ĆWICZENIE 1 Funkcje sił przekrojowych dla belek prostych Układ

ĆWICZENIE 1
Funkcje sił przekrojowych dla belek prostych
Układ własny – wersor normalny zewnętrzny do płaszczyzny podziału,
wersor styczny o zwrocie tak, jak od wersora normalnego idą
wskazówki zegara; wersor momentów , taki, który ciągnie wyróżnione
włókna.
Funkcje sił przekrojowych dla belek prostych
reakcje
∑ M ( D) = 0
⇒ 2 ⋅ 8 + 4 − VB ⋅ 6 + 9 ⋅ 3 = 0
VB = 9.4 kN
R
∑ M ( B ) = 0 ⇒ 2 ⋅ 3 + 4 − 9 ⋅ 2 + 2 ⋅ 5 = 0 R = 1.6 2 kN
R
R
∑ X = 0 ⇒ HB − 2 = 0
∑ H B = 2 = 1.6 kN
Przedział AB
x ∈ ( 0, 3)
N ( x) = 0
N AP = 0
N BL = 0
Q ( x ) = −2
QAP = −2
QBL = −2
M ( x ) = −2 ⋅ x
M AP = 0
M BL = −6
Z proporcji
6 q ( x)
=
⇒ q ( x ) = 2 ⋅ ( x − 3)
3 ( x − 3)
Przedział BC
N ( x ) = −1.6
x ∈ ( 3, 6 )
2 ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x − 3)
Q ( x ) = −2 + 9.4 −
2
N BP = −1.6
N CL = −1.6
QBP = −2 +9.4=7.6
QCL = −11+9.4=-1.6
1
1
M ( x ) = −2 ⋅ x − 4 + 9.4 ⋅ ( x − 3) − ( x − 3) ⋅ 2 ( x − 3) ( x − 3)
2
3
M BP = −10
M CL = 3.2
Przedział CD
x ∈ ( 6, 8 )
N ( x ) = −1.6
N BP = −1.6
N CL = −1.6
Q ( x ) = −1.6
QCP = −1.6
QDL = −1.6
M(x)=1.6(8-x)
M BP = 3.2
M CL = 0
Funkcje sił przekrojowych
• zapisujemy wewnątrz każdego przedziału charakterystycznego
osobno
• przez punkt wewnątrz przedziału charakterystycznego dokonujemy
przecięcia pręta płaszczyzną do niego prostopadłą. Wybieramy
przekrój poprzeczny dodatnio zorientowany względem osi x układu
lokalnego. Do tego punktu redukujemy układ sił przyłożonych do
części II (wg definicji)
• jeśli poprzez wygodę decydujemy się na redukcję układu sił
przyłożonych do części I to korzystamy z twierdzenia ( Z II ) = − ( Z I ) ,
lecz ze względu na to, że wersory układu własnego zwróconego na
przeciwną stronę mają również przeciwne zwroty, otrzymujemy w
rezultacie to samo co przy redukcji na stronę dodatnio zorientowaną.
•
Redukcja -obliczenie współrzędnych sumy i momentu w układzie
globalnym.
Obliczenie wartości sił przekrojowych– odniesienie wielkości
otrzymanych w wyniku redukcji do układu lokalnego.
Zadanie.
wyznaczenie funkcji sił przekrojowych
Osie układu lokalnego
Przedział AB
x ∈ ( 0, 2 )
Fx ( x) = −5
Fz ( x ) = −2,5
M y ( x ) = −2,5 ⋅ x
x=0
Fx (0) = −5
Fz (0) = −2,5
M y (0) = 0
x = −2
Fx ( − 2) = −5
Fz ( − 2) = −2,5
M y ( − 2) = −5, 0
Przedział BC
x ∈ ( 2, 4 )
x = +2
x = −4
Fx ( x) = 0
Fx ( + 2) = 0
Fx ( − 4) = 0
Fz ( x ) = −2,5 + 2,5
Fz ( − 2) = 0
Fz ( − 4) = 0
M y ( x ) = −2,5 ⋅ x + 2,5 ( x − 2 ) + 30
M y ( + 2) = 25 M y ( − 4) = 25
Przedział CD
x ∈ ( 4,6 )
Fx ( x) = 0
x = +4
Fx ( + 4) = 0
Fz ( x ) = −25 + 20 = −5
Fz ( + 4) = −5
M y ( x ) = −2,5 ⋅ x + 2,5 ( x − 2 ) + 30 − 5 ( x − 4 )
x = −6
Fx (6) = 0
,
Fz ( − 6) = −5
lub
M y ( x) = −25 ⋅ ( 6 − x ) + 35 − 10 ⋅ 2 ( 7 − x )
M y ( + 4) = 25
M y ( − 6) = 15
x ∈ ( 6,8)
Przedział DE
x = +6
Fx ( − 6) = 0
Fz (6) = 20
Fx ( x) = 0
Fz=10(8-x)
10
2
M y ( x) = − ( 8 − x )
2
,
M y (6) = −20
x = −8
Fx (8) = 0
Fz (8) = 0
M y (8) = 0
Zasady sporządzania wykresów momentów zginających
• podpisujemy wartości bezwzględne w punktach charakterystycznych, z lewej strony oraz z prawej i jeśli granice są różne to
kółko niezaczernione
• nie piszemy znaku
• wartości dodatnie odnosimy po stronie wyróżnionych włókien
przez wersor układu własnego
Zasady sporządzania wykresów sił podłużnych i poprzecznych
• podpisujemy wartości bezwzględne w punktach charakterystycznych, z lewej strony oraz z prawej i jeśli granice są różne to
kółko niezaczernione
• znak piszemy pod wykresem
• jeśli wykres sił jest poprawny , to jego lustrzane odbicie względem
osi belki jest również poprawne
Wykres sił podłużnych Fx (inne oznaczenie N ) :
Fx (0) = −5
Fx ( − 2) = −5
Fx ( + 2) = 0
Fx ( − 4) = 0
Fx ( + 4) = 0
Fx (6) = 0
Fx ( − 6) = 0
Fx (8) = 0
jednostka kN
[kN]
Wykres sił poprzecznych Fz
(inne oznaczenie Q ) :
Fz (0) = −2,5
Fz ( − 2) = −2,5
Fz ( − 2) = 0
Fz ( − 4) = 0
Fz ( + 4) = −5
Fz ( − 6) = −5
Fz (6) = 20
Fz (8) = 0
jednostka kN
[kN]
Wykres momentów zginających M y
(inne oznaczenie M )
dodatnie wartości rysujemy po stronie włókien , które rozciąga wersor układu
własnego
M y (0) = 0
M y ( − 2) = −5, 0
M y ( + 2) = 25
M y ( − 4) = 25
M y ( + 4) = 25
M y ( − 6) = 15
M y (6) = −20
M y (8) = 0
jednostka kNm
[kNm]
Wykresy
Typy obciążeń na belce (elemencie ukośnym)
q [kN / m]
m.b. odmierzany wzdłuz osi x
W = q⋅x
x
x1 =
cos α
⇒ x = x1 ⋅ cos α
x
q ⋅ x2
M ( x ) = −W ⋅ = −
2
2
q ⋅ x12 ⋅ cos 2 α
M ( x1 ) = −
2
Q ( x ) = −W ⋅ cos α = −q ⋅ x ⋅ cos α
N ( x ) = −W ⋅ sin α = −q ⋅ x ⋅ sin α
Q ( x1 ) = − q ⋅ x1 ⋅ cos 2 α
N ( x1 ) = −q ⋅ x1 ⋅ sin α ⋅ cos α
q [kN / m]
m.b. odmierzany wzdłuz osi x1
W = q ⋅ x1
x
q⋅x x
M ( x ) = −W ⋅ = −
⋅
2
cos α 2
q⋅x
Q ( x ) = −W ⋅ cos α = −
⋅ cos α
cos α
q⋅x
N ( x ) = W ⋅ sin α =
⋅ sin α
cos α
q [kN / m]
m.b. odmierzany wzdłuz osi x1
W = q ⋅ x1
x1
q ⋅ x12
M ( x1 ) = −W ⋅ = −
2
2
Q ( x ) = −W = − q ⋅ x1
N ( x) = 0
Zadania do samodzielnego wykonania
Wyznaczyć wykresy sił przekrojowych w belkach.
(Uwaga: funkcje pisać z jednej strony, i sprawdzić zgodność tzn. np. zerowanie funkcji momentów
dla punktu końcowego. Drugi sposób to napisanie funkcji raz z lewej raz z prawej strony i
sprawdzenie czy w środku belki wyjdzie to samo.)
A)
∑ M (C ) = 0
VA = 57.5 kN
B)
⇒ 20 ⋅ 4 ⋅ 2 − 20 − VA ⋅ 4 = 0
VC = 22.5 kN
∑ M (C ) = 0
VA = 80.0 kN
⇒
20 ⋅ 5 ⋅ 5
− 20 + 30 ⋅ 3 − VA ⋅ 4 = 0
2
C)
VA = 80.0 kN
∑ M (C ) = 0
⇒
20 ⋅ 5 ⋅ 5
− 20 + 30 ⋅ 3 − VA ⋅ 4 = 0
2
PRZYKŁAD: Belkę z pierwszego zadania odbić lustrzanie
Rozpisać i porównać rozwiązania
PRZYKŁAD
Obciążenie trapezowe:
Uwaga: ułożyć równanie q(x)