1 + i 3
Transkrypt
1 + i 3
1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b ∈ R, następujące liczby zespolone (1) 1−i 1+i , 2 (2) 1−3i , √ (3) (1 + i 3)6 , 5 1+i (4) 1−i , √ 4 3 (5) 1+i . 1−i Zadanie 1.2. Znaleźć moduł i argument główny następujących liczb zespolonych (1) 3i, (2) −2, (3) 1 + i, (4) −1 − i, (5) 2 + 5i, (6) 2 − 5i, (7) −2 + 5i, (8) −2 − 5i. Zadanie 1.3. Niech a, b ∈ C. Wykazać, że |a + b|2 + |a − b|2 = 2(|a|2 + |b|2 ). a−b Zadanie 1.4. Niech a, b ∈ C, a 6= b, |b| = 1. Wykazać, że 1−āb = 1. Zadanie 1.5. Moduły liczb zespolonych z1 , z√2 , z3 i z4 tworzą ciąg geometryczny, zaś ich argumenty — ciąg arytmetyczny. Znaleźć z2 i z3 , jeśli z1 = 2 i z4 = 4i. Zadanie 1.6. Rozwiązać równania (1) z 2 + 25 = 6z, (2) az + bz̄ = c, gdzie a, b, c ∈ C. a−z Zadanie 1.7. Niech a, z ∈ C, |a| < 1. Wykazać, że |z| < 1 wtedy i tylko wtedy, gdy 1−āz < 1. Zadanie 1.8. Przedstawić w formie trygonometrycznej liczby √ (1) 1 + i 3, (2) 1 − cos α + i sin α, α ∈ [0, 2π]. Zadanie 1.9. Przedstawić sin 5x i cos 5x jako wielomian zmiennych sin x i cos x, a następnie przedstawić 2π w postaci algebraicznej sin 2π 5 i cos 5 . z Zadanie 1.10. Niech z ∈ C, z 6= 0. Wykazać, że |z| − 1 ≤ | Arg z|. Zadanie 1.11. Naszkicować na płaszczyźnie zespolonej zbiory (1) Re z ≥ c, gdzie c ∈ R, (2) |z − 2| − |z + 2| > 3, (3) α < Arg(z − z0 ) < β, gdzie z0 ∈ C, −π < α < β ≤ π, (4) |z| = Re z + 1, (5) |z − a| = λ|z − b|, gdzie a, b ∈ C, λ > 0. 1 2. Ciągi i szeregi zespolone Zadanie 2.1. Wykazać, że (1) jeśli limn→∞ zn = 0, to limn→∞ 1 + (2) jeśli limn→∞ zn = 1, to limn→∞ 1 + zn n n zn n n = 1, = e. Zadanie 2.2. Podać przykład ciągu zbieżnego (zn )n takiego, że ciąg (Arg zn )n jest rozbieżny. Zadanie 2.3. Obliczyć √ n −n n n (1) limn→∞ (3 √ − i 2 + 3), 2 √ |n +i| n (2) limn→∞ |n−i| + i n , 6ni+2 (3) limn→∞ |3ni−1| , n (4) limn→∞ 1 + i n2n−1 , Zadanie 2.4. Znaleźć wszystkie wartości parametru a ∈ C, dla których ciągi (1) (an )n , (2) an 1+an n są zbieżne. Zadanie 2.5. Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu zespolonego zn n=1 1−z n . P∞ P P Zadanie 2.6. Wykazać, że jeśli promienie zbieżności szeregów potęgowych an z n , bn z n są odpowiednio równe ra , rb , to P (1) promień zbieżności r1 szeregu potęgowegoP an bn z n spełnia nierówność r1 ≥ ra rb , an n (2) promień zbieżności r szeregu potęgowego z , bn 6= 0, spełnia nierówność r2 ≤ rrab , Pbn (3) promień zbieżności r3 szeregu potęgowego (an b0 + an−1 b1 + · · · + a0 bn )z n spełnia nierówność r3 ≥ min{ra , rb }. Zadanie 2.7. Wyznaczyć promień zbieżności następujących szeregów potęgowych P∞ n! n (1) n=2 nn z , P∞ (2) Pn=1 z n! , ∞ (3) Pn=1 (3 + (−1)n )n z n , ∞ n (4) n=1 cos(in)z . Zadanie 2.8. Wyznaczyć promień zbieżności i zbadać zbieżność na brzegu koła zbieżności następujących szeregów potęgowych P∞ (−1)n 3n−1 , (1) n=2 ln n z P∞ 4n kn (2) z , gdzie k ∈ N, n Pn=1 ∞ (3) Pn=1 n12 z n! , ∞ n n (4) n=1 2n z . 2 3. Funkcje elementarne Zadanie 3.1. Przedstawić w postaci a + bi, a, b ∈ R, liczby (1) exp ln 5 − i 125π , 4 (2) exp − ln 3 + i 11π 3 , 1 + i ln (3) sin − 17π 6 3 , 21π (4) sin 4 − i ln 11 , 1 (5) cos − 17π 6 + i ln 3 , 21π (6) cos 4 − i ln 11 . Zadanie 3.2. Wyznaczyć część rzeczywistą i urojoną funkcji sin i cos oraz rozwiązać równanie Im cos(z) = 0. Zadanie 3.3. Rozwiązać równania (1) z 12 = 212 , (2) z 3 = i. Zadanie 3.4. Wypisać wszystkie wartości √ 3 −8i, (1) p √ (2) √ i 3 − 1, (3) 6 −64 w postaci a + ib, a, b ∈ R. Zadanie 3.5. Wypisać wszystkie wartości (1) log(1 √− i), (2) log( 3 − i), (3) log(e2 i), (4) 1x+iy , √ x, y ∈ R, (5) (−i − 3)i , i+1 √ , (6) 1−i 2 1−i √ (7) 1+i , 2 (8) (−ei)3−i w postaci a + bi, a, b ∈ R. Zadanie 3.6. Wykazać, że wszystkie wartości potęgi ax+iy , a 6= 0, x, y ∈ R, (1) są rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy suma y Log |a| + x Arg a jest wielokrotnością liczby π i 2x jest liczbą całkowitą, (2) mają równe moduły, gdy y = 0. Zadanie 3.7. Niech a ∈ R. Wykazać, że (1) zbiór 1a jest skończony wtedy i tylko wtedy, gdy α ∈ Q, (2) jeśli α ∈ R \ Q, to zbiór 1a jest gęsty w T. 3 4. Pochodna zespolona Zadanie 4.1. Wyznaczyć zbiór punktów, w którch funkcja f jest C-różniczkowalna, jeśli (1) f (z) = |z|2 , (2) f (z) = |z − 1|z, (3) f (z) = z 2 z, (4) f (z) = |z| Re z. Zadanie 4.2. Niech funkcja f będzie C-różniczkowalna w punkcie z0 i niech g := f . Wykazać, że g jest C-różniczkowalna w punkcie z0 wtedy i tylko wtedy, gdy f 0 (z0 ) = 0. Zadanie 4.3. Niech D ⊂ C będzie obszarem, f ∈ O(D) oraz Im f = const. Wykazać, że f = const. Zadanie 4.4. Funkcja f jest holomorficzna w pewnym otoczeniu punktu z0 . Znaleźć przepis na z 7→ f (z), jeśli x = Re z, y = Im z ∈ R oraz x 1 (1) Re f (x, y) = x2 +y 2 , z0 = π, f (π) = π , (2) Re f (x, y) = x2 − y 2 + 2x, z0 = i, f (i) = 2i − 1, (3) Re f (x, y) = −2 sin(2x) sinh(2y) + y − x2 + y 2 , z0 = 0, f (0) = 3i, (4) Im f (x, y) = 6x2 y − 2y 3 + x3 − 3xy 2 , z0 = i, f (i) = 2i, (5) Re f (x, y) = ex sin y + e−x cos y − 1, z0 = 0, f (0) = 0. Zadanie 4.5. Niech D ⊂ C będzie obszarem P i niech funkcje fj : D −→ C, j = 1, . . . , n, będą funkcjami n dwukrotnie C-różniczkowalnymi. Załóżmy, że j=1 |fj |2 = const. Wykazać, że fj = const, j = 1, . . . , n. Zadanie 4.6. Niech f będzie funkcją R-różniczkowalną w punkcie z0 i niech u = Re f , v = Im f . Wykazać, że 2 2 ∂f ∂f u (z ) uy (z0 ) det x 0 = (z0 ) − (z0 ) . vx (z0 ) vy (z0 ) ∂z ∂z Zadanie 4.7. Wykazać, że funkcja u(z) = log |z| jest harmoniczna w C \ {0}, ale nie istnieje funkcja f C-różniczkowalna w C \ {0} taka, że Re f = u. 4 5. Całki zespolone Zadanie 5.1. Obliczyć całki R (1) [0,2+i] (z 2 − 2z) dz, R (2) [1,i] z1 dz, R (3) [i,−2] |z + 1|2 dz, R (4) [3,−2] zez dz, R (5) [−3,1−i] |z|21+1 dz, R (6) [i,2] (z 2 − 3z + 1) dz, gdzie [a, b] jest odcinkiem łączącym punkty a, b ∈ C przebieganym od punktu a do punktu b. Zadanie 5.2. Obliczyć całki R (1) RC (1 + i − 2z) dz, (2) RC z1 dz, (3) C (z 2 + z − 1) dz, gdzie C jest łukiem paraboli y = x2 przebieganym od punktu (2, 4) do punktu (1, 1). Zadanie 5.3. Obliczyć całki R (1) RC (2 + zz) dz, √ (2) RC z dz, (3) C √1z dz, gdzie C jest górną połową okręgu |z| = 1 przebieganą od punktu 1 do punktu −1, zaś gałąź pierwiastka √ jest tak wybrana, że 1 = −1. Zadanie 5.4. Obliczyć całki R (1) RC z 2 dz, √ (2) RC 3 z dz, 1 (3) C √ 3 z dz, gdzie C jest prawą połową okręgu |z| = 8 przebieganą od punktu −8i do punktu 8i, zaś gałąź pierwiastka √ √ jest tak wybrana, że 3 8 = 3i − 1. 5 6. Wzór całkowy Cauchy’ego Zadanie 6.1. Niech f ∈ O(C \ R) ∩ C(C). Wykazać, że f ∈ O(C). Zadanie 6.2 (Zasada symetrii Riemanna-Schwarza). Niech H+ := {z ∈ C : Im z > 0}, f ∈ O(H+ ) ∩ C(H + ) i niech f (R) ⊂ R. Wykazać, że istnieje funkcja f˜ ∈ O(C) taka, że f˜|H+ = f . Zadanie 6.3. Niech f ∈ O(C), M ∈ R, Re f ≤ M . Wykazać, że f = const. Zadanie 6.4. Niech f ∈ O(C), p ⊂ C jest półprostą domkniętą, f (C) ⊂ C \ p. Wykazać, że f = const. Zadanie 6.5. Niech f ∈ O(C) i niech k ∈ N, M > 0 będą takie, że |f (z)| ≤ M (1+|z|k ), z ∈ C. Wykazać, że f jest wielomianem stopnia co najwyżej k. Zadanie 6.6 (Reguła de l’Hospitala). Niech Ω ⊂ C będzie zbiorem otwartym, f, g ∈ O(Ω), z0 ∈ Ω. Załóżmy, że f (z0 ) = g(z0 ) = 0, f 6≡ 0 i g 6≡ 0 na żadnym otoczeniu z0 i istnieje granica lim z→z0 f 0 (z) = λ ∈ C. g 0 (z) Wykazać, że istnieje granica lim z→z0 f (z) g(z) lim oraz z→z0 f (z) = λ. g(z) Zadanie 6.7. Czy istnieje funkcja f ∈ O(D) taka, że (1) f (1/n) = n/(1 + n), n ∈ N, n ≥ 2, (2) f (1/n) = n/(2 + n), n ∈ N, n ≥ 2, (3) f (1/n) = e−n , n ∈ N, n ≥ 2? Zadanie 6.8 (Zasada maksimum). Niech D ⊂ C będzie obszarem ograniczonym i niech f ∈ O(D) spełnia warunek lim sup |f (z)| ≤ M < ∞. D3z→∂D Wykazać, że |f | ≤ M . Zadanie 6.9. Niech f ∈ O({z ∈ C : 2 < |z| < 3}) ∩ C({z ∈ C : 2 ≤ |z| ≤ 3}), |f (z)| = 4 dla |z| = 2 i |f (z)| = 9 dla |z| = 3. Wykazać, że |f (z)| ≤ |z|2 dla 2 ≤ |z| ≤ 3. 6 7. Ogólna teoria Cauchy’ego Zadanie 7.1. Niech γ będzie krzywą prostowalną, ϕ ∈ C(γ ∗ ) i dla dowolnej liczby m ∈ N niech Z ϕ(w) dw, z ∈ C \ γ ∗ . Fm (z) := m γ (w − z) 0 Wykazać, że Fm ∈ O(C \ γ ∗ ) oraz Fm = mFm+1 , m ∈ N. Zadanie 7.2. Niech Ω ⊂ C będzie zbiorem otwartym i niech Γ będzie cyklem takim, że Γ∗ ⊂ Ω. Wykazać, że następujące warunki są równoważne (1) dla dowolnej funkcji f ∈ O(Ω) zachodzi równość Z 1 f (w) IndΓ (z) · f (z) = dw, z ∈ Ω \ Γ∗ , 2πi Γ w − z (2) dla dowolnej funkcji f ∈ O(Ω) i dowolnej liczby k ∈ N0 zachodzi równość Z f (w) k! dw, z ∈ Ω \ Γ∗ . IndΓ (z) · f (k) (z) = 2πi Γ (w − z)k+1 Zadanie 7.3. Niech Ĉ := C ∪ {∞}, ( g Ĉ 3 z 7−→ |z|2 Re z Im z 1+|z|2 , 1+|z|2 , 1+|z|2 , gdy z ∈ C gdy z = ∞ (0, 0, 1), ˆ z) := ρ(g(w), g(z)), w, z ∈ Ĉ, gdzie ρ : R3 × R3 −→ [0, +∞) jest metryką euklidesową. i niech d(w, Wykazać, że |w−z| √ , gdy w, z ∈ C 2 )(1+|z|2 ) (1+|w| ˆ z) = d(w, . √ 1 2 , gdy w ∈ C, z = ∞ 1+|w| Zadanie 7.4. Obliczyć całki R dz (1) T 1+z 4 , gdzie T jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A = (1, 0), B = (0, 1) i C = (0, −1), R ez (2) |z|=2 z+5 dz, R (3) |z−2+2i|=1 sin z1 dz, R dz (4) |z|= 1 1+z 10 , 3 R dz (5) |z|=2 (z−3)(z+3i)(z−2+i) 2, R z e dz (6) |z−3i|=2 z2 (z2 −4) , R z −1 (7) |z|=6 2e z−2πi dz, gdzie wszystkie krzywe zorientowane są dodatnio względem wnętrza. 7 8. Szeregi Laurenta Zadanie 8.1. Wyznaczyć pierścień zbieżności następujących szeregów Laurenta ∞ X (1) (i + 3)n+1 z −n , (2) (3) n=1 ∞ X n=1 ∞ X n−n (z − 2 + i)−n + (2n − 1)(z + 1)−n + n=1 ∞ X (1 + in)(z − 2 + i)n , n=1 ∞ X (i + n)−n (z + 1)n . n=1 Zadanie 8.2. Niech z0 ∈ C, s > 0, T(z0 , s) := {z ∈ C : |z − z0 | = s} i niech V = V (z0 , s) oznacza przestrzeń wektorową nad ciałem C wszystkich szeregów Laurenta zbieżnych bezwzględnie i jednostajnie na T(z0 , s) oraz Z 2π 1 f (z0 + seit )g(z0 + seit ) dt, f, g ∈ V. hf, gi := 2π 0 Wykazać, że przestrzeń V z iloczynem skalarnym h·, ·i nie jest przestrzenią Hilberta. Zadanie 8.3. Rozwinąć w szereg Laurenta funkcję f w pierścieniach podanych obok 1 (1) f (z) = z−i , P (0, 1, ∞), 3 (2) f (z) = z2 −1 , P (1, 0, 1), P (1, 2, ∞), 1 (3) f (z) = z(1−z) 2 , P (1, 0, 1), P (1, 1, ∞), 1 (4) f (z) = z(z−1) , P (0, 0, 1), P (0, 1, ∞), P (1, 0, 1), P (1, 1, ∞), P (−1, 1, 2), P (−1, 2, ∞), P (−1, 0, 1). Zadanie 8.4. Podać, w jakich (maksymalnych) pierścieniach (ewentualnie kołach) o środku w z0 można rozwinąć dane funkcje w szereg Laurenta i podać te rozwinięcia 1 , z0 = 4, (1) f (z) = z2 +4iz−3 1 (2) f (z) = (z−i)2 , z0 = 2i, 1 (3) f (z) = z(4−z) 3 , z0 = 3i. Zadanie 8.5. Znaleźć punkty osobliwe izolowane i określić ich rodzaj dla funkcji z (1) f (z) = e z−1 , 1 (2) f (z) = sin (z−1) 2, (3) f (z) = (4) f (z) = (5) f (z) = z 2 +5 (z+3)4 , z cos z 8i−z 3 , 1 z 4 +2z 2 +1 , z/(z−3)2 (6) f (z) = 2ze . Zadanie 8.6. Niech z0 ∈ C, R > 0, f ∈ O(P (z0 , 0, R)) i niech Z |f (z)|2 dL2 (z) < ∞. P (z0 ,0,R) Wykazać, że f przedłuża się do funkcji holomorficznej na ∆(z0 , R). 8 9. Rezydua Zadanie 9.1. Niech Ω ⊂ C będzie zbiorem otwartym, z0 ∈ Ω, f ∈ O(Ω \ {z0 }). Załóżmy, że funkcja f ma biegun rzędu m > 0 w punkcie z0 . Wykazać, że resz0 f = Zadanie 9.2. Obliczyć całki Z dz (a) , 1 + z3 ZT z e −1 (b) dz, |z|=4 z + 1 dm−1 1 ((z − z0 )m f (z)). lim (m − 1)! z→z0 dz m−1 Z (c) Z|z|=4 (d) |z|=2 cos z dz, z Z dz , z(z − 1)(z − i) Z|z−1|=4 dz cos z dz , (f) , 2 (z − i)(z + 3i)(z − 4) |z+πi|=2 z(z − 3i)(z + πi) (e) gdzie T jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A = (1, 0), B = (1, 1) i C = (0, 1) oraz wszystkie krzywe zorientowane są dodatnio względem wnętrza. Zadanie 9.3. Obliczyć całki Z ez − 1 dz, (a) z3 + z2 Z|z|=4 1 sin dz, (b) z |z|=4 ez dz, 2 z (z 2 + 4) Z|z−i|=2 1 1/(z−1) (d) e dz, z |z−1|=4 Z (c) Z (e) |z+i|=2 1 1 cos dz, z+1 z+i gdzie wszystkie krzywe zorientowane są dodatnio względem wnętrza. Zadanie 9.4. Obliczyć poniższe całki rzeczywiste stosując twierdzenie o rezyduach 2π sin2 x dx , 7 − 6 cos x Z0 2π cos2 x dx (b) , 13 + 12 cos x Z0 +∞ 2 x +1 dx, (c) 4+1 x 0 Z (a) Z +∞ (d) Z−∞ +∞ (e) Z0 +∞ (f) 0 x dx , 2 (x + 4x + 13)2 dx , 0 < α < 1, (1 + x)xα log x dx , (1 + x)3 9 Z +∞ (g) Z−∞ +∞ (h) Z0 +∞ (i) −∞ x sin x dx, x2 + 1 cos 2x dx , x4 + 4x2 + 16 x sin x dx . 2 (x − 6x + 10)2 10. Twierdzenie Rouché’go Zadanie 10.1. Korzystając z twierdzenia Rouché’go wykazać, że każdy wielomian stopnia n ≥ 1 ma w odpowiednio dużym kole dokładnie n miejsc zerowych liczonych z krotnościami. Zadanie 10.2. Niech a ∈ C, |a| > e. Wykazać, że równanie ez − az n = 0 ma w kole ∆(0, 1) dokładnie n pierwiastków liczonych z krotnościami. Zadanie 10.3. Wykazać, że wielomian p(z) = z 5 + 15z + 1 ma w kole ∆(0, 2) dokładnie 5 pierwiastków liczonych z krotnościami, ale w kole ∆(0, 1) ma dokładnie jeden pierwiastek. Zadanie 10.4. Niech λ > 1. Wyznaczyć liczbę rozwiązań równania z = λ − e−z w zbiorze {z ∈ C : Re z ≥ 0}. Zadanie 10.5. Niech F (z) = n Y z − am , 1 − am z m=1 gdzie |am | < 1, m = 1, 2, . . . , n, i niech |b| < 1. Wykazać, że równanie F (z) = b ma dokładnie n pierwiastków w kole ∆(0, 1). 10 11. Odzworowania konforemne Zadanie 11.1. Wyznaczyć grupy Aut(∆(0, 1) \ {0}) i Aut(∆(0, 1) \ {−1/2, 1/2}). Zadanie 11.2. Wykazać, że dwa pierścienie P (z1 , r1 , R1 ) i P (z2 , r2 , R2 ) są biholomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy R2 R1 = . r1 r2 Wyznaczyć postać biholomorfizmów P (z1 , r1 , R1 ) −→ P (z2 , r2 , R2 ) oraz grupę Aut(P (0, r, R)). Zadanie 11.3. Znaleźć warunki konieczny i dostateczny, jakie powinny spełniać liczby a, b, c, d ∈ C, aby przekształcenie homograficzne az + b z 7−→ cz + d odwzorowywało górną płaszczyznę w siebie. Zadanie 11.4. Załóżmy, że R jest funkcją wymierną taką, że |R(z)| = 1 dla |z| = 1. Wykazać, że R(z) = cz m k Y z − an , 1 − an z n=1 gdzie c ∈ C, |c| = 1, m ∈ Z, k ∈ N ∪ {0} oraz an ∈ C \ {0}, |an | = 6 1, n = 1, . . . , k. Zadanie 11.5. Znaleźć postać funkcji wymiernej R takiej, że R(z) > 0 dla |z| = 1. Zadanie 11.6. Niech f (t) = n X ak eikt , t ∈ R, k=−n spełnia warunek f (t) > 0 dla t ∈ R. Wykazać, że istnieje wielomian P (z) = c0 + c1 z + · · · + cn z n taki, że f (t) = |P (eit )|2 , t ∈ R. Czy wynik pozostaje prawdziwy przy osłabieniu założenia do f (t) ≥ 0, t ∈ R? Zadanie 11.7. Niech a ∈ ∆(0, 1). Znaleźć punkty stałe odwzorowania z−a . ϕa (z) = 1 − az Czy istnieje prosta, którą ϕa odwzorowuje w siebie? Zadanie 11.8. Znaleźć wszystkie liczby a ∈ C, dla których funkcja z fa (z) = 1 + az 2 jest różnowartościowa w kole ∆(0, 1). Opisać zbiór fa (∆(0, 1)) dla tych wszystkich a. Zadanie 11.9. Niech Ω = {z ∈ C : | Re z| < 1}.Znaleźć różnowartościowe odwzorowanie konforemne f obszaru Ω na koło ∆(0, 1), dla którego f (0) = 0 i f 0 (0) > 0. Obliczyć f 0 (0). 11