10.Wyznaczanie dziedziny wyrażenia wymiernego z jedną zmienną

Kurs e-learningowy
matematyka
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
10.Wyznaczanie dziedziny wyrażenia wymiernego z jedną zmienną.
Obliczanie wartość liczbowej wyrażenia wymiernego.
I.
Przypomnij sobie:
1. Co to jest wyrażenie wymierne?
Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów, czyli wyrażenie
F i G są wielomianami (przykłady:
F x 
, gdzie
Gx 
2 x 2  7 x 2  16 x  2
7
; 2
;
; 3
)
4 x  2 x  6 x 3x  8 x  6 x  4
2. Że wyrażenie wymierne ma sens liczbowy tylko wtedy, gdy mianownik jest różny
od zera (bo przez zero nie można dzielić).
II.
Zobaczmy, jak możemy wykorzystać to w konkretnych przykładach (z
uwzględnieniem czasami nieco innej strategii rozwiązywania zadań zamkniętych i
otwartych).
Przykład 1.
Podaj zbiór liczb, dla których wyrażenie ma sens liczbowy i zapisz to wyrażenie w
najprostszej postaci:
x  34  x  .
4x2
x2  6x  9
a. 2
,
b.
,
c.
2
x  4x  2
8 x  16 x
x 9
Rozwiązanie:
Korzystamy z różnych sposobów rozkładania wielomianu na czynniki.
a. Wyrażenie ma sens, gdy mianownik 8x 2  16 x  0 . Przekształcamy wyrażenie otrzymując:
8xx  2  0 . Iloczyn jest różny od zera wtedy, gdy wszystkie czynniki różne są od zera,
czyli ( 8x  0 i x  2  0 ), a w konsekwencji ( x  0 i x  2 ).
Przekształcamy całe wyrażenie:
4x2
4x2
4x  x
=

2
8 x  16 x 8 xx  2 4 x  2x  2
Dzieląc licznik i mianownik tego wyrażenia przez wspólny czynnik 4x otrzymujemy
x
.
2x  2
4x2
x
=
ma sens liczbowy dla wszystkich liczb
2
8 x  16 x 2x  2
x  R \ 0;2(czyli wszystkich liczb rzeczywistych oprócz 0 i 2).
Odpowiedź: Wyrażenie
Kurs e-learningowy
matematyka
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
x2  6x  9
ma sens, gdy x 2  9  0 , czyli x  3x  3  0 . Zatem
2
x 9
( x  3  0 i x  3  0 ), czyli ( x  3 i x  3 ).
b. Analogicznie, wyrażenie
x  3  x  3x  3
x2  6x  9
=
2
x  3x  3 x  3x  3
x 9
2
Dzieląc licznik i mianownik przez x  3 otrzymujemy
x3
.
x3
x2  6x  9 x  3
=
ma sens liczbowy dla wszystkich liczb
x2  9
x3
x  R \  3;3(czyli wszystkich liczb rzeczywistych oprócz -3 i 3).
Odpowiedź: Wyrażenie
x  34  x 
x  4x  2
x  34  x  = x  34  x 
x  4x  2  4  x x  2
c. Podobnie, wyrażenie
ma sens, gdy x  4x  2  0 , czyli ( x  4 i x  2 ).
Dzieląc licznik i mianownik przez 4  x otrzymujemy
x3
x3
.

 ( x  2)
x2
x  34  x  =  x  3 ma sens liczbowy dla wszystkich liczb
x  4x  2
x2
x  R \  2;4(czyli wszystkich liczb rzeczywistych oprócz -2 i 4).
Odpowiedź: Wyrażenie
Przykład 2.
Jeżeli x  2  1 i y  1 2 , to wyrażenie
A. 
2
,
2
B.
2
,
2
x y
jest równe:
x y
C.  2 ,
D. 1.
Rozwiązanie:
Podane wartości x i y wstawiamy do wyrażenia i wykonujemy obliczenia:
2 1  1  2
2 1 1  2
2
2
2 2 2
2
x y





=
=
22
2
x y
2 1  1  2
2 1  1  2 2 2 2 2 2


Odpowiedź A.
 
 


Kurs e-learningowy
matematyka
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Przykład 3.
Nie obliczy się wartości wyrażenia
A. 1,
B. 2,
x2
, gdy za x podstawi się liczbę:
x2  4
C. 3,
D. 4.
Rozwiązanie:
Możemy, podobnie jak w przykładzie 1, obliczyć kiedy mianownik różni się od zera albo
podstawiać kolejne wartości (podane w odpowiedziach) i w ten sposób sprawdzić, dla jakiej
wartości x mianownik wynosi 0. Wypróbujmy ten drugi sposób:
x2
-gdy x  1, to wyrażenie x 2  4  12  4  3  0 , czyli można obliczyć wartość 2
,
x 4
-gdy x  2 , to wyrażenie x 2  4  22  4  0 , czyli nie da się obliczyć wartości wyrażenia
x2
; zatem B. będzie prawidłową odpowiedzią.
x2  4
W pozostałych wariantach obliczenia byłyby następujące:
x2
-gdy x  3 , to wyrażenie x 2  4  32  4  5  0 , czyli można obliczyć wartość 2
,
x 4
x2
-gdy x  4 , to wyrażenie x 2  4  42  4  12  0 , czyli można obliczyć wartość 2
.
x 4
Przykład 4.
Jeżeli x  3  2 , to wartość wyrażenia
A. 3  2 ,
B.
2  3,
3 x
jest równa:
x3
C. 1,
D. -1.
Rozwiązanie:
Sposób 1:
Wstawiamy x  3  2 do wyrażenia


3 x
i obliczamy jego wartość:
x3
2
3 x 3 3 2 33 2
=


 1
x 3 3 2 3 3 2 3  2
Odpowiedź C.


Sposób 2:
3  x  x  3
=
i wtedy, gdy x  3 licznik i mianownik możemy
x 3
x3
3 x
podzielić przez wyrażenie x  3  0 . Otrzymujemy wówczas równość
= - 1, która jest
x3
prawdziwa dla wszystkich liczb x  R \ 3, a więc również dla x  3  2 .
Łatwo zauważyć, że
Odpowiedź C.
Kurs e-learningowy
matematyka
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
ZADANIA DO ROZWIĄZANIA
Zadanie 1.(1 pkt)
x 3
ma sens liczbowy dla zboru liczb D, takiego że:
x2  4
A. D  R ,
B. D  R \ 3,
C. D  R \  2, 3, 2,
Wyrażenie
D. D  R \  2, 2.
Zadanie 2. (1 pkt)
Jeżeli x  5  2 , to wartość wyrażenia
A. 2 5 ,
5x  5
jest równa:
2  2x
C. 2  5 ,
B.  2,5 ,
D. 4.
Zadanie 3. (1 pkt)
Nie obliczy się wartości wyrażenia
A. - 6,
x3
, gdy za x podstawi się liczbę:
x  6x  9
2
B. -3,
C. 3,
D. 9.
Zadanie 4. (2 pkt)
Podaj zbiór liczb, dla których wyrażenie
Oblicz jego wartość dla x  5 2 .
3x  1
ma sens liczbowy.
3x  1 x 2  49

