 2 gH = 2 ⋅ 9.81 ⋅ 1 = 4.4
48
m
,
s
b) Dla przekrojów 3-3 i 2-2
p
U 32
p
U2
+ a + h2 = 2 + a ,
2g ρ ⋅ g
2g ρ ⋅ g
U3 = 0, zatem:
U 2 = 2 gh2 = 2 ⋅ 9.81 ⋅ 1.5 = 5.45
m
s
c) Z równania ciągłości znajdziemy:
d1
U2
=
=
d2
U1
5.45
= 1.11
4 .4
Zadanie 3.7 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.18, str. 52)
Ze zbiornika prostokątnego o przekroju a×b = 2 m ×1.2 m
przez przewód wypływa woda do atmosfery. Wysokość
wody w zbiorniku H = 1.2 m. Średnice przewodu: d1 = 100
mm, d2 = 70 mm, d3 = 50 mm. Określić strumień objętości
wypływającej wody i ciśnienia w przekrojach 1-1 i 2-2.
Płyn jest doskonały (h1 = 0.5 m i h 2 = 2.4 m).
Dane:
a = 2 m, b = 1.2 m
H = 1.5 m
d1 = 100 mm
d2 = 70 mm
d3 = 50 mm
h1 = 0.5 m
h 2 = 2.4 m
Wyznaczyć:
Q, p1, p2
Rozwiązanie:
a) Równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 3-3:
U 02
p
U2
p
+ 0 + ( H + h1 + h2 ) = 3 + 3 .
2g ρ ⋅ g
2g ρ ⋅ g
Ponieważ p0 = p3 = pa, równanie to uprości się do postaci:
U 02
U 32
+ H + h1 + h2 =
.
2g
2g
Z równania ciągłości S0ּU0 = S3ּU3 znajdziemy:
πd 32
S3
.
U0 = U3
= U3
4a ⋅ b
S0
Podstawiamy do równania Bernoulliego:
49
2
u32  πd32 
u2

 + H + h1 + h2 = 3
2 g  4ab 
2g
u32   πd32 

1− 
2 g   4ab 

skąd:
U3 =
2 g (H + h1 + h2 )
=
2
2
 πd 
1−  3 
 4a ⋅ b 


2
= H +h +h ,
1
2


2 ⋅ 9.81(1.5 + 0.5 + 2.4)
 π ⋅ 0.05 2 


1− 

 4 ⋅ 2 ⋅ 1.2 


2
=
86.328
m
= 9.29
0.9999
s
Strumień objętości wyniesie:
QU = S 3 ⋅ U 3 =
πd 32
⋅ U 3 = 0.001963 ⋅ 9.29 = 0.0182
4
b) Prędkości w poszczególnych odcinkach przewodu:
m3
s
2
2
 d3 
m
 0.05 
U 2 = U 3   = 9.29
 = 4.74 ,
s
 0.07 
 d2 
2
2
 d3 
m
 0.05 

U1 = U 3   = 9.29
 = 2.32 .
s
 0.1 
 d1 
c) Ciśnienia w przekrojach 2-2 i 1-1:
Z równania Bernoulliego dla przekrojów 2-2 i 3-3:
U2
p
U 22
p
+ 2 + h2 = 3 + 3 , gdzie
2g ρ ⋅ g
2g ρ ⋅ g
p2 =
ρ (U 32 − U 22 )
2
p3 = p a ,
− ρ ⋅ g ⋅ h2 + p a
1000(9.29 2 − 4.74 2 )
− 1000 ⋅ 9.81 ⋅ 2.4 + 100000 = 31916 − 23544 + 100000 = 108372 Pa
2
Z równania Bernoulliego dla przekrojów 1-1 i 3-3:
p2 =
p1 =
p1 =
ρ (U 32 − U12 )
2
− ρ ⋅ g (h1 + h2 ) + p a
1000(9.29 2 − 2.32 2 )
− 1000 ⋅ 9.81(0.5 + 2.4 ) + 100000 = 41959 − 28449 + 100000 = 113510 Pa
2
50
Zadanie 3.8 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.10, str. 50)
Woda o temperaturze t = 40 0C wypływa ze zbiornika przez przewód z
przewężeniem. Obliczyć stosunek średnic d/D, dla którego wystąpi
kawitacja w przewężeniu przewodu. Przyjąć H = 400 mm, h = 800 mm,
pa = 90 kN/m2. Dla wody o temperaturze 40 0C ciśnienie wrzenia wynosi
pw = 7520 N/m2.
Dane:
H = 400 mm
h = 800 mm
pa = 90 kN/m2
pw = 7520 N/m2
Wyznaczyć:
d/D
Rozwiązanie:
Obieramy przekroje: 0-0 na powierzchni zwierciadła wody, 1-1 w przewężeniu, i 2-2 na wylocie do
atmosfery. Z równania ciągłości mamy:
Q1 = Q2
π ⋅d2
4
U1 =
π ⋅ D2
4
U2
d
U2
=
D
U1
Z równania Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 2-2 wyznaczamy U2:
U 02
p
U2
p
+ a +H +h = 2 + a ,
2g ρ g
2g ρ g
Przy założeniu, że U0 = 0 mamy:
U 2 = 2 g ( H + h)
Z równania Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 1-1 wyznaczamy U1 przy założeniu że ciśnienie w
tym przekroju równe jest ciśnieniu wrzenia pw:
U 02
pa
h U12
p
+
+H + =
+ w
2g ρ g
2 2g ρ g

h p − pw 

U1 = 2 g  H + + a
2
ρ ⋅ g 

Stosunek średnic wyniesie wtedy:
d
H +h
=
= 0,64
D 4 H + h + pa − p w
2
ρ⋅g
51
Zadanie 3.9 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.13, str. 50)
Woda ze zbiornika wypływa przez przewód rozgałęziający.
Średnice rozgałęzień przewodów wylotowych są równe i
wynoszą d = 25 mm. Odległość h = 1,2 m. Jaka musi być
wysokość H wody w zbiorniku, aby strumień objętości
wody wypływającej przez przewód górny był dwa razy
mniejszy od strumienia objętości wody płynącej przez
przewód dolny. Obliczyć strumienie objętości Q1 i Q2.
Wodę traktować jako płyn idealny (pominąć straty tarcia).
Dane:
d = 25 mm
h = 1,2 m
Q2 = 2 Q1
Wyznaczyć:
H, Q1, Q2.
Rozwiązanie:
Równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 1-1:
U 02
p
p
U2
+ a +H = 1 + a +h
2g ρ g
2g ρ g
Zakładając, że U0 = 0, U1 wynosi:
U 1 = 2 g ( H − h)
Z równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 2-2 otrzymamy U2:
U 2 = 2 g ( H + h)
Wysokość H wyliczamy z zależności między strumieniami objętości:
Q2 = 2ּQ1,
2
π ⋅d
π ⋅d2
2 g ( H + h) = 2 ⋅
2 g ( H − h)
4
4
Stąd:
H=
5
h=2m
3
Strumienie objętości wyniosą:
Q1 =
Q2 =
π ⋅d2
4
π ⋅d2
4
U1 =
π ⋅d2
U2 =
2 g ( H − h) = 1,95
4
π ⋅d2
4
dm 3
s
dm 3
2 g ( H + h) = 3,89
s
Zadanie 3.10
W dnie stalowego zbiornika znajduje się ostrokrawędziowy otwór o średnicy d = 2 cm przez który
wypływa woda. Poziom wody w zbiorniku jest stały i znajduje się na wysokości h = 1.5 m od dna.
Wyznaczyć współczynnik przepływu jeżeli wiadomo, że w ciągu 5-ci minut wypłynęło ze zbiornika
330 litrów wody. Obliczyć współczynnik kontrakcji otworu przy założeniu, że współczynnik
prędkości wynosi α = 0.95.
52
Dane:
d = 2 cm
h = 1,5 m
t = 5 min
V = 330 l
α = 0.95
Wyznaczyć:
µ, β
Rozwiązanie:
Współczynnik przepływu obliczamy ze wzoru definicyjnego:
V&
µ = rz .
V&
Rzeczywisty strumień objętości wynosi:
V 330 ⋅ 10 −3
m3
&
Vrz = =
= 0.0011
.
t
s
5 ⋅ 60
Strumień objętości teoretyczny liczymy jako iloczyn pola otworu i prędkości teoretycznej
obliczonej ze wzoru Torricellego:
π ⋅d2
m3
3.14 ⋅ 0.02 2
V& = f ⋅ U =
⋅ 2 gh =
⋅ 2 ⋅ 9.81 ⋅ 1.5 = 0.000314 ⋅ 5.42 = 0.0017
.
s
4
4
Wtedy:
0.0011
µ=
= 0.647 ≈ 0.65
0.0017
Współczynnik kontrakcji liczymy z kolei ze wzoru:
µ 0.65
β = =
= 0.684 ≈ 0.68
α 0.95
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA
Zadanie 3.11 (poz. bibl. [3], zad. 3.2.5, str. 55)
W przewód o średnicy D = 100 mm wstawiono zwężkę
Venturiego. Do zwężki podłączono manometr rtęciowy.
Obliczyć strumień objętości wody przepływającej przez
przewód jeśli różnica poziomów rtęci w manometrze H =
200 mm. Nad rtęcią w jednym i drugim ramieniu znajduje
się woda. Średnica przewężenia zwężki d = 50 mm.
Odpowiedź: Q = 0.01429 m3/s
Zadanie 3.12 (poz. bibl. [3], zad. 3.2.4, str. 55)
W celu zmierzenia prędkości przepływających przez przewód spalin
wstawiono do niego statyczną rurkę Pitota i podłączono ją do
manometru spirytusowego. Różnica poziomów wynosił H = 5 mm.
Temperatura spalin t = 400 oC. Gęstość spalin w warunkach
normalnych ρ0 = 1.29 kg/m3. (Średnica d rurki Pitota jest dużo
mniejsza od średnicy przewodu D). Przyjąć ρm = 827 kg/m3.
Wskazówka: W warunkach normalnych: t = 0 oC, p = 760 mm Hg
(1013 hPa).
Odpowiedź: U0 = 12.45 m/s
53
Zadanie 3.13 (poz. bibl. [3], zad. 3.2.3, str. 54)
Określić strumień objętości Q za pomocą zwężki Venturiego o
wymiarach D = 100 mm, d = 50 mm wstawionej do poziomego
przewodu którym płynie woda, jeśli różnica wskazań ciśnień
na wlocie do zwężki i w przewężeniu wynosi H = 50 mm.
Odpowiedź: Q = 2 dm3/s
Zadanie 3.14 (poz. bibl. [3], zad. 3.2.9, str. 56)
Na jaką wysokość h podniesie się rtęć w rurce podłączonej jednym
końcem do zwężki Venturiego a drugim do otwartego naczynia z
rtęcią, jeśli zwężkę umieścimy w powietrzu przepływającym z
prędkością U = 40 m/s. Wymiary zwężki: D = 80 mm, d = 40 mm.
Odpowiedź: h = 0.114 m
Zadanie 3.15 (poz. bibl. [6], zad. 3.1.6, str. 42)
W dnie naczynia cylindrycznego o średnicy D znajduje się otwór którego
średnica jest równa d. Nad cieczą wypełniającą naczynie umieszczono tłok
o ciężarze G, poruszający się szczelnie lecz bez tarcia. Pomijając straty w
otworze wypływowym, określić zależność pomiędzy prędkością U1
wypływającej cieczy a położeniem tłoka h. Przyjąć gęstość cieczy równą
ρ.
Odpowiedź: U1 =

4G 

2 h ⋅ g +
2 
π
ρ
D


4
d
1− 4
D
Zadanie 3.16 (poz. bibl. [6], zad. 3.1.21, str. 48)
Ze zbiornika ciśnieniowego wypływa woda (o
temperaturze T = 313 K) przez przewód o średnicy D, w
którym znajduje się przewężenie. Średnica przewężenia d
= 0.8D. Przy jakim nadciśnieniu pn panującym w
zbiorniku, może wystąpić zjawisko kawitacji? Przyjąć:
wysokość poziomu cieczy w zbiorniku H = 1.2 m,
ciśnienie wrzenia wody w danej temperaturze pw = 7.5
kPa, ciśnienie barometryczne pa = 101 kPa oraz gęstość
wody ρ = 1000 kg/m3. Wszystkie straty pominąć.
Odpowiedź: p n = 0.6938( p a − p w ) − ρ ⋅ g ⋅ H = 53 kPa
54
Zadanie 3.17 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.6, str. 49)
Woda z większego zbiornika przepływa do zbiornika mniejszego
za pomocą lewara. Różnica poziomów wody w zbiornikach
wynosi h = 3 m. Kolano lewara znajduje się na wysokości H = 6
m. Wyznaczyć: a) jaka musi być średnica przewodu, aby strumień
objętości wody wynosił Q = 27.8 dm3/s, b) jakie ciśnienie panuje
w kolanie lewara.
Odpowiedź: a) d = 68 mm, b) ciśnienie absolutne p2 = 41140 Pa.
Zadanie 3.18 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.8, str. 49)
Na cylindrycznej części wlotu do wentylatora o średnicy D = 200
mm, zasysającego powietrze z atmosfery, umieszczono szklaną
rurkę, której drugi koniec jest zatopiony w naczyniu z wodą.
Obliczyć strumień objętości powietrza przepływającego przez
wentylator jeśli woda w rurce podniosła się do wysokości h =
250 mm. Gęstość powietrza ρp = 1.29 kg/m3.
Odpowiedź: Q = 1.94 m3/s.
Zadanie 3.19
Ciecz o gęstości ρ płynie wzdłuż poziomego rurociągu
o zwężającym się przekroju jak na rysunku. Do
rurociągu podłączono manometr różnicowy rtęciowy
mierzący różnicę ciśnień przed i za przewężeniem,
którego wskazanie wynosi H. Obliczyć strumień
objętości cieczy przepływającej przez rurociąg.
Odpowiedź: Q = π ⋅ d 2
2
gH ( ρ m − ρ ) .
15
Zadanie 3.20
W ścianie otwartego zbiornika znajduje się mały prostokątny otwór o wymiarach 2 cm × 1 cm
zanurzony na głębokość h = 1 m poniżej zwierciadła, przez który wypływa woda. Obliczyć, jaka
objętość teoretyczna wody wypłynie przez ten otwór w czasie 1 minuty. O ile litrów będzie
mniejsza objętość rzeczywista przy założeniu, że współczynnik przepływu wynosi µ = 0.64.
Odpowiedź: V = 53 l, ∆V = 19 l.
55